111 高普考高考三級 土木工程 工程力學（包括材料力學） 考古題詳解

111 年・高普考・高考三級・土木工程
試題代碼 工程力學（包括材料力學）

第 一 題25 分

有一材質均勻之六邊形板，尺寸如圖所示，板中心有一個直徑 26 mm26\ \mathrm{mm} 之開孔。

試求此板形心 CC 與板邊界之距離 aa 及 bb。若 xx 與 yy 為通過板形心 CC 之水平軸及垂直軸，試求此板之慣性矩 IxI_x、IyI_y 及慣性矩乘積 IxyI_{xy}。

單位：mm\mathrm{mm}

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考形心座標、平行軸定理，以及複合面積的形心慣性矩與慣性矩乘積。將板面分成「外六邊形」減去「圓孔」，並以圖示軸向定義 Ixy=∫Axy dAI_{xy}=\int_A xy\,dA。

解題方法

取外六邊形左下角為座標原點。依圖形尺寸，其頂點可表示為 (0,0)(0,0)、(60,0)(60,0)、(120,40)(120,40)、(120,80)(120,80)、(60,80)(60,80)、(0,40)(0,40)。外形以 (60,40)(60,40) 為中心呈點對稱，圓孔也位於板中心，因此整板形心為

C=(60,40) mmC=(60,40)\ \mathrm{mm}

圖中的 aa 是形心至左側邊界的水平距離，bb 是形心至下側邊界的垂直距離，所以

a=60 mm,b=40 mma=60\ \mathrm{mm},\qquad b=40\ \mathrm{mm}

計算慣性矩時，把外六邊形視為 120×80120\times80 矩形，扣除左上與右下兩個直角三角形，再扣除半徑 r=13 mmr=13\ \mathrm{mm} 的圓孔。

外六邊形的 IxI_x

矩形對形心水平軸的慣性矩為

Ix,矩形=120(80)312=5,120,000 mm4I_{x,\text{矩形}}=\frac{120(80)^3}{12}=5{,}120{,}000\ \mathrm{mm^4}

每個三角形面積為 At=12(60)(40)=1,200 mm2A_t=\frac{1}{2}(60)(40)=1{,}200\ \mathrm{mm^2}。三角形形心至水平中心軸的距離為 803 mm\frac{80}{3}\ \mathrm{mm}，其形心軸慣性矩為 60(40)336\frac{60(40)^3}{36}。因此，每個被扣除三角形對中心水平軸的慣性矩為

Ix,t=60(40)336+1,200(803)2=960,000 mm4I_{x,t}=\frac{60(40)^3}{36}+1{,}200\left(\frac{80}{3}\right)^2 =960{,}000\ \mathrm{mm^4}

故外六邊形

Ix,六邊形=5,120,000−2(960,000)=3,200,000 mm4I_{x,\text{六邊形}}=5{,}120{,}000-2(960{,}000) =3{,}200{,}000\ \mathrm{mm^4}

外六邊形的 IyI_y

矩形對形心垂直軸的慣性矩為

Iy,矩形=80(120)312=11,520,000 mm4I_{y,\text{矩形}}=\frac{80(120)^3}{12}=11{,}520{,}000\ \mathrm{mm^4}

每個三角形形心至垂直中心軸的距離為 40 mm40\ \mathrm{mm}，其形心軸慣性矩為 40(60)336\frac{40(60)^3}{36}。因此，

Iy,t=40(60)336+1,200(40)2=2,160,000 mm4I_{y,t}=\frac{40(60)^3}{36}+1{,}200(40)^2 =2{,}160{,}000\ \mathrm{mm^4}

故外六邊形

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題25 分

一 ABAB 水平桿件受一垂直均佈載重 qq、三個垂直集中載重及一個集中彎矩載重，AA 點為鉸支承（hinge），BB 點為自由端。

若已知該桿件處於靜止狀態，試計算均佈載重 qq 之值、AA 點之水平與垂直反力（包含作用方向），並試繪此桿件之剪力圖及彎矩圖。

圖示資料：三個垂直集中載重分別為 80 kN80\ \mathrm{kN}、60 kN60\ \mathrm{kN} 及 50 kN50\ \mathrm{kN}；AA 點至 80 kN80\ \mathrm{kN} 載重之距離為 1.5 m1.5\ \mathrm{m}，三個集中載重間距均為 3 m3\ \mathrm{m}，50 kN50\ \mathrm{kN} 載重至 BB 點之距離為 1.5 m1.5\ \mathrm{m}；BB 點作用一 100 kN⋅m100\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} 之集中彎矩。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

這題考靜力平衡與剪力圖、彎矩圖。圖中均佈載重 qq 的箭頭向上，三個集中力向下；BB 點的 100 kN⋅m100\ \mathrm{kN}\cdot\mathrm{m} 力矩為逆時針。

取 xx 軸自 AA 點向右，剪力以左側截面向上為正，彎矩以正彎矩（下凹）為正。均佈載重的合力為 qLqL，作用於載重區段中點；剪力圖在均佈載重區段呈直線變化，彎矩圖呈二次曲線。

解題方法

1. 求均佈載重 qq

桿長為

L=1.5+3+3+1.5=9 m.L=1.5+3+3+1.5=9\ \mathrm{m}.

以 AA 點取矩，逆時針為正：

q(9)(4.5)−80(1.5)−60(4.5)−50(7.5)+100=0.q(9)(4.5)-80(1.5)-60(4.5)-50(7.5)+100=0.

因此

40.5q=665,q=16.42 kN/m，向上.40.5q=665, \qquad \boxed{q=16.42\ \mathrm{kN/m}\text{，向上}}.

2. 求 AA 點反力

水平方向沒有外力，因此

∑Fx=0⟹Ax=0.\sum F_x=0 \quad\Longrightarrow\quad \boxed{A_x=0}.

垂直方向取向上為正：

∑Fy=0:Ay+9q−80−60−50=0.\sum F_y=0: \quad A_y+9q-80-60-50=0.

代入 q=665/40.5q=665/40.5：

Ay=190−9q=190−13309=42.22 kN.A_y=190-9q =190-\frac{1330}{9} =42.22\ \mathrm{kN}.

故

Ay=42.22 kN，向上.\boxed{A_y=42.22\ \mathrm{kN}\text{，向上}}.

3. 剪力圖

對距 AA 點 xx 處取截面，剪力為

V(x)=Ay+qx−∑Pi,V(x)=A_y+qx-\sum P_i,

其中只扣除截面左側已經作用的向下集中力。各點剪力如下：

位置剪力
AA 右側 x=0+x=0^+42.22 kN42.22\ \mathrm{kN}
x=1.5−x=1.5^-66.85 kN66.85\ \mathrm{kN}
x=1.5+x=1.5^+−13.15 kN-13.15\ \mathrm{kN}
x=4.5−x=4.5^-36.11 kN36.11\ \mathrm{kN}
x=4.5+x=4.5^+−23.89 kN-23.89\ \mathrm{kN}
x=7.5−x=7.5^-25.37 kN25.37\ \mathrm{kN}
x=7.5+x=7.5^+−24.63 kN-24.63\ \mathrm{kN}
BB 左側 x=9−x=9^-00

示意如下；集中力使剪力圖垂直跳降，向上的均佈載重使剪力沿桿件向右線性上升：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題25 分

有一矩形斷面之懸臂梁，梁長度 L=4 mL=4\ \mathrm{m}，寬度 b=40 cmb=40\ \mathrm{cm}，高度 h=60 cmh=60\ \mathrm{cm}。

此梁於自由端受一集中載重 PP，PP 平行於 xx 軸且作用於梁斷面之角落。此梁任一斷面受到之彎矩 MyM_y 及 MzM_z 為何？

如此外梁所能承受之最大拉應力值或最大壓應力值皆不能超過 40 MPa40\ \mathrm{MPa}，試計算 PP 之最大值為何？

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

此題考偏心軸力：自由端的拉力 PP 平行梁軸，但作用線通過斷面角落，因此可等效為作用於斷面形心的軸力 PP，再加上形心處的彎矩。

依圖示座標，載重角落的位置為 y=+h/2, z=−b/2y=+h/2,\ z=-b/2。對方向為 +x+x 的力，力矩為 M=r×P\mathbf M=\mathbf r\times\mathbf P，所以：

My=Pz=−Pb2,Mz=−Py=−Ph2.M_y=Pz=-\frac{Pb}{2},\qquad M_z=-Py=-\frac{Ph}{2}.

負號依圖示座標與力矩方向判定；彎矩大小分別為 Pb/2Pb/2、Ph/2Ph/2。因偏心距沿梁長不變，任一斷面的彎矩皆相同，與梁長 LL 無關。

解題方法

斷面形心處承受軸力與雙向彎矩，正應力分布為

σx(y,z)=PA+MyzIy−MzyIz,\sigma_x(y,z)=\frac{P}{A}+\frac{M_y z}{I_y}-\frac{M_z y}{I_z},

其中

A=bh,Iy=hb312,Iz=bh312.A=bh,\qquad I_y=\frac{hb^3}{12},\qquad I_z=\frac{bh^3}{12}.

代入 My=−Pb/2M_y=-Pb/2、Mz=−Ph/2M_z=-Ph/2，可寫成

σx(y,z)=PA+P(h/2)yIz+P(−b/2)zIy.\sigma_x(y,z) =\frac{P}{A} +\frac{P(h/2)y}{I_z} +\frac{P(-b/2)z}{I_y}.

矩形斷面的四個角落中，載重角落的應力最大；與它斜對角的角落則為最大壓應力。載重角落 (y,z)=(h/2,−b/2)(y,z)=(h/2,-b/2)：

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題25 分

有一 ABCABC 連續梁，BB 點為鉸支撐，AA 點及 CC 點為滑動支撐（sliding support），設梁之彎矩勁度為 EIEI。

試求：

（一）BB 點之反力及作用方向。

（二）BB 點之彎矩（註明正值或負值）。

（三）AA 點及 CC 點之彎矩（註明正值或負值）。

（四）AA 點及 CC 點之位移及位移方向。

提示：考慮對稱性及重疊法。

v(x)=−Px26EI(3a−x),0≤x≤av(x)=-\frac{Px^2}{6EI}(3a-x),\qquad 0\leq x\leq a

v(x)=M0x22EI,0≤x≤av(x)=\frac{M_0x^2}{2EI},\qquad 0\leq x\leq a

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題利用結構對稱性，把全梁分成兩個相同的半梁。以跨中 B 為固定端建立半梁模型：對稱條件使 B 點轉角為零；A、C 為滑動支承，允許垂直位移，但限制轉角，因此端點轉角也為零。

以下採用正彎矩為撓曲（下緣受拉），向下位移為負。

解題方法

取左半梁 AB，長度為 LL。在 B 固定端、A 自由端的懸臂模型上，疊加：

  1. A 點向下集中力 PP；
  2. A 點支承提供的端彎矩 M0M_0。

由題目所給公式，A 點的轉角為

θA=dvdx∣x=L=−PL22EI+M0LEI.\theta_A =\left.\frac{dv}{dx}\right|_{x=L} =-\frac{PL^2}{2EI}+\frac{M_0L}{EI}.

A 點限制轉動，故 θA=0\theta_A=0：

−PL22EI+M0LEI=0⟹M0=PL2.-\frac{PL^2}{2EI}+\frac{M_0L}{EI}=0 \quad\Longrightarrow\quad M_0=\frac{PL}{2}.

因此，A 點的支承彎矩為正值 PL/2PL/2。由對稱性，C 點彎矩相同。

全梁垂直力平衡為

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

土木工程《工程力學（包括材料力學）》其他年度

112110109108

111 年高普考高考三級・其他類科的《工程力學（包括材料力學）》

機械工程