108 年高普考高考三級土木工程考古題與詳解

Question 1

圖 1 結構中，$A$、$D$、$G$ 點均為鉸支承，桿 $AB$ 與桿 $BD$ 於 $B$ 點以鉸接方式聯結，且桿 $EC$ 於 $C$ 點、$E$ 點分別與桿 $BD$ 及桿 $EG$ 鉸接。 今載重 $6P$ 如圖 1 所示施加於 $F$ 點，試求支承 $A$、支承 $D$、支承 $G$ 之反力 $Ax$、$Ay$、$Dx$、$Dy$、$Gy$ 的大小及方向。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查平面結構的靜力平衡、二力構件，以及鉸接處的作用力與反作用力。 - 鉸支承 $A$、$D$ 可提供水平與垂直反力；$G$ 僅提供垂直反力 $Gy$。 - 桿 $AB$ 兩端鉸接且沒有其他外力，是二力構件，因此兩端作用力沿桿 $AB$ 方向。 - 桿 $EC$ 兩端鉸接且沒有其他外力，也是二力構件；因其為直立桿，傳遞的力為垂直力。 - 各構件均使用平面力系平衡式：$\sum Fx=0$、$\sum Fy=0$、$\sum M=0$。 解題方法 依序分析水平桿 $EG$、斜桿 $BD$，最後求支承 $A$ 的反力。由圖可讀出 $EF=L$、$FG=2L$，且 $B$、$C$、$D$ 在同一直線上；從 $D$ 到 $B$ 的水平與垂直距離各為 $2L$。 1. 分析桿 $EG$ 對 $EG$ 取自由體圖。$E$、$G$ 的垂直反力分別記為 $Ey$、$Gy$。以 $E$ 點取矩： $$ \sum ME=0:\qquad Gy(3L)-6P(L)=0 $$ 因此 $$ Gy=2P $$ 再由垂直力平衡： $$ \sum Fy=0:\qquad Ey+Gy-6P=0 $$ $$ Ey=4P $$ $EG$ 在 $E$ 點受到向上的 $4P$，依作用力與反作用力，桿 $EC$ 在 $E$ 點受到向下的 $4P$。由於 $EC$ 是二力構件，它在 $C$ 點對桿 $BD$ 施加向下的 $4P$。 2. 分析桿 $BD$ 令 $B$ 點作用於 $BD$ 的力分量為 $Bx、By$。桿 $AB$ 沿 $45^\circ$ 方向，且為二力構件，因此 $$ Bx=By $$

Question 2

圖 2 顯示一傾斜桿 $AC$，以纜索 $AB$ 及垂直牆面支撐而呈現靜態平衡。 已知桿 $AC$ 長度 $L$ 為 $6\ \mathrm{m}$，牆面 $B$ 點與 $C$ 點之間距 $h$ 為 $2\ \mathrm{m}$。由於桿 $AC$ 不均勻，桿件重量 $W$ 之重心位置 $o$ 位於由 $C$ 點往左 $L/3$ 處。 假設牆面與桿 $AC$ 間沒有摩擦力，試求牆面反力 $R$、纜索 $AB$ 張力 $T$、桿 $AC$ 傾斜角 $	heta$、纜索 $AB$ 傾斜角 $\phi$。 提示：「角度」可用三角函數表示，不用實際算出角度。例如：角度 $	heta=30^\circ$，可用 $\sin(	heta)=1/2$ 或 $	heta=\sin^{-1}(1/2)$ 表示，不用算出 $	heta=30^\circ$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考察平面剛體靜力平衡與力矩平衡。牆面光滑，因此牆面對桿 $AC$ 的反力 $R$ 垂直於牆面，只有水平方向分量；纜索張力 $T$ 沿纜索方向作用。圖中的 $	heta$、$\phi$ 均以水平線為基準。 解題方法 取 $x$ 軸向右、$y$ 軸向上。由垂直方向力平衡，牆面沒有垂直反力，因此 $$ \sum Fy=0:\qquad T\sin\phi-W=0 $$ 故 $$ T\sin\phi=W. 	ag{1} $$ 以 $C$ 點取力矩。重心 $o$ 位於從 $C$ 往左 $L/3$ 處，所以重量 $W$ 對 $C$ 的力矩臂為 $(L/3)\cos	heta$。張力 $T$ 與桿件方向的夾角為 $\phi-	heta$，其力矩臂可寫成 $L\sin(\phi-	heta)$。力矩平衡為 $$ T L\sin(\phi-	heta) = W\frac{L}{3}\cos	heta. 	ag{2} $$ 將式 (1) 代入式 (2)，並展開 $\sin(\phi-	heta)$： $$ W\left(\cos	heta-\cot\phi\sin	hetaight) = \frac{W}{3}\cos	heta, $$ 整理得 $$ 	an	heta=\frac{2}{3}	an\phi, \qquad 	an\phi=\frac{3}{2}	an	heta. 	ag{3} $$ 再由圖形幾何，$A$ 到 $C$ 的水平距離為 $L\cos	heta$，垂直高差為 $L\sin	heta$；$B$ 比 $C$ 高 $h$，因此 $$ 	an\phi = \frac{L\sin	heta+h}{L\cos	heta}. $$ 使用式 (3)，可得

Question 3

圖 3 顯示一平面應力元素受力狀態。試求主應力與主平面、最大剪應力及其所在平面，並請繪製相應之應力元素圖明確表示。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 平面應力元素可用應力張量求主應力，也可用 Mohr 圓求主應力與最大剪應力。主平面上的剪應力為零；最大剪應力等於 Mohr 圓半徑，且其所在平面與主平面相差 $45^\circ$。 依圖中箭頭方向，以拉應力為正、壓應力為負： - $x$ 方向正應力為壓應力：$\sigmax=-50\ 	ext{kgf/cm}^2$。 - $y$ 方向正應力為拉應力：$\sigmay=150\ 	ext{kgf/cm}^2$。 - 剪應力大小為 $100\ 	ext{kgf/cm}^2$。在 $+x$ 面上剪力向下，因此 $	au{xy}=-100\ 	ext{kgf/cm}^2$。 解題方法 平均正應力與 Mohr 圓半徑為 $$ \sigma{\mathrm{avg}} =\frac{\sigmax+\sigmay}{2} =\frac{-50+150}{2} =50\ 	ext{kgf/cm}^2 $$ $$ R =\sqrt{\left(\frac{\sigmax-\sigmay}{2}ight)^2+	au{xy}^2} =\sqrt{(-100)^2+(-100)^2} =100\sqrt{2} =141.42\ 	ext{kgf/cm}^2 $$ 因此主應力為 $$ \sigma1=\sigma{\mathrm{avg}}+R =50+100\sqrt{2} =191.42\ 	ext{kgf/cm}^2 $$ $$ \sigma2=\sigma{\mathrm{avg}}-R =50-100\sqrt{2} =-91.42\ 	ext{kgf/cm}^2 $$ $\sigma1$ 為拉應力，$\sigma2$ 為壓應力。 若 $	heta$ 表示主平面法線自 $+x$ 軸逆時針量起的角度，則 $$ 	an 2	hetap =\frac{2	au{xy}}{\sigmax-\sigmay} =\frac{-200}{-200} =1 $$ 主平面法線方向相差 $90^\circ$。代入應力轉換式判別可知： - $\sigma1$ 所在主平面的法線方向為 $	heta1=112.5^\circ$；該平面本身與 $+x$ 軸夾角為 $22.5^\circ$。 - $\sigma2$ 所在主平面的法線方向為 $	heta2=22.5^\circ$；該平面本身與 $+x$ 軸夾角為 $112.5^\circ$。 最大剪應力為 Mohr 圓半徑： $$ 	au{\max}=R=141.42\ 	ext{kgf/cm}^2 $$

Question 4

圖 4(a) 顯示一結構，其 $A$ 點支承為固定端、$D$ 點為鉸支承，桿 $AB$ 具 $EI$ 值，桿 $BC$ 及桿 $CD$ 之 $EI$ 為無限大。$LB$ 長度相較桿 $AB$ 之 $L$ 甚大，分析時可忽略桿 $BC$ 之剪力影響。 今於 $B$ 點及 $C$ 點分別加垂直載重 $P$，圖 4(b) 為受力後之自由體圖。 已知桿 $AB$ 挫屈時之特徵方程式為： $$ a	imes(kL)\sin(kL)+b	imes\cos(kL)-1=0 $$ 其中： $$ k^2=\frac{P}{EI} $$ 試求 $a$、$b$ 數值，及桿 $AB$ 挫屈時之有效長度係數 $K{AB}$。其中： $$ P{cr}=\frac{\pi^2EI}{(K{AB}L)^2} $$ 計算時請使用圖 4(b) 中 $A$ 點 $xy$ 座標及相關力及彎矩等參數。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查受軸力構件的彈性挫屈。桿 AB 受軸壓力 $P$，其側向變形由桿件彎曲控制；端點 B 連接剛性桿 BC，因此依 $LB\gg L$ 可視為 B 點轉角為零。桿 CD 的傾斜使其產生水平反力，大小為 $P\Delta/L$，方向與側移相反。 取 AB 長度方向為 $x$ 軸，令 B 點側移量為 $\Delta$。挫屈微分方程為 $$ EI\,y''''+P\,y''=0,\qquad k^2=\frac{P}{EI}. $$ 解題方法 A 點固定，故 $y(0)=0$、$y'(0)=0$。微分方程的解可寫成 $$ y(x)=C\bigl(\sin kx-kx\bigr)+D\bigl(\cos kx-1\bigr). $$ 令 $z=kL$。由剛性桿 BC 的轉角可忽略，B 點轉角為零： $$ y'(L)=0 \quad\Longrightarrow\quad C(\cos z-1)-D\sin z=0. $$ 利用此條件，可得 B 點側移量 $$ \Delta=y(L) =C\left[2	an\left(\frac z2ight)-zight]. $$ 桿 AB 的端剪力為 $Q=EIy'''+Py'$。由 $y'(L)=0$ 可得 $$ QB=-EI\,k^3C. $$ 由圖 4(b) 的水平力平衡，桿 CD 傾斜所造成的水平力為 $P\Delta/L$，對 AB 形成與側移相反的剪力，因此 $$ QB=-\frac{P}{L}\Delta. $$

108 高普考高考三級土木工程工程力學（包括材料力學）考古題詳解

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