109 年高普考高考三級土木工程考古題與詳解

Question 1

如圖示，一長度為 $L=2\,\mathrm{m}$、重量為 $W=50\,\mathrm{N}$ 之均勻桿件，靜置於光滑斜面上。已知左斜面傾斜角為 $\psi=30^\circ$，右斜面傾斜角為 $\phi=45^\circ$，不計桿件之斷面大小，求平衡時桿件之傾斜角 $	heta$ 為何？ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 斜面光滑，桿件兩端只受斜面的法向力；桿件另受通過中點的重力 $W$。靜力平衡須滿足合力與合力矩皆為零。由於兩端接觸點到桿件中點的距離相同，可對桿件中點取矩，消去桿長。 解題方法 令左、右斜面的法向力分別為 $NL$、$NR$。依圖示，桿件由左向右上傾角為 $	heta$；左側法向力與水平夾角為 $90^\circ-\psi$，右側法向力與水平夾角為 $90^\circ+\phi$。 先由水平方向力平衡： $$ NL\sin\psi=NR\sin\phi $$ 因此 $$ \frac{NL}{NR} =\frac{\sin\phi}{\sin\psi} =\frac{\sin45^\circ}{\sin30^\circ} =\sqrt{2} $$ 以桿件中點取矩，兩端法向力的力臂相等，故： $$ NR\sin(90^\circ+\phi-	heta) =NL\sin(90^\circ-\psi-	heta) $$

Question 2

如圖示，質量為 $10\,\mathrm{kg}$ 之塊狀物 A 置於水平面上，質量為 $5\,\mathrm{kg}$ 之塊狀物體 B 置於傾斜角為 $30^\circ$ 之斜面上，以不計重量之二桿件 AC 與 BC 連接。所有連接點均為無摩擦力之鉸接，BC 桿件為水平，AC 桿件與水平方向夾角為 $30^\circ$ ，兩塊物體與接觸面之靜摩擦係數均為 $\mu_s=0.5$ 。

今施加一與垂直方向夾角為 $30^\circ$ 之力 $P$ 於 C 點，求兩塊物體均不滑動之最大力 $P$ 為何？

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Accepted Answer

核心觀念 AC、BC 為兩力構件，桿件作用力沿桿軸方向；各物體與 C 點分別滿足靜力平衡。接觸面的靜摩擦力須符合 $|Fs|\leq \musN$，其中 $N$ 為正向力。 依圖示，$P$ 的方向為向左下，與鉛直方向夾角 $30^\circ$。取向右、向上為正。 解題方法 先對 C 點列平衡，求出兩桿內力。再將桿件作用力分別帶入 A、B 的平衡式，檢查兩塊物體的摩擦限制；最大 $P$ 由先達到摩擦極限的物體決定。 計算步驟 C 點的外力分量為 $(-P/2,-\sqrt3P/2)$。由 C 點平衡可得 AC、BC 皆受壓，桿力大小分別為 $$ F{AC}=\sqrt3P,\qquad F{BC}=2P. $$ 對 A 而言，AC 桿對 A 的作用力分量為 $(3P/2,-\sqrt3P/2)$。故 A 的水平摩擦力大小及正向力為 $$ F{sA}=\frac32P,\qquad NA=10g+\frac{\sqrt3}{2}P. $$ A 不滑動須滿足 $$ \frac32P\leq \frac12\left(10g+\frac{\sqrt3}{2}P\right), $$ 因此

Question 3

如圖示，AC 梁長度為 $3a$，撓曲剛度 $EI$ 為定值，B 點為滾接支承，C 端結構僅允許垂直位移，其軸向位移及轉角均為零，於 A 點承受一集中力 $P$ 作用，求 A 端之轉角及位移。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查梁的彎矩與曲率關係，以及支承的位移、轉角邊界條件。依圖示，$B$ 點限制垂直位移；$C$ 端允許垂直位移，但轉角為零，因此 $C$ 端不提供垂直反力，卻能提供反力矩。 取 $A$ 點為 $x=0$，向右為正，令垂直位移向上為正，使用 $$ EI\,v''(x)=M(x) $$ 其中 $v(x)$ 為梁的垂直位移，$M(x)$ 為截面彎矩。 解題方法 先由整體平衡求支承反力，再寫出彎矩分布，利用 $B$ 點垂直位移為零及 $C$ 端轉角為零，求 $A$ 端的轉角與位移。 1. 求反力與彎矩分布 垂直力平衡得 $$ RB-P=0 \quad\Rightarrow\quad RB=P $$ 以 $B$ 點取矩，$A$ 點荷重產生逆時針力矩 $Pa$，故 $C$ 端反力矩為 $$ MC=-Pa $$ 因此，梁內彎矩為 $$ M(x)= \begin{cases} -Px, & 0\le x\le a,\[4pt] -Pa, & a\le x\le 3a. \end{cases} $$ 2. 求 $B$ 點轉角 在 $B$ 至 $C$ 段，彎矩為常數 $-Pa$。由 $C$ 端轉角為零： $$ v'(3a)-v'(a) =\inta^{3a}\frac{M(x)}{EI}\,dx =-\frac{2Pa^2}{EI} $$ 因 $v'(3a)=0$，故 $$ v'(a)=\frac{2Pa^2}{EI} $$ 3. 求 $A$ 端轉角 在 $A$ 至 $B$ 段：

Question 4

如圖示，剛架 ABC 係由兩根相同且均勻之圓管於 B 點焊接而成，A 端為鉸支承，C 端為滾支承。已知圓管斷面之面積為 $A=22620\,\mathrm{mm}^2$ ，二次面積矩為 $I=92.74\times10^6\,\mathrm{mm}^4$ ，外徑為 $d=100\,\mathrm{mm}$ ，於 B 點施加垂直力 $P=10\,\mathrm{kN}$ 。若 $L=H=2.8\,\mathrm{m}$ ，求剛架內最大拉應力與最大壓應力分別是多少？

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Accepted Answer

核心觀念 本題考剛架的支承反力、桿件軸力與彎矩，以及軸力和彎矩共同造成的正應力。截面正應力為 $$ \sigma=\frac{N}{A}\pm\frac{Mc}{I} $$ 其中 $N/A$ 是軸向正應力，$Mc/I$ 是彎曲正應力；$c$ 為截面中性軸至最外纖維的距離。 解題方法 因為 $L=H$，兩根桿件均與水平成 $45^\circ$。對整個剛架取平衡： $$ \sum MA=0:\quad Cy(2L)-PL=0 \quad\Rightarrow\quad Cy=\frac{P}{2} $$ $$ \sum Fy=0:\quad Ay+Cy-P=0 \quad\Rightarrow\quad Ay=\frac{P}{2} $$ 水平方向沒有外力，因此 $Ax=0$。 取左側桿件 $AB$ 作自由體圖，將 $A$ 點反力沿桿件方向分解，可得軸力為壓力： $$ N=\frac{P}{2}\sin45^\circ=\frac{P}{2\sqrt2} =\frac{10}{2\sqrt2}=3.536\ \mathrm{kN} $$ 以 $A$ 點取矩，桿件在 $B$ 端的彎矩大小為 $$ MB=AyL=\frac{PL}{2} =\frac{10(2.8)}{2}=14\ \mathrm{kN\cdot m} $$

109 高普考高考三級土木工程工程力學（包括材料力學）考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

第三題25 分

核心觀念

解題方法

1. 求反力與彎矩分布

2. 求 $B$ 點轉角

3. 求 $A$ 端轉角

第四題25 分

其他考古題

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第 三 題25 分