110 年高普考高考三級土木工程考古題與詳解

Question 1

如圖示懸臂梁，由兩不同深度的矩形斷面之桿件組成。其寬度均為 $50\ \mathrm{mm}$ ，深度分別為 $100\ \mathrm{mm}$ 及 $150\ \mathrm{mm}$ 。梁之固定端為 $C$ ， $AB=4\ \mathrm{m}$ ， $BC=4\ \mathrm{m}$ ，自由端 $A$ 受向下集中力 $2\ \mathrm{kN}$ 。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

試求該梁的最大的彎曲應力。（25 分）

Accepted Answer

核心觀念

本題考懸臂梁受集中力時的彎矩分布，以及不同矩形斷面的彎曲應力比較。彎曲正應力的最大值為

\sigma_{\max}=\frac{Mc}{I}=\frac{M}{S}

其中 $M$ 為截面彎矩， $c$ 為中性軸至最外纖維的距離， $I$ 為截面二次矩， $S=I/c$ 為斷面模數。圖示兩段矩形斷面的中性軸對齊。

解題方法

自由端 $A$ 受向下集中力 $P=2\ \mathrm{kN}$ 。以 $A$ 起算，彎矩隨距離線性增加：

M_B=P(4\ \mathrm{m})=8\ \mathrm{kN\cdot m}

M_C=P(8\ \mathrm{m})=16\ \mathrm{kN\cdot m}

矩形斷面寬度 $b=50\ \mathrm{mm}$ 、深度為 $h$ 時：

I=\frac{bh^3}{12},\qquad c=\frac{h}{2},\qquad S=\frac{bh^2}{6}

**AB 段：**深度 $h=100\ \mathrm{mm}$ 。此段彎矩由 $A$ 端的 $0$ 增至 $B$ 端的 $8\ \mathrm{kN\cdot m}$ ，故最大應力出現在 $B$ 左側：

S_{AB}=\frac{50(100)^2}{6}=83{,}333.3\ \mathrm{mm^3}

Question 2

圖示為某直梁之三角形斷面，底邊長為 $b$，高度為 $h$。斷面上受剪力 $V$ 的作用，且中性軸（NA）位於距底邊 $h/3$ 處。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 試推證斷面上最大的剪應力發生在 $y=h/6$ 處。（25 分）

Accepted Answer

核心觀念 本題使用梁的剪應力公式 $$ 	au=\frac{VQ}{It} $$ 其中 $V$ 為剪力、$Q$ 為切面一側面積對中性軸的面積一階矩、$I$ 為全斷面對中性軸的慣性矩，$t$ 為該處斷面的寬度。要找最大剪應力，須將 $	au$ 表示為位置的函數，再求其極大值。 解題方法 令 $z$ 為自三角形底邊向上量的高度，底邊為 $z=0$，頂點為 $z=h$。三角形斷面的中性軸位於 $$ z=\frac{h}{3} $$ 因此圖示的 $y$ 是自中性軸向上量的距離，兩者關係為 $$ z=\frac{h}{3}+y $$ 在高度 $z$ 處，斷面寬度由相似三角形得 $$ t=b\left(1-\frac{z}{h}ight)=\frac{b(h-z)}{h} $$ 取該水平切面以上的三角形面積計算 $Q$。此小三角形的面積為 $$ A'=\frac{1}{2}t(h-z)=\frac{b(h-z)^2}{2h} $$ 其形心距切面為 $(h-z)/3$，距底邊為 $z+(h-z)/3$，故形心距中性軸為 $$ z+\frac{h-z}{3}-\frac{h}{3}=\frac{2z}{3} $$ 所以 $$ Q=A'\left(\frac{2z}{3}ight) =\frac{bz(h-z)^2}{3h} $$ 全三角形對中性軸的慣性矩為 $$ I=\frac{bh^3}{36} $$ 代入剪應力公式：

Question 3

圖示為長 $4\ \mathrm{m}$ 之懸臂梁 $AB$，受均布與分布載重作用。若其固定端 $A$ 點之反力矩為零，試求： (一) 均布載重施載長度 $a$。（10 分） (二) 並繪出 $AB$ 梁之剪力圖（標示相關值或函數）。（15 分） 其中，梁 $AB$ 全長為 $4\ \mathrm{m}$；自 $A$ 點起至距離 $4-a$ 處，承受向上的三角形分布載重，於 $A$ 點強度為 $0$，至距離 $4-a$ 處強度為 $7\ \mathrm{kN/m}$；自距離 $4-a$ 處至自由端 $B$，承受向下均布載重 $6\ \mathrm{kN/m}$，其作用長度為 $a$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考查分布載重的合力與作用點、懸臂梁的平衡，以及剪力與分布載重的關係。三角形分布載重的合力等於載重圖形面積，作用點位於三角形高端起算 $1/3$ 底長處；均布載重的合力作用於載重區段中點。 解題方法 令三角形分布載重長度為 $4-a$。以 $A$ 點取矩，題目給定固定端反力矩為零，因此向上三角形載重的力矩與向下均布載重的力矩大小相等： $$ \left[\frac{1}{2}(7)(4-a)ight] \left[\frac{2}{3}(4-a)ight] = (6a)\left[4-\frac{a}{2}ight]. $$ 整理得 $$ \frac{7}{3}(4-a)^2=24a-3a^2, $$ $$ a^2-8a+7=0, \qquad a=1 	ext{ 或 } 7. $$ 由於 $a$ 是長度為 $4\ \mathrm{m}$ 的梁上載重區段長度，須滿足 $0\leq a\leq4$，故 $$ a=1\ \mathrm{m}. $$ 此時三角形載重長 $3\ \mathrm{m}$，合力為 $10.5\ \mathrm{kN}$，作用於距 $A$ 點 $2\ \mathrm{m}$ 處；均布載重合力為 $6\ \mathrm{kN}$，作用於距 $A$ 點 $3.5\ \mathrm{m}$ 處。兩者力矩均為 $21\ \mathrm{kN\cdot m}$，方向相反。 由垂直力平衡，固定端反力向下： $$ RA+10.5-6=0 \quad\Rightarrow\quad RA=-4.5\ \mathrm{kN}, $$ 其中向上為正。 剪力圖

Question 4

圖示為一懸臂實心圓棒，固定在 $A$ 點，自由端 $B$ 點同時承受剪力 $V=300\ \mathrm{N}$ 和扭矩 $T=35\ \mathrm{N\cdot m}$ 作用。圓棒的長度 $L=1.5\ \mathrm{m}$ ，直徑 $d=75\ \mathrm{mm}$ 。試求位於固定端 $A$ 點棒底面上的單元 $c$ 處的主應力和最大剪應力。（應力集中效應忽略不計。）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 固定端截面同時承受剪力造成的彎矩，以及自由端施加的扭矩。單元 $c$ 位於圓棒底部外表面，因此要合併該處的彎曲正應力與扭轉剪應力；橫向剪力 $V$ 在圓截面外表面的剪應力為零。 解題方法 固定端彎矩為 $$ MA=VL=(300)(1.5)=450\ \mathrm{N\cdot m}. $$ 令半徑 $c=d/2=0.0375\ \mathrm{m}$。實心圓截面的慣性矩與極慣性矩分別為 $$ I=\frac{\pi d^4}{64},\qquad J=\frac{\pi d^4}{32}. $$ 由圖示的受力方向，單元 $c$ 處的彎曲正應力為拉應力： $$ \sigmax=\frac{MAc}{I} =\frac{32MA}{\pi d^3} =\frac{32(450)}{\pi(0.075)^3} =10.86\ \mathrm{MPa}. $$ 扭轉剪應力為 $$ 	au=\frac{Tc}{J} =\frac{16T}{\pi d^3} =\frac{16(35)}{\pi(0.075)^3} =0.422\ \mathrm{MPa}. $$

110 高普考高考三級土木工程工程力學（包括材料力學）考古題詳解

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