110 高普考高考三級 土木工程 測量學 考古題詳解

核心觀念

本題以基線場的已知距離與全站儀實測距離之差，估計儀器與稜鏡組合的加常數 $C$ 與乘常數 $S$。測距精度寫成 $\pm(C+S\times D)$ mm，其中 $C$ 的單位為 mm，$S$ 的單位為 ppm。

令第 $i$ 段的已知距離為 $D'_i$ m，實測距離為 $D_i$ m。以已知距離作為乘常數的距離基準，距離差換算成 mm 後，可列：

其中 $v_i$ 為第 $i$ 段的殘差，單位為 mm。係數 $D'_i/1000$ 來自單位換算：$1$ ppm 作用於 $D'_i$ m，相當於 $D'_i/1000$ mm。

解題方法

題目表格只提供 $D'_1,\ldots,D'_5$ 與 $D_1,\ldots,D_5$ 的符號，沒有提供它們的數值。因此可列出完整的最小二乘觀測方程式及計算公式，但無法代數求得數值型的 $C$、$S$ 與中誤差。

五筆觀測方程式為：

令 $y_i=1000(D_i-D'_i)$、$x_i=D'_i/1000$，則矩陣式為：

以最小二乘法估計參數：

核心觀念

三邊長已知時，可用海龍公式求三角形面積。面積的不確定度則以誤差傳播定律計算：若三個距離觀測彼此獨立，面積的變異數等於各邊長變異數乘上面積對該邊偏微分平方後的總和。

令 $a=BC=192.54$ m、$b=AC=140.24$ m、$c=AB=102.32$ m，三邊觀測的中誤差皆為 $\sigma=0.05$ m。

解題方法

先求半周長：

依海龍公式，面積 $K$ 為

代入 $s-a=25.01$、$s-b=77.31$、$s-c=115.23$：

接著計算面積對三邊長的偏微分。由海龍公式可得：

另外兩邊的偏微分由對稱方式得到：

核心觀念

本題考查水平角交會測量：由兩個已知點 $A、B$ 觀測未知點 $C$ 的水平角，先求已知基線 $AB$ 的方位角，再依角度盤讀數求出 $AC、BC$ 的方位角，最後以兩條方向線交會求 $C$ 點坐標。

在 $E$、$N$ 坐標系中，方位角自北方向起算，順時針增加。由已知點 $P(E_P,N_P)$ 指向 $Q(E_Q,N_Q)$ 的方位角與距離為：

方位角換算至 $0^\circ\sim360^\circ$ 範圍。若後視方向為 $P\to Q$，水平角讀數為 $\theta$，則前視方向方位角為：

解題方法

1. 求基線 $AB$ 的方位角

由 $A$ 指向 $B$：

因此：

即約為 $75^\circ02'16''$。反方向方位角為：

2. 由兩站觀測角求 $AC、BC$ 方位角

測站設在 $A$，以 $AB$ 為後視方向並歸零，觀測 $C$ 的讀數為 $300^\circ$，故：

測站設在 $B$，以 $BA$ 為後視方向並歸零，觀測 $C$ 的讀數為 $65^\circ$，故：

核心觀念

本題考平行玻璃板測微器（Parallel plate micrometer）的構造與讀數原理。精密水準測量以水準尺提供高程讀數；測微器則讓望遠鏡視線作微小、可量測的上下移動，使水準尺分劃能精確對準十字絲，讀出不足一個水準尺分劃的細分量。

簡圖與構造

 望遠鏡視線
 ───────────→ 水準尺像
 ／
 平行玻璃板／ 傾斜角 α
 ／
 │ 入射視線
 │
 │──────● 十字絲
 ↑
 測微螺旋與分劃讀數

平行玻璃板裝在望遠鏡物鏡前方，板面可由測微螺旋控制傾斜。水準尺像經過玻璃板後，視線會產生平行位移；轉動測微螺旋，即可使水準尺像相對於十字絲上下移動。

作用原理與解題方法

光線通過平行玻璃板時，出射光線與入射光線平行，但會產生側向位移。玻璃板厚度為 $t$、折射率為 $n$、入射角為 $i$、折射角為 $r$ 時，側向位移為