113 高普考高考三級 土木工程 測量學 考古題詳解

核心觀念

本題考查不同精度的獨立觀測量如何加權平差。假設各成果沒有粗差、彼此不相關，且所列 $\pm$ 值代表同一信賴水準下的標準差，則觀測變異數愈小，權愈大。單一未知面積的最或是值為加權平均：

其後驗標準差為：

解題方法

四筆面積觀測值及其標準差為：

以 $1/\sigma_i^2$ 為權，權數分別為 $1,1,\frac14,\frac14$。為避免分數，可將權數同乘 $4$，採用相對權數 $4,4,1,1$。加權平均為：

核心觀念

製圖角又稱子午線收斂角，是某地的真北方向與地圖上的方格北方向之間的夾角。真北沿當地子午線指向北極；方格北則沿投影座標縱軸的正北方向。在橫麥卡托投影中，中央子午線投影為直線，該線上的真北與方格北重合；離開中央子午線後，兩者通常不再平行。

臺灣二度分帶橫麥卡托投影的中央子午線為東經 $119^\circ$ 與 $121^\circ$。題示地點經度為東經 $120^\circ19'$，位於東經 $121^\circ$ 中央子午線以西。

解題方法

以該分帶中央子午線為基準，先判斷地點位於中央子午線東側或西側，再據此判定真北與方格北的相對方向。製圖角的近似關係式為

其中 $\gamma$ 為製圖角，$\lambda$ 為地點經度，$\lambda_0$ 為中央子午線經度，$\varphi$ 為地點緯度。

核心觀念

PDOP（Position Dilution of Precision，位置精度因子）用來表示衛星幾何分布對三維定位精度的影響。它衡量的是幾何形狀造成的誤差放大程度，不代表觀測資料本身的品質，也不是直接以公尺表示的定位誤差。

衛星分布越均勻、幾何圖形越有利，PDOP 越小，定位精度通常越好；衛星集中於天空某一區域時，PDOP 越大，定位精度通常越差。若測距觀測誤差的標準差為 $\sigma_\rho$，在各觀測精度相同且互不相關的假設下，三維位置誤差的均方根量級可表示為：

解題方法：由觀測幾何求算

以接收機為原點，將每顆衛星的視線方向單位向量寫成 $(u_x,u_y,u_z)$。線性化測距觀測方程後，每顆衛星對應一列幾何矩陣 $G$：

核心觀念

水準測量以後視讀數減前視讀數求取兩點高程差。令後視距為 $d_B$、前視距為 $d_F$。若兩視距相等，兩視線所受的部分距離相關系統誤差會在高程差中相互抵銷或大幅減小。

解題方法

逐項比較後視與前視觀測中誤差的作用：

• 視準軸誤差（視準軸不水平）：視準軸有微小傾斜時，讀數誤差會隨視距增加。後視、前視距離相等時，兩次讀數所受誤差近似相等，計算高程差時互相抵銷。
• 地球曲率與大氣折光改正：兩者的影響都與視距有關。前後視距相等時，兩側影響近似相同，對高程差的淨影響大致抵銷。