113 高普考高考三級 測量製圖 測量學（包括平面測量、大地測量及衛星定位測量） 考古題詳解

核心觀念

本題考查觀測值的粗差檢定，以及由邊長觀測值推算體積與其標準誤差。

六次觀測的平均值為 $\bar{x}$，樣本標準差為 $s$。在常態觀測誤差假設下，單一觀測值 $x_i$ 的標準化殘差可寫為

其中 $n$ 為觀測次數。此統計量與自由度 $n-1$ 的 Student $t$ 分布相比；若超過雙尾 $99\%$ 信賴水準的臨界值，則判定該觀測值為粗差。

解題方法

（一）以 $99\%$ 信賴水準檢定錯誤觀測

六次觀測值為 $15.2,\ 14.2,\ 15.2,\ 15.1,\ 15.3,\ 15.0\ \mathrm{mm}$，其平均值為

樣本標準差為

偏離平均值最大的觀測是 $14.2\ \mathrm{mm}$，其標準化殘差為

自由度為 $n-1=5$。雙尾 $99\%$ 信賴水準的臨界值為 $t_{0.995,5}\approx 4.03$。

核心觀念

本題考查五種 GPS 定位方法的基本差異，以及相對定位中基線長度對精度的影響。比較時可抓住三個問題：

1. 精度：觀測資料能消除或削弱多少衛星鐘差、接收儀鐘差、大氣延遲與軌道誤差。
2. 定位訊號：使用單一接收儀的衛星觀測，或同時使用流動站與參考站的共同觀測；並區分載波相位與碼偽距。
3. 定位時效：結果是即時取得，還是須累積觀測並事後處理。

「相對定位」是以參考站與流動站同步觀測相同衛星，利用兩站觀測量的差分消除共同誤差，求得兩站之間的基線向量。

解題方法

先辨認各方法是否使用參考站，再判斷觀測量與處理方式：

• GPS 單點定位：單一接收儀以衛星導航訊號求出自身座標。
• DGPS 差分定位：參考站提供差分改正，流動站套用改正以改善碼偽距定位。
• RTK 即時動態定位：參考站與流動站同步觀測載波相位，透過即時傳輸資料解算基線。
• 靜態相對定位：兩站同步觀測一段時間，事後處理載波相位，求得高精度基線。
• PPP 精密單點定位：單一接收儀搭配精密衛星軌道、衛星鐘差等產品解算，不需要附近參考站；通常須經收斂後才得到高精度結果。

五種方法比較

核心觀念

水準面是與重力方向處處垂直的曲面；水平面則是某點水準面的切平面。以水平面代替水準面，是把曲面上的測量問題近似為平面問題，會造成距離、角度及高差的系統性差異。

令地球平均半徑 $R\approx 6.371\times10^6\text{ m}$。測區範圍小、精度要求不高時，這些差異可忽略；測區擴大或精度提高時，就須計算改正。

解題方法

依題目要求，分別比較曲面上的量與平面近似的量：

（一）水準面曲率對水平距離及水平角度的影響

1. 水平距離

設測區中心至測點的水準面弧長為 $D=R\theta$。若以測區中心的水平面代替水準面，該點在切平面上的距離為 $D'=R\tan\theta$。因此，距離差為

此處是比較水準面弧長與切平面上的切線距離；平面距離較長，且誤差約與距離的三次方成正比。以 $R=6.371\times10^6\text{ m}$ 估算，$D=10\text{ km}$ 時，$\Delta D\approx8.2\text{ mm}$，相對誤差約為 $1/1{,}220{,}000$。因此，在一般小範圍測量中常可忽略；距離愈長，則愈須注意。

2. 水平角度

在曲面上，多邊形的內角和會比其平面投影的內角和多出球面角超。球面面積為 $A$ 時，球面角超為

換算為角秒：

其中 $\rho''\approx206{,}265''$ 為每弧度的角秒數。也就是說，水準面曲率會使球面多邊形內角和較平面內角和多出 $\varepsilon$；一般測量範圍內此影響很小，通常不必改正，精密大地測量則須考慮。

（二）地球曲率對高差的影響

核心觀念

本題考查直接水準測量中的：

1. 視準軸誤差改正。
2. 閉合水準測量的閉合差分配。
3. 由高程差逐點推算高程。

視準軸上仰 $15''$，其角度換算為弧度：

視準軸改正量採用：

其中 $D_B$ 為後視距離，$D_F$ 為前視距離。

由於本路線為閉合水準路線，理論上各段改正後高程差總和應為 $0$。

解題方法

一、視準軸改正

各測線長度取後視距離與前視距離之和：

計算結果如下：

例如第 1 測線：

因此：

視準軸改正後高程差總和為：

故閉合差為：

二、閉合差改正

閉合差應平均分配至各測線，且改正量與測線長度成正比：

本題：

各測線閉合差改正量如下：