115 高普考高考三級 測量製圖 測量學（包括平面測量、大地測量及衛星定位測量） 考古題詳解

核心觀念

本題考查全站儀電子測距的「固定誤差與比例誤差」如何合成，以及稜鏡對心誤差如何納入距離觀測誤差。

電子測距精度標示為 $\pm(a+b\ \mathrm{ppm})$ 時，$a$ 是固定誤差，$b\ \mathrm{ppm}$ 是隨距離成比例的誤差。若各誤差來源視為互相獨立的隨機誤差，合成標準誤差採平方和開根號：

解題方法

先把各項誤差換成相同單位，再以平方和開根號合成。

1. 計算電子測距的比例誤差

$300\ \mathrm{m}=300{,}000\ \mathrm{mm}$，而 $1\ \mathrm{ppm}=10^{-6}$，因此：

2. 計算電子測距誤差

電子測距精度中的固定誤差為 $2\ \mathrm{mm}$，比例誤差為 $0.6\ \mathrm{mm}$。兩者視為獨立誤差，合成為：

核心觀念

六次觀測同一角度，若各次觀測精度相同且彼此獨立，角度的最或是值為算術平均數。樣本標準偏差描述單次觀測的離散程度；最或是值的標準偏差則為樣本標準偏差除以觀測次數平方根。

以 $95\%$ 信心水準作為錯誤偵測門檻時，採雙尾常態門檻 $1.96$，檢查各觀測值與平均數的標準化殘差是否超過 $1.96$。本題各角度的度、分相同，計算時只需處理秒數。

解題方法

將六個觀測值的秒數以 $36''$ 為基準，依序記為 $x_i$：

先求初步平均數：

各觀測值相對平均數的殘差為：

最大殘差的絕對值為 $18.6667''$。樣本標準偏差為：

核心觀念

本題考水準儀各軸線間的幾何關係，以及儀器整平後，為何望遠鏡轉動所得的水平視線能用來傳遞相同高程（位能）的基準。

水準儀主要涉及三個軸線：

• 圓水準器軸：通過圓水準器中心，並垂直於其底座的軸線。
• 水準管軸：水準管中央刻劃處的切線；氣泡居中時，此軸線呈水平。
• 視準軸：望遠鏡十字絲交點與物鏡光心的連線，亦即瞄準目標的視線。
• 垂直軸：儀器旋轉部分繞以轉動的軸線。

高程測量所要求的主要幾何條件為：

1. 圓水準器軸與垂直軸平行，使圓氣泡居中時，儀器垂直軸能保持鉛直。
2. 水準管軸與視準軸平行，使水準管氣泡居中時，視準軸呈水平。
3. 垂直軸與水準管軸互相垂直；配合前兩項，垂直軸鉛直時，水準管軸及視準軸均水平。

解題方法

先由儀器整平的操作程序判斷各軸線條件，再以等位面與重力方向說明視線平轉的意義。

儀器架設並整平後，圓水準器氣泡居中，表示垂直軸鉛直；再使水準管氣泡居中，表示水準管軸水平。由於水準管軸與視準軸平行，視準軸亦呈水平。

核心觀念

導航電文中的星曆（ephemeris）是一組描述單一衛星在短期內軌道與運動狀態的參數。接收機利用這些參數，配合觀測到的訊號發射時刻，計算衛星在該時刻的位置；再將衛星位置與測站位置代入電碼虛擬距離觀測方程式。

星曆的主要目的，是提供衛星在空間中的位置資訊。它與導航電文中的曆書（almanac）不同：星曆精度較高、有效時間較短，供定位時計算衛星位置；曆書精度較低、涵蓋時間較長，主要供接收機搜尋衛星及粗略判斷衛星可見性。

以 GPS 廣播星曆為例，主要軌道參數可分為：

• 基本開普勒軌道參數：軌道長半徑平方根 $\sqrt{A}$、偏心率 $e$、參考時刻平近點角 $M_0$、軌道傾角 $i_0$、升交點赤經 $\Omega_0$、近地點幅角 $\omega$。
• 參考時刻與運動速率參數：星曆參考時刻 $t_{oe}$、參考週數、平近點角變化率修正 $\Delta n$、升交點赤經變化率 $\dot{\Omega}$、軌道傾角變化率 $\dot{i}$。
• 攝動修正參數：$C_{uc}, C_{us}$ 修正緯度幅角；$C_{rc}, C_{rs}$ 修正軌道半徑；$C_{ic}, C_{is}$ 修正軌道傾角。
• 衛星鐘差參數：$a_{f0}, a_{f1}, a_{f2}$，以及相對論修正所需的軌道參數。衛星鐘差參數通常與軌道星曆一併由導航電文播送，但嚴格來說是衛星鐘差資料，不是軌道星曆本身。

這些資料合用，可由開普勒軌道與攝動修正推算衛星在地心地固座標系（ECEF）中的位置。

解題方法

解題時，先把星曆的作用鎖定為「由訊號發射時刻求衛星位置」，再依電碼虛擬距離方程式逐項指出對應關係：星曆決定衛星位置，衛星鐘差資料修正衛星時鐘，接收機位置與鐘差則是定位的未知數。

GPS 廣播星曆推算軌道的一般步驟如下：

1. 由觀測時刻及星曆參考時刻求時間差 $t_k$。
2. 由 $\sqrt{A}$ 得 $A=(\sqrt{A})^2$，並利用 $A$、地球引力常數 $\mu$ 求平均角速度，再以 $\Delta n$ 修正。
3. 計算平近點角 $M_k$，解開普勒方程式 $M_k=E_k-e\sin E_k$，求偏近點角 $E_k$。
4. 由 $E_k$ 求真近點角 $v_k$，與近地點幅角 $\omega$ 合成緯度幅角；再套用 $C_{uc},C_{us},C_{rc},C_{rs},C_{ic},C_{is}$ 的週期修正。
5. 配合軌道傾角 $i_0$、升交點赤經 $\Omega_0$ 及其變化率，將軌道面座標轉為地固座標，得到衛星位置 $\mathbf r_s$。

衛星位置須對應訊號發射時刻計算，而非直接採用接收時刻的位置；因訊號傳播期間衛星仍在移動，實務上須考慮訊號傳播時間及地球自轉造成的座標影響。