115 高普考高考三級 測量製圖 誤差理論及實務 考古題詳解

核心觀念

本題考兩個不同的量：

1. 平均值的標準差：單次測距的標準差除以觀測次數平方根，適用於各次觀測相互獨立、精度相同的情形。
2. 相對精度：以測量值與真值的差作為實際誤差，再比較該誤差與邊長的比例，通常寫成 $1:n$。

測距精度 $3\ \mathrm{cm}+20\ \mathrm{ppm}$ 表示距離越長，誤差項會隨距離增加。其中 $20\ \mathrm{ppm}=20\times10^{-6}$。

解題方法

一、計算單次測距標準差

邊長約為 $500\ \mathrm{m}$，因此 $20\ \mathrm{ppm}$ 對應的距離量為：

$$500\ \mathrm{m}\times20\times10^{-6} =0.010\ \mathrm{m} =1\ \mathrm{cm}$$

單次測距的標準差為：

$$\sigma=3\ \mathrm{cm}+1\ \mathrm{cm}=4\ \mathrm{cm}$$

二、計算 10 次觀測平均值的標準差

若 10 次測量相互獨立且精度相同，平均值的標準差為：

核心觀念

測量平差模型由兩部分構成：

• 函數模型：描述觀測量、未知參數與已知量之間的數學關係。
• 隨機模型：描述觀測量的精度與彼此相關性，通常以觀測量協方差矩陣 $\mathbf{\Sigma}_{ll}=\sigma_0^2\mathbf{Q}_{ll}$，或權矩陣 $\mathbf{P}=\mathbf{Q}_{ll}^{-1}$ 表示。

以下採用三種基本平差模型：間接觀測平差、條件平差、附有參數的條件平差。令觀測向量為 $\mathbf{l}$、觀測改正數為 $\mathbf{v}$、未知參數向量為 $\mathbf{x}$、設計矩陣為 $\mathbf{A}$、條件閉合差向量為 $\mathbf{w}$、條件係數矩陣為 $\mathbf{B}$。三種模型的後驗單位權標準差，皆以平差後加權殘差平方和除以相應自由度，再開平方求得。

解題方法

一、間接觀測平差（參數平差）

函數模型

線性化後的觀測方程式為

$$\mathbf{v}=\mathbf{A}\mathbf{x}-\mathbf{l}$$

亦可寫成 $\mathbf{l}+\mathbf{v}=\mathbf{A}\mathbf{x}$。其中，$\mathbf{x}$ 為待求參數改正數，$\mathbf{A}$ 的列對應觀測方程式，行對應未知參數。

隨機模型

$$\operatorname{Cov}(\mathbf{l})=\sigma_0^2\mathbf{Q}_{ll}, \qquad \mathbf{P}=\mathbf{Q}_{ll}^{-1}$$

若觀測量互不相關，$\mathbf{Q}_{ll}$ 為對角矩陣；若觀測量相關，則須保留非對角元素。

函數模型特性

觀測數 $n$ 通常多於未知參數數 $u$，多出的觀測提供冗餘，可用最小二乘法決定參數。其法方程式為

$$\mathbf{A}^{T}\mathbf{P}\mathbf{A}\,\hat{\mathbf{x}} =\mathbf{A}^{T}\mathbf{P}\mathbf{l}$$

假設參數可估且基準已適當處理，後驗單位權標準差為

$$\hat{\sigma}_0 = \sqrt{\frac{\mathbf{v}^{T}\mathbf{P}\mathbf{v}}{n-u}}$$

此處 $n-u$ 為多餘觀測數，也是自由度。

二、條件平差

函數模型

觀測量本身須滿足幾何或物理條件，線性條件式為

$$\mathbf{B}\mathbf{v}+\mathbf{w}=\mathbf{0}$$

其中 $\mathbf{w}=\mathbf{B}\mathbf{l}$ 為未平差觀測量的條件閉合差。

隨機模型

$$\operatorname{Cov}(\mathbf{l})=\sigma_0^2\mathbf{Q}_{ll}, \qquad \mathbf{P}=\mathbf{Q}_{ll}^{-1}$$

函數模型特性

條件式直接限制觀測量，不必先引入待估參數。若有 $r$ 個線性獨立條件，觀測數為 $n$，則自由度為 $r$，亦即獨立閉合條件的數目。平差改正數可寫為

核心觀念

點位誤差橢圓用來描述單一平面點位坐標誤差的分布情形。設點位坐標誤差為 $\Delta\mathbf{x}=(\Delta x,\Delta y)^T$，其協方差矩陣為

$$\boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} \sigma_x^2 & \sigma_{xy}\\ \sigma_{xy} & \sigma_y^2 \end{bmatrix},$$

其中 $\sigma_x^2$、$\sigma_y^2$ 是 $x$、$y$ 方向的變異數，$\sigma_{xy}$ 是兩方向誤差的共變異數。以此矩陣所描述的等精度曲線為橢圓，即為點位誤差橢圓；其長、短軸方向為主軸方向，軸長反映該方向的誤差大小。

點位間相對誤差橢圓描述兩點相對位置向量的誤差分布。對點 $A$、$B$，相對坐標向量為 $\mathbf{d}=\mathbf{x}_B-\mathbf{x}_A$，其誤差為 $\Delta\mathbf{d}=\Delta\mathbf{x}_B-\Delta\mathbf{x}_A$。相對誤差橢圓由 $\Delta\mathbf{d}$ 的協方差矩陣決定，表示兩點間相對位置的精度。

解題方法

核心作法是先求兩點相對坐標差的協方差，再由該協方差矩陣畫出橢圓。利用協方差的線性運算性：

$$\boldsymbol{\Sigma}_{B-A} =\operatorname{Cov}(\Delta\mathbf{x}_B-\Delta\mathbf{x}_A) =\boldsymbol{\Sigma}_B+\boldsymbol{\Sigma}_A -\operatorname{Cov}(\Delta\mathbf{x}_B,\Delta\mathbf{x}_A) -\operatorname{Cov}(\Delta\mathbf{x}_A,\Delta\mathbf{x}_B).$$

若兩點坐標誤差互不相關，兩個交叉共變異數矩陣為零，因此

核心觀念

控制網平差分兩階段：第一階段處理網形本身的觀測資料，包括粗差偵測、系統誤差處理，以及估定觀測量精度或權的比例；第二階段則把第一階段成果與已知點資料結合，使控制網納入指定的基準系統。

自由網平差不固定網中任何點，所得坐標仍有平移、旋轉等基準自由度；最小約制平差只加入足以消除基準自由度的最少約制。第二階段引入已知點後，網形的基準與位置得以確定，並可檢核已知點與網內觀測資料是否相容。

解題方法

第二階段平差的目的，是在第一階段已完成觀測資料品質處理與精度估定的基礎上，利用已知點坐標或其他已知基準資料，將網形納入所需坐標基準，求得符合該基準的控制點坐標；同時檢視已知點資料與觀測網之間的吻合程度。

若第二階段沒有重新釐定權，則兩階段採用相同的觀測量權系統。後驗單位權標準差可表示平差後單位權的實際精度與先驗權尺度的符合程度，常用形式為

$$\hat{\sigma}_0=\sqrt{\frac{\boldsymbol{v}^{T}\boldsymbol{P}\boldsymbol{v}}{f}}$$

其中 $\boldsymbol{v}$ 為改正數向量、$\boldsymbol{P}$ 為權矩陣，$f$ 為自由度。