114 高普考高考三級 測量製圖 誤差理論及實務 考古題詳解

核心觀念

本題考三角形面積的函數誤差傳播。面積為底長與高的乘積之一半：

若底長 $b$ 與高 $h$ 都是觀測量，且兩者互不相關，則面積標準差為：

題目給的測距標準差「$\pm 1/1000$」是相對精度；依測量精度的通常表示，假設每一段距離觀測的標準差為其距離的 $1/1000$，因此 $\sigma_b=b/1000$、$\sigma_h=h/1000$。

解題方法

先計算面積：

底長與高的標準差分別為：

假設底長與高的測量誤差互不相關，將數值代入誤差傳播公式：

核心觀念

觀測量權矩陣用來表示各觀測值的相對精度，以及觀測值之間是否相關。設有 $n$ 個觀測量組成向量 $\mathbf{l}$，其誤差協方差矩陣為 $\mathbf{\Sigma}_{l}$。若採用單位權方差 $\sigma_0^2$，則權矩陣定義為

因此，權矩陣是協方差矩陣的反矩陣乘上比例常數；權越大，表示觀測值的精度越高。若觀測值互不相關，協方差矩陣為對角矩陣，權矩陣也為對角矩陣，各對角元素與觀測值變異數成反比：

若各觀測值彼此相關，則權矩陣通常含有非零的非對角元素。

解題方法

最小二乘平差以權矩陣衡量各觀測值殘差的代價，並求使加權殘差平方和最小的解。令觀測方程為

則目標函數為

對未知參數 $\mathbf{x}$ 求極小，可得法方程

其中 $\mathbf{A}^{T}\mathbf{P}\mathbf{A}$ 為法矩陣。

核心觀念

本題考查高程差網形的：

• 多餘觀測數
• 觀測方程式的線性相依關係
• 等權最小二乘平差
• 高程差閉合條件

圖中共有 $4$ 個未知點高程，但高程差觀測只能決定高程差，整體高程仍有一個基準自由度，因此設計矩陣之秩為

觀測數為 $n=5$，故多餘觀測數為

解題方法

依圖示方向，令四個點依序為左、上、右、下，則觀測值滿足：

以及上點至下點的兩條路徑應相等：

1. 計算閉合差

第一個閉合條件：

代入觀測值：

第二個閉合條件：

設各觀測值之誤差改正量為 $v_1,v_2,v_3,v_4,v_5$，平差後必須滿足閉合條件，因此：

2. 等權最小二乘平差

題目假設各測線距離大致相等，因此可視為各觀測值等權，平差原則為使

為最小。

以條件式矩陣表示：

等權條件平差公式為：

其中

計算後得到各觀測值的誤差改正量：

核心觀念

本題考查最小二乘平差中，如何由觀測方程組成法方程，以及法方程係數矩陣的維度與可解條件。

設線性化後的觀測方程為

其中 $\mathbf{v}$ 為改正數向量，$\mathbf{x}$ 為待求參數改正數，$\mathbf{A}$ 為設計矩陣，$\mathbf{l}$ 為閉合差或常數項。若觀測權矩陣為 $\mathbf{P}$，最小化加權殘差平方和

可得法方程

因此，法方程係數矩陣就是設計矩陣經權加權後的交叉乘積矩陣。

解題方法

若有 $n$ 個觀測量、$u$ 個未知參數，則

依矩陣乘法維度，

法方程右側 $\mathbf{u}=\mathbf{A}^{T}\mathbf{P}\mathbf{l}$ 為 $u\times1$，故法方程共有 $u$ 個方程式，用來解 $u$ 個未知參數。

若權矩陣 $\mathbf{P}$ 對稱且正定，則對任意向量 $\mathbf{z}$，