113 高普考高考三級 測量製圖 誤差理論及實務 考古題詳解

核心觀念

本題考查測量誤差的分類，以及測量誤差處理流程中各階段的工作。三類誤差的區別，在於其成因是否可辨認、對觀測值的影響是否呈規律性，以及能否以統計模型描述。

測量結果可概念化表示為：

此式用來說明各類誤差對觀測值的影響，不表示每筆觀測必然同時包含三類誤差。

三種誤差的特性

一、隨機誤差

隨機誤差又稱偶然誤差，是由許多微小且難以完全掌握的因素共同造成。其符號與大小不具固定規律，重複觀測時通常有正有負；在觀測條件相同且次數充分時，可用機率與統計方法描述。

例如讀數估讀、微小的瞄準差異及短時間內不易察覺的環境變化。隨機誤差無法靠單純改正數值完全消除，須透過重複觀測、平差及精度評估來降低其影響。常用最小二乘法求得最或然值，並以中誤差等指標表達精度。

二、系統誤差

系統誤差是由可辨認、具有一定規律或持續性的因素造成，會使觀測值以固定方向、固定比例或其他可描述的方式偏離真值。其影響可能隨時間、距離、溫度、儀器狀態或觀測位置而變化。

例如尺長與標準尺不符、儀器視準軸誤差、量距受溫度影響等。系統誤差若未改正，增加觀測次數也不會自動消除，甚至會使偏差更穩定地留在成果中。處理方式是查明誤差來源，建立改正模型並施加改正，或藉由校正儀器及改善觀測條件加以控制。

三、粗差（錯誤）

粗差是因疏失、操作失當或外界突發干擾造成的顯著錯誤，通常不符合預定的觀測精度或誤差模型。例如抄錄錯誤、讀錯刻度、照準錯目標、量錯測站，或紀錄時漏寫位數。

粗差不是一般隨機波動，不能期待平差自動將其合理吸收。應透過現場檢核、冗餘觀測、閉合差、殘差檢定或資料邏輯檢查加以發現；確認後應查明並剔除、訂正或重新觀測，不宜未經判斷便直接刪除不利觀測值。

解題方法：依誤差處理階段說明任務

回答第二部分時，依「先避免錯誤、再找出並改正可建模偏差、最後處理不可避免的隨機波動」的流程說明。各階段的工作如下：

一、預防與控制階段

核心觀念

本題考查最小二乘平差中權的尺度改變與後驗單位權標準差的計算。觀測量的變方－協變矩陣為

其中 $P$ 是權矩陣，$\sigma_0$ 是單位權標準差。當觀測量彼此不相關時，$P$ 為對角矩陣，其對角元素為各觀測量的權 $P_i$。

若以 $v$ 表示改正數、$n$ 表示觀測量數、$u$ 表示未知數個數，後驗單位權標準差為

其中 $n-u$ 為冗餘度，也稱自由度。

解題方法

第一次平差採用先驗單位權標準差 $\sigma_0=1\ \mathrm{mm}$，後驗單位權標準差卻為 $50\ \mathrm{mm}$。由公式可知，這代表改正數加權平方和相對於冗餘度很大，即觀測資料的殘差遠大於先驗權模型所預期的程度。

可能原因包括：

• 先驗單位權標準差設定過小，因而高估了觀測精度；
• 觀測資料中存在粗差或未建模的系統誤差；
• 雖然平差計算過程假設正確，但觀測資料不符合所採用的隨機模型。

題目已說明平差計算過程完全正確，因此不能以計算錯誤解釋這個大值；應從觀測品質或先驗精度模型判斷。

第二次平差將每筆權改為

核心觀念

本題考查四種機率分配在測量誤差分析與成果檢核中的角色。使用哪一種分配，取決於檢核的量、樣本數，以及母體變異數是否已知：

其中 $\bar{x}$ 為樣本平均數，$s^2$ 為樣本變異數，$n$ 為樣本數；$\mu_0$、$\sigma_0^2$ 分別為檢定所採用的假設平均數與變異數。

解題方法與各分配用途

一、常態分配：觀測誤差與平均值檢定

測量誤差在適當條件下常以常態分配描述。若觀測值 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，標準化後

常態分配可用來估算誤差落在某範圍內的機率，也可在母體標準差 $\sigma$ 已知時檢定平均數。

**例：**某測量成果的平面位置誤差假設為常態分配，平均誤差為零、標準差為 $2\text{ cm}$。可由常態分配計算誤差落在 $\pm 4\text{ cm}$ 內的機率；因 $4\text{ cm}=2\sigma$，其機率約為 $95.45\%$。

二、$t$－分配：母體標準差未知時檢定平均數

測量工作通常無法事先知道母體標準差，需用樣本標準差 $s$ 估計。若觀測母體為常態，則

其中自由度為 $n-1$。$t$－分配用於平均數的假設檢定及信賴區間；樣本數增加時，其形狀逐漸接近標準常態分配。

**例：**對某控制點高程重複觀測 $n$ 次，以觀測值計算 $\bar{x}$ 與 $s$，檢定平均高程是否符合指定值 $H_0$。

核心觀念

本題以五筆 $y$ 觀測值配適二次多項式，估計三個未知參數 $a,b,c$。因為只有 $y$ 有觀測誤差、$x$ 視為無誤差，設計矩陣每列為 $[1,\ x_i,\ x_i^2]$，以最小二乘法求解。

Baarda 可靠度理論中的局部多餘觀測數（local redundancy number）為殘差投影矩陣對角元素：

$r_i$ 介於 $0$ 與 $1$ 之間，表示第 $i$ 筆觀測值的誤差有多少比例會反映在該筆殘差中。$r_i$ 越大，該筆觀測值的誤差越容易由自身殘差顯現；$r_i$ 越小，該筆誤差越容易被參數估值吸收，內可靠性越差。

解題方法與計算

依題目誤差方程式

寫成矩陣式：

最小二乘估值為

代入五筆觀測值，得到

因此配適曲線為

依題目採用的符號，改正數為 $v_i=\hat y_i-y_i$。各點配適值與改正數如下：