111 高普考高考三級 測量製圖 測量學（包括地籍測量） 考古題詳解

核心觀念

本題考查參考框架的實現、坐標曆元與地殼動態。ITRS 是地球參考系統的理論定義；ITRF 則是利用全球測站觀測資料，公布各測站坐標、速度等參數，以實際實現 ITRS 的參考框架。ITRF 坐標必須連同其框架版本與參考曆元使用，因為測站會隨板塊運動、地震與震後變形而移動。ITRF2020 產品說明

TWD97 是臺灣採用的國家坐標系統，其原始成果以 ITRF94 在 1997.0 曆元的坐標框架為基礎，採用 GRS80 參考橢球，並採 BIH 在 1984.0 定義的方位。換言之，TWD97 與 ITRF 的聯繫，不只是橢球體相同或坐標數值相近，而是透過指定的 ITRF 實現、曆元及基準方向建立框架關係。國土測繪中心：臺灣坐標系統

然而，臺灣地殼變動顯著，若永久沿用 1997.0 的靜態坐標，地面點位會逐年偏離原成果。因此，維護 TWD97 的關鍵是運用 ITRF 公布的測站坐標、速度與震後變形模型，將測站坐標化算至共同曆元，再據以更新或檢核臺灣的控制點坐標。

解題方法與維護流程

一、以 ITRF 建立框架聯繫

先選取臺灣及鄰近區域中，具有可靠 ITRF 坐標與速度的全球衛星追蹤站，作為國際框架的約制站。以 GNSS 觀測聯測臺灣連續運作參考站及控制點，透過網形平差求得臺灣測站在指定 ITRF 框架、指定曆元下的地心直角坐標。

原始 TWD97 成果對應 ITRF94、1997.0。其後更新成果可採新的觀測與國際框架資料，先維持與既有 TWD97 的基準關係，再將臺灣控制網坐標更新到新的參考曆元。實務上，TWD97[2010] 即為更新至 2010.0 曆元的成果；不同版本代表不同的坐標成果與曆元，使用時不得將不同版本的坐標直接混用。TWD97 成果更新報告

二、以速度將坐標化算至指定曆元

對於線性運動且沒有需要另行改正的地震變形，可用下式將測站坐標由參考曆元 $t_0$ 推算至目標曆元 $t$：

其中，$\mathbf{X}(t_0)$ 為測站在參考曆元的地心直角坐標，$\dot{\mathbf{X}}$ 為速度向量，$t-t_0$ 為經過的年數。此計算須先確認坐標與速度屬於同一 ITRF 實現及同一測站解算時段，並將時間單位一致化。

若 ITRF 產品提供測站的震後變形模型，則應加入震後改正：

核心觀念

六參數轉換是在平面上以兩個平移量及四個線性係數，將一組坐標轉換到另一組坐標。設原坐標為 $(X,Y)$，轉換後坐標為 $(X',Y')$，可寫成：

其中 $a_0,b_0$ 是平移參數；$a_1,a_2,b_1,b_2$ 描述旋轉、尺度差異及剪切等平面線性變形。每一個共同點提供兩個坐標觀測方程，至少需要三個不共線共同點，才能解算六個未知參數；共同點多於三個時，通常以最小二乘法估計。

旋轉矩陣推導

圖（1）中，$X'Y'$ 坐標軸相對 $XY$ 坐標軸逆時針旋轉 $\theta$。這裡是將同一個點的坐標由舊坐標系表示改為新坐標系表示，因此是坐標軸旋轉。

新 $X'$ 軸在舊坐標系中的單位方向向量為 $(\cos\theta,\sin\theta)$，新 $Y'$ 軸的單位方向向量為 $(-\sin\theta,\cos\theta)$。將點的位置向量分別投影到兩個新軸上：

所以旋轉矩陣為：

核心觀念

本題考查兩種平面測量計算：先用坐標比例內插求出直線上的點，再用坐標法求宗地面積，設定等面積條件找出分割線端點。宗地面積可用坐標面積（鞋帶）公式計算。

解題方法

先求 $E$ 點。$E$ 位於 $\overline{AD}$ 上，且 $\overline{AE}=5\ \mathrm{m}$。由

可得 $E$ 在 $\overline{AD}$ 上的比例為 $\dfrac{5}{10\sqrt{10}}=\dfrac{1}{2\sqrt{10}}$。因此

所以 $E=(51.58,\ 115.26)$。

接著用坐標面積公式求宗地 $ABCD$ 面積：

故 $K=1012.50\ \mathrm{m^2}$，每一半為 $506.25\ \mathrm{m^2}$。

令 $F$ 位於 $\overline{BC}$ 上，並以 $t$ 表示從 $B$ 到 $C$ 的比例：

以分割線 $\overline{EF}$ 將宗地分割時，四邊形 $ABFE$ 的面積為三角形 $ABE$ 與三角形 $BEF$ 面積之和：

核心觀念

本題考等高線內插與地形特徵線判讀。等高線連接相同高程點；在相鄰測點間，通常以線性內插定位。等高線不相交、不分岔，且通過山脊線或山谷線時，應大致與該特徵線垂直。

圖中高程介於 $1115.3\ \mathrm{m}$ 至 $1140.1\ \mathrm{m}$，等高距為 $2\ \mathrm{m}$，因此應繪製：

解題方法

先在相鄰高程點之間按比例標出等高線通過位置，再順著地形起伏連成平滑曲線。兩點高程分別為 $H_1$、$H_2$，欲求等高線高程為 $H$，沿兩點連線自 $H_1$ 起算的距離比例為：

其中 $L$ 是兩點間距，$d$ 是由 $H_1$ 點至等高線交點的距離。

例如，$1117.6\ \mathrm{m}$ 點與 $1120.5\ \mathrm{m}$ 點之間，$1120\ \mathrm{m}$ 等高線的位置比例為：

也就是從 $1117.6\ \mathrm{m}$ 點沿連線量約 $83\%$ 的距離。其他交點依相同方式內插。

等高線的配置

• $1116\ \mathrm{m}$ 等高線環繞圖右下方的 $1115.3\ \mathrm{m}$ 低點；它不通過 $1115.3\ \mathrm{m}$ 點。
• $1118$、$1120\ \mathrm{m}$ 等高線依序由低點向外配置。