111 高普考高考三級 測量製圖 航空測量學與遙感探測 考古題詳解

核心觀念

本題考「像片上三種中心點的定義與測定依據」。三者都在描述像片上的重要位置，但依據不同：

• 像主點（Principal Point, PP）：由攝影幾何定義，是攝影中心向像片平面作垂線的垂足，也就是攝影機主光軸與像片平面的交點。實務上常以像片框標（fiducial marks）建立像片座標系，再由相對框標連線的交點求得。
• 視準像主點（Principal Point of Autocollimation, PPA）：以自準直觀測測定主光軸後，主光軸與像片平面的交點。它反映的是攝影機光學主軸在像片上的位置。
• 對稱像主點（Principal Point of Symmetry, PPS）：以鏡頭徑向畸變的對稱性為依據，畸變量呈放射狀對稱的中心。它是鏡頭畸變的對稱中心。

示意圖

下圖為像片平面上的位置示意；三點為便於說明而分開繪出，實際位置通常相近。

 像片平面
 ┌─────────────────────────────┐
 │ │
 │ ● PPS │
 │ ● PPA │
 │ ● PP │
 │ │
 └─────────────────────────────┘
 PP：攝影幾何定義的像主點
 PPA：自準直測定的主光軸交點
 PPS：鏡頭徑向畸變的對稱中心

核心觀念

本題的核心在於「航測立體交會幾何」、「誤差傳播定律」以及「光束法平差（Bundle Adjustment）中內外方位元素之相關性」。

1. 立體視差與高程誤差傳播公式： 在常規航測立體對中，物方點之高程（或航高差）與視差之基本關係式為： $p = \frac{B \cdot f}{Z}$ 式中 $B$ 為基線長（Baseline）、$f$ 為相機主距（焦距）、$Z$ 為相對航高（$H$）、$p$ 為左右片同名點之絕對視差（Parallax）。

經誤差傳播推導，高程不確定度 $\sigma_Z$ 與平面位置不確定度 $\sigma_{XY}$ 之理論模型為： $\sigma_Z = \frac{Z}{B} \cdot \frac{Z}{f} \cdot \sigma_p = \frac{1}{(B/H)} \cdot \left(\frac{Z}{f}\right) \cdot \sigma_p$ $\sigma_{XY} = \frac{Z}{f} \cdot \sigma_i$ （$\sigma_p$ 為視差量測誤差，$\sigma_i$ 為像點座標量測誤差）。由此可得兩者之比值： $\frac{\sigma_Z}{\sigma_{XY}} \approx \frac{H}{B} \cdot \frac{\sigma_p}{\sigma_i}$ 因立體像對之視差誤差 $\sigma_p \approx \sqrt{2}\sigma_i$，垂直精度直接受「基高比」（Base-to-Height Ratio, $B/H$）所支配。

2. 非量測相機自校正平差之參數強相關性與穹頂效應（Dome Effect）： 消費型非量測相機缺乏精密的機械結構與預檢校參數，必須仰賴自校正光束法平差（Self-calibrating Bundle Adjustment）解算內方位元素（IOP：主距 $f$、主點座標 $x_0, y_0$、輻射對稱畸變係數 $K_1, K_2, K_3$ 等）。在純垂直（Nadir）攝影條件下，主距誤差 $\Delta f$ 與曝光中心航高誤差 $\Delta Z_0$ 存在高度線性相關（相關係數常高達 0.95 以上）： $\frac{\Delta Z}{Z} \approx \frac{\Delta f}{f}$ 鏡頭徑向畸變模型若存在微小殘差，將被平差演算法吸收並補償至物方點高程，造成整體測區高程向上凸起或向下凹陷之「穹頂效應（Dome Effect / Bowling Effect）」。

3. GNSS 定位幾何強度差異： 受限於衛星幾何分布（無地底方向衛星信號），GNSS 的垂直幾何精度稀釋因子（VDOP）天生約為水平幾何精度稀釋因子（HDOP）的 1.5 至 2 倍以上。

解題方法

本題為經典申論題型，答題架構採取系統化的「成因剖析」與「改善對策」，依循測量學工程邏輯（幾何交會條件 $\rightarrow$ 儀器感測特性 $\rightarrow$ 控制網幾何與平差）逐層展開論述：

 ┌─ 1. 幾何條件：高重疊率導致基高比 (B/H) 過小
 ├─ 2. 參數相關：焦距 f 與航高 Z 耦合、鏡頭徑向畸變誤差
【垂直不確定度高之成因】─┼─ 3. 感測器硬體：滾動快門變形、感光元件機構不穩定
 └─ 4. 測量基準：GNSS 垂直精度劣於水平、GCP 垂直幾何不足
 
 ┌─ 1. 飛行航線改善：導入傾斜攝影（Oblique）、多航高交叉航線
 ├─ 2. 畸變抑制解耦：打破垂直視角投影退化、消除穹頂效應
【對應之改善方法】─────┼─ 3. 儀器與演算法：採用全域快門、室內三維檢校場預先標定
 └─ 4. 控制測量優化：測區中央布設高程控制點、RTK/PPK 高程檢核

一、 垂直不確定度遠高於平面位置之可能影響因素

1. 交會幾何弱（基高比 $B/H$ 過小）： 無人飛行器（UAV）攝影測量為確保特徵匹配（如 SIFT 演算法）的成功率與重疊度，通常採用較高之航向重疊率（70% 至 85%）。相鄰照片航線基線 $B$ 顯著縮短，使得基高比 $B/H$ 降至 $0.2 \sim 0.3$ 左右。依誤差傳播公式，$\frac{H}{B}$ 數值高達 $3 \sim 5$，立體交會角狹窄，導致物方射線交會之垂直深度不確定度 $\sigma_Z$ 天生即為水平不確定度 $\sigma_{XY}$ 的數倍。

2. 相機內方位元素與航高參數之強相關性（$f-Z$ 耦合）： 消費型非量測相機之主距 $f$ 未知且隨對焦、溫度及震動浮動。平差時，像片尺度變化可同時由「改變主距 $f$」或「改變攝站高程 $Z_0$」解釋。在平行於地面的垂直攝影航線下，法方程式法矩陣條件數不良，$f$ 與 $Z$ 產生極強的數值相關性，導致微小的焦距估計誤差完全轉嫁為物方垂直高程的系統性偏移。

3. 鏡頭輻射畸變誤差轉化為「穹頂效應（Dome Effect）」： 消費型相機多使用廣角短焦鏡頭，存在顯著且非線性的桶狀或枕狀畸變。若光束法平差未能完全消除鏡頭徑向畸變（特別是 $K_1$ 參數的不確定性），平差演算法會透過彎曲地面模型來補償畸變殘差，使正射影像生成之三維點雲產生數公分至數公尺的拋物面狀高程扭曲（測區中央凸起或下凹）。

4. 快門機制缺陷（滾動快門變形，Rolling Shutter Effect）： 消費型無人機相機多採用互補式金氧半導體（CMOS）電子滾動快門（Rolling Shutter），曝光過程按列依序讀出。在 UAV 高速飛行與姿態抖動下，每列像素曝光時之感測器外方位元素皆不同，造成幾何畸變；若未建立嚴密的滾動快門運動補償模型，該動態像點變形會在立體重建時直接投影至垂直高程方向。

5. GNSS/IMU 幾何結構與地面控制點分布不良： 載具搭載之 GNSS 接收儀受天線上方半球限制，垂直精度（VDOP）先天差於水平精度。

核心觀念

本題考查無人飛行載具（UAV）攝影測量之空間對位（Georeferencing）作業架構與國家測繪坐標基準轉換整合。核心法規與學理依據如下（法規以命題當年民國 111 年之《國土測繪法》、《基本測量實施規則》及《基本地形圖測繪規範》為準）：

1. 空間對位機制（Georeferencing Approaches）：

• 機體觀測外方位（直接地理對位，Direct Georeferencing, DG）：利用機載 GNSS（RTK/PPK）測定相機曝光中心位置 $(X_L, Y_L, Z_L)$，結合 IMU 量測三軸姿態角 $(\omega, \phi, \kappa)$。
• 地面佈標點（間接地理對位，Indirect Georeferencing）：於地面佈設地面控制點（GCPs）與獨立檢核點（Check Points, CPs）。
• 整合感測器定向（Integrated Sensor Orientation, ISO）：以光束法區域網平差（Bundle Block Adjustment）為核心，將機載外方位元素作為帶權觀測量，聯立地面控制點共同平差解算，兼具自校正相機內部幾何參數之功能。

2. 空間坐標與高程基準整合：

• 平面基準：1997 臺灣大地基準（TWD97），採用 GRS80 參考橢球，投影採用橫麥卡托二度分帶投影（TM2），中央經線為 $121^\circ\text{E}$（本島）或 $119^\circ\text{E}$（澎湖），原點橫坐標西移 $250,000\text{ m}$。
• 高程基準：2001 臺灣高程基準（TWVD 2001），為正高系統（Orthometric Height, $H$），以基隆平均海水面為零高程面。
• 高程幾何轉換式： $h = H + N \iff H = h - N$ 其中 $h$ 為 GNSS 觀測之 TWD97 橢球高，$H$ 為 TWVD 2001 正高，$N$ 為該處之大地起伏（幾何大地水準面起伏高）。

解題方法

產製符合 TWD97 與 TWVD 2001 基準之地形圖，其空間對位作業必須貫串「外業規劃」、「航飛觀測」、「平差解算」至「基準轉換」等階段，標準作業規劃如下：

步驟一：航前準備與機載感測器校正

1. 硬體幾何校正（偏心分量測定）：

• 精密量測機載 GNSS 天線相位中心（APC）與相機光學投影中心（Perspective Center）之偏心向量（Lever-arm offset，$\Delta \mathbf{X}$）。
• 進行相機曝光訊號與 GNSS 時間戳記（Time Mark）微秒級同步測定，消除延遲誤差。

2. 航線規劃：

• 設定航向重疊率 $\ge 75\%\sim 80\%$、旁向重疊率 $\ge 60\%\sim 70\%$，確保自動空三同名點匹配具充足交會角與幾何強度。

步驟二：地面控制點（GCP）與檢核點（CP）佈設及測量

1. 點位規劃與標記：

• 採「外圍包圍、內部均布、高程極值加強」原則配置。因機載已具備高品質外方位觀測量，控制點數量可適度精簡，但周圍邊界轉角與中央落差處必須佈設。
• 另行規劃獨立檢核點（CP，不參與平差解算），供成果精度外部查核。

2. 地面基準引測（確保坐標系統一致）：

• 平面坐標（TWD97）：聯測內政部基本控制點或使用 e-GNSS 網絡 RTK（或靜態 GNSS 相對定位）解算，取得 TWD97 (TM2) 坐標 $(X, Y)$。
• 高程基準（TWVD 2001）：
• 首選方案：自鄰近之一、二等水準點以幾何水準測量直接引測，取得精確之 TWVD 2001 正高 $H$。
• 次選方案：若地形陡峭無法水準引測，則量測 TWD97 橢球高 $h$，並利用內政部最新「臺灣本島混合大地水準面模型」內插大地起伏 $N$，換算得正高 $H$。

步驟三：空載航飛與觀測數據獲取

1. 航飛執行：於天候良好、日照夾角適當條件下依規劃航線飛行。
2. 機載定位解算（PPK/RTK）：

• 採用後處理動態定位技術（PPK）結合地面 GNSS 連續觀測站或自設基準站資料，解求曝光瞬間相機中心的高精度空間坐標 $(X_0, Y_0, Z_0)$，此時坐標為 TWD97 空間坐標系（包含橢球高 $h$）。

步驟四：輔助光束法區域網平差（空間對位計算）

1. 聯立數學模型構建： 利用共線條件方程式（Collinearity Equations），結合機載外方位觀測量與地面控制點： $\begin{cases} x - x_0 + \Delta x = -f \frac{m_{11}(X - X_L) + m_{12}(Y - Y_L) + m_{13}(Z - Z_L)}{m_{31}(X - X_L) + m_{32}(Y - Y_L) + m_{33}(Z - Z_L)} \\ y - y_0 + \Delta y = -f \frac{m_{21}(X - X_L) + m_{22}(Y - Y_L) + m_{23}(Z - Z_L)}{m_{31}(X - X_L) + m_{32}(Y - Y_L) + m_{33}(Z - Z_L)} \end{cases}$ 其中 $(x_0, y_0, f)$ 為像主點與主焦距，$(\Delta x, \Delta y)$ 為鏡頭畸變參數，$\mathbf{M} = [m_{ij}]$ 為由姿態角 $(\omega, \phi, \kappa)$ 構成之旋轉矩陣。
2. 觀測權重配置與自校正平差（Self-calibrating Bundle Adjustment）：

核心觀念

本題旨在測驗遙感探測中數位影像處理的經典無監督特徵萃取（Feature Extraction）與維度縮減（Dimensionality Reduction）技術——主成分轉換（Principal Component Transformation, PCT / PCA）。

1. 多光譜影像之冗餘性（Redundancy）：多光譜衛星遙測影像中，相鄰波段（如紅光波段與綠光波段）常具備高度的波段間相關性（Inter-band Correlation），導致資訊重複與維度膨脹。
2. 正交線性轉換（Orthogonal Linear Transformation）：藉由幾何上的坐標軸旋轉，將原始空間中具高相關性的波段向量，轉換為一組彼此互不相關（正交）的新變數系統（主成分）。
3. 變異數最大化原則（Variance Maximization）：在遙測影像統計中，灰階值（DN值）的變異數（Variance）代表該波段攜帶的資訊量。PCT 依變異數由大到小依序萃取各主成分，使影像資訊集中於前幾個成分中。
4. 數學工具：涉及共變異數矩陣（Covariance Matrix）或相關矩陣（Correlation Matrix）的特徵值分解（Eigenvalue Decomposition）。

解題方法（擬答範本）

在國家考試中，申論「主成分轉換原理」應由問題背景、幾何旋轉意涵、代數推導步驟、統計特性與維度縮減四個層次完整闡明：

一、 轉換緣由與目的

多光譜影像各波段間往往存在高度線性相關（$r \approx 1$），造成資訊冗餘，增加後續分類運算負擔（維度災難）。主成分轉換之目的在於：

1. 消除波段間相關性（Decorrelation）。
2. 濃縮總體資訊至少數獨立的主成分中，以達成維度縮減與特徵擷取。
3. 分離雜訊：將主要地表訊號集中於前幾個主成分，雜訊則落入後續主成分。

二、 幾何意義：坐標軸旋轉

在 $n$ 維光譜特徵空間中，各像元的灰階值分布呈多維橢球體（Hyper-ellipsoid）。

• 傳統坐標系統的坐標軸為原始波段（如 Band 1, Band 2...），像元點沿對角線分布，呈現高度斜向相關。
• 主成分轉換實質上是將坐標系統的原點平移至像元均值中心，並進行剛體正交旋轉（Rigid Orthogonal Rotation）：
• 第一主成分軸（PC1）：對準資料散佈範圍最大、變異數最大的方向（即橢球體的長軸）。
• 第二主成分軸（PC2）：在與 PC1 嚴格垂直（正交）的條件下，對準變異數次大的方向（橢球體的次長軸）。
• 第 $i$ 主成分軸（$\text{PC}_i$）：與前 $i-1$ 個軸皆垂直，並指向剩餘未解釋變異中最大之方向。

三、 數學原理與推導步驟

設影像具有 $n$ 個波段，每一像元之光譜向量為 $\mathbf{X} = [x_1, x_2, \dots, x_n]^T$。

1. 計算均值向量與共變異數矩陣

所有像元的平均光譜向量為： $\mathbf{m} = E[\mathbf{X}]$

各波段間之共變異數矩陣 $\mathbf{\Sigma}$（大小為 $n \times n$）定義為： $\mathbf{\Sigma} = E[(\mathbf{X} - \mathbf{m})(\mathbf{X} - \mathbf{m})^T]$ 矩陣之對角線元素 $\sigma_{ii}$ 為第 $i$ 波段的變異數，非對角線元素 $\sigma_{ij}$（$i \ne j$）為波段 $i$ 與波段 $j$ 之間的共變異數。

2. 特徵值分解（求解特徵方程式）

為求得使新坐標軸變異數極大化之旋轉方向，求解 $\mathbf{\Sigma}$ 的特徵值（Eigenvalues）與對應的單位特徵向量（Eigenvectors）： $\det(\mathbf{\Sigma} - \lambda \mathbf{I}) = 0$

解出 $n$ 個非負實數特徵值，由大至小排列： $\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \dots \ge \lambda_n \ge 0$

並依據 $\mathbf{\Sigma} \mathbf{e}_i = \lambda_i \mathbf{e}_i$ 求得對應的特徵向量 $\mathbf{e}_i$。特徵向量經單位化後滿足正交性： $\mathbf{e}_i^T \mathbf{e}_j = \begin{cases} 1, & i = j \\ 0, & i \ne j \end{cases}$

3. 建立轉換矩陣與線性投影

將特徵向量作為橫列，組合成正交轉換矩陣 $\mathbf{T}$（$n \times n$）： $\mathbf{T} = \begin{bmatrix} \mathbf{e}_1^T \\ \mathbf{e}_2^T \\ \vdots \\ \mathbf{e}_n^T \end{bmatrix}$

對去中心化後的像元向量進行坐標轉換，得主成分像元向量 $\mathbf{Y} = [y_1, y_2, \dots, y_n]^T$： $\mathbf{Y} = \mathbf{T}(\mathbf{X} - \mathbf{m})$