111 高普考高考三級 測量製圖 大地測量（包括衛星定位測量） 考古題詳解

核心觀念

本題旨在測驗考生對 GNSS/GPS 在大地測量學（幾何大地、物理大地、地球動力學）中之應用廣度，以及 差分定位（DGPS）數學模式與誤差消除原理 的掌握程度。

1. GPS 於大地測量之定位角色：GPS 已由傳統單純的「點位測量工具」演變為「現代空間大地測量（Space Geodesy）之核心支柱」，涵蓋幾何基準維護、板塊運動、地表形變、高程基準整合及重力場測定。
2. DGPS 之核心原理：利用測站間公共誤差的「空間相關性（Spatial Correlation）」，藉由基準站（Base Station）發送改正資訊消除或減弱衛星軌道誤差、衛星鐘差以及電離層與對流層延遲。
3. DGPS 的兩大數學模式：依據差分量計算與套用所處的「空間域」不同，區分為位置差分模式（Position Differential Mode）與偽距差分模式（Pseudorange Differential Mode）。

---

解題方法

1. 第一部分：GPS 在大地測量方面的應用

• 從空間大地測量的三大支柱（地球幾何形狀、地球自轉與定向、地球重力場）出發，分項條列並點出各項應用的關鍵技術名詞（如 ITRF、TWD97、CORS、橢球高與正高轉換、同震位移、低軌衛星追蹤等）。

2. 第二部分：DGPS 定位的兩種數學模式

• 位置差分模式：屬於「坐標域（Coordinate Domain）」之修正，推導基準站坐標偏差向量並直接平移移動站坐標，點出其要求觀測「同一組衛星」的幾何限制。
• 偽距差分模式：屬於「測距域（Range Domain）」之修正，推導基準站針對各衛星求取之偽距改正數（$PRC$）與變化率（$RRC$），展示移動站如何修正測距值後再行解算未知數。

---

選項分析

本題為申論題型，無選項。答題時切忌僅列出籠統口號，必須提出明確的專業術語與數學推導式，展現完整的測量理論素養。

---

解題技巧

1. 防陷阱提示（概念辨析）：

• 題目問的是「DGPS 定位的兩種不同數學模式」，標準答案為位置差分與偽距差分。切勿答非所問寫成載波相位的「單差（Single Difference）、雙差（Double Difference）、三差（Triple Difference）」，後者屬於相對定位的「觀測值線性組合模式」，而非廣播差分定位系統的作業模式。

2. 結構化答題策略：

• 應用題採「領域分類＋實例技術」作答，切分幾何、物理、動力三大領域，閱卷老師容易在各得分點給分。
• 數學模式題採「模式定義 $\rightarrow$ 數學觀測式 $\rightarrow$ 優缺點與限制」三段式鋪陳，架構嚴密完整。

---

【答案】

一、GPS 衛星測量在大地測量方面的應用

GPS（GNSS）為現代空間大地測量學最核心的觀測技術之一，其主要應用包含以下五大面向：

1. 國家大地坐標基準與控制網之建立與維護

• 地心坐標基準維持：透過全球 IGS 追蹤站網解算，維護國際陸地參考框架（ITRF）；在台灣則作為維持 TWD97 坐標系統之骨幹。
• 連續運轉參考站（CORS）建置：如台灣內政部建置之 e-GPS 系統，提供全天候高精度幾何坐標框架與動態測量基準服務。

2. 地球動力學與地殼形變監測

• 板塊運動速度場推求：透過長期毫米級基線解算，精確量測板塊碰撞與相對位移速度（如菲律賓海板塊相對於歐亞大陸板塊之擠壓向量）。
• 斷層活動與地震形變研究：監測斷層帶微小潛移變形、孕震期應變累積，並捕捉大地震時之「同震位移（Co-seismic Slip）」與「震後位移（Post-seismic Relaxation）」。
• 地表下陷與邊坡滑動監測：針對西南沿海地層下陷區、水庫大壩及重大地質災害敏感區進行長期垂直沉陷監控。

3. 高程系統整合與區域大地水準面模型精化

• 利用 GPS 解算之大地高（幾何橢球高 $h$），配合精密幾何水準測量所獲之正高（$H$），計算大地水準面差距（Geoid Undulation, $N$）： $h = H + N$
• 透過密集的聯測資料，結合重力異常，精化區域高精度數值大地水準面模型，加速「以 GPS 測高取代傳統長途水準測量」之進程。

4. 地球定向參數（EOP）測定與地球自轉監測

• 透過全球 GPS 連續觀測解算，高精度測定極移（Polar Motion）、日長變化（$\Delta\text{LOD}$）及地心運動

核心觀念

本題考查傳統大地測量（Classical Geodesy）之空間幾何與物理基準建構架構。在衛星大地測量（如 GNSS）普及前，受限於觀測技術與儀器物理特性，傳統大地測量採取「幾何與物理分離」、「二維水平與一維高程分離」之模式，將三維大地基準分解為不同子系統布設。

本題涉及的核心觀念與規範依據包括：

1. 空間分離處理原則：將三維定位解構為二維水平大地坐標（$(\phi, \lambda)$ 或平面投影坐標 $(X, Y)$）、一維高程（正高 $H$ 或正常高 $H_N$）及物理重力場（重力加速度 $g$）。
2. 大地測量基本原則：由整體至局部（高級至低級逐級控制）、步步有檢核（設置閉合條件與超額觀測量）。
3. 基準定義與控制網分類：

• 水平控制網（三角網、三邊網、精密導線網）：定義參考橢球體上的幾何位置與方位。
• 高程控制網（水準網）：定義相對於大地水準面（Geoid）之垂直高程系統。
• 重力測量網（重力網）：測定地表重力場，銜接幾何大地測量與物理大地測量。

4. 法規依據：以命題當年（民國 111 年）之《基本測量實施規則》及傳統大地測量學原理為準。

---

解題方法

本題為經典大地測量體系之申論題，答題切入架構如下：

1. 體系破題：先開門見山指出傳統大地測量因測量技術限制，主要建立水平控制網、高程控制網與重力測量網三大主網（並輔以天文大地點／拉普拉斯點控制旋轉與方位）。
2. 分項剖析：針對上述三種網，採用對稱結構分別詳細論述「主要任務」與「布設原則」：

• 主要任務：說明該網界定何種基準、提供何種坐標參數、解決何種工程與測繪需求。
• 布設原則：說明該網在起算點選定、幾何構形、分級控制、觀測限制及誤差累積抑制（如基線網、拉普拉斯方位角、閉合環線）所遵循的準則。

3. 綜合歸納：說明三大網如何在大地測量中相互支撐（如水準網需重力值計算正高改算；水平網需垂線偏差改化至橢球面），形成完整的三維大地基準。

---

選項分析

本題為高考三級申論題，非選擇題，故無個別選項可資分析。答題關鍵在於全面涵蓋傳統大地測量的三大骨幹網別（水平網、高程網、重力網），不可缺漏任一網別，亦不可混淆傳統測量網與現代衛星連續觀測站網（CORS）。

---

解題技巧

1. 審題關鍵字：注意「傳統大地測量」，切勿將作答重心放在現代「GNSS 連續觀測站網（CORS/e-GNSS）」或「三維地心坐標網」，必須聚焦於「幾何與物理分離」、「三角／水準／重力」之傳統架構。
2. 不可遺漏重力網：一般考生容易只寫水平網（三角網）與高程網（水準網），遺漏「重力網」。重力網是傳統大地測量連結水準高程與大地水準面（計算正高改化）、決定垂線偏差（水平網化算至參考橢球）的不可或缺基石，漏寫將大幅失分。
3. 答題結構化與術語精確：

• 水平網必寫專有名詞：由高級至低級（一等至四等）、網形強度（Strength of Figure $R$）、基線網（Base Net）、拉普拉斯方位角（Laplace Azimuth）。
• 高程網必寫專有名詞：長期驗潮站平均海水面（MSL）、水準原點、閉合環線（Closed Loop）、雙程觀測（往返測）、重力正高改化。
• 重力網必寫專有名詞：絕對重力點、相對重力閉合環線、與三角點／水準點共點聯測、大地水準面起伏（$N$）推求。

---

【答案】

在傳統大地測量（Classical Geodesy）中，因受限於視線通視條件與儀器觀測限制，無法直接建立三維地心坐標系統，必須將幾何位置與重力場分離、水平與垂直方向分離。因此，傳統大地測量主要建立以下三種基本控制網：水平控制網（三角／三邊／導線網）、高程控制網（水準網）及重力測量網（重力網）。

各網之主要任務及布設原則分述如下：

一、水平控制網（Horizontal Control Network）

1. 主要任務：

• 建立國家幾何水平基準：決定點位在參考橢球體上的二維大地坐標（大地緯度 $\phi$、大地經度 $\lambda$）或投影平面直角坐標（$X, Y$）。
• 提供基礎測繪幾何骨架：作為全國地形測量、地籍測量、海圖繪製、重大工程建設及各級次級導線測量之起算控制依據。
• 監測地殼形變：透過不同期別之三角／三邊測量成果比對，監測地殼板塊相對水平移動與斷層活動。

核心觀念

傳統一等三角測量於地面觀測時，各項觀測量（水平角、天頂距、距離）均是以大地水準面（Geoid）為基準、沿觀測站的鉛垂線（Plumb Line，重力方向）進行整置與觀測。然而，大地坐標與位置計算係在幾何定義明確的參考橢球體（Reference Ellipsoid）表面進行。

地面物理空間與橢球數學空間存在以下幾何幾何差異：

1. 基準方向不重合：測站的鉛垂線方向與該點的橢球法線（Ellipsoidal Normal）方向不一致，其夾角為垂線偏差（Deflection of the Vertical）。
2. 曲率與高度效應：目標點具有高程，使得法截面產生偏轉；此外，兩點間的法截線不互為共面，大地表面最短路徑為測地線（Geodesic）。
3. 長度基準面不同：測得的空間距離（或基線長）位於地形表面，必須歸算至以橢球法線為法線的橢球面上，並將直線距離化算為橢球曲面上的測地線弧長。

---

解題方法

本題為經典大地測量申論題，答題切入點應分為兩大範疇展開：「水平方向（角度）之化算」與「距離（基線）之化算」，並列出對應之物理成因、幾何原理與數學關係式。

一、 水平角度（方向觀測值）之橢球體化算

水平角為兩個方向觀測值之差，故應先對各照準方向施加三項經典改正：

1. 垂線偏差改正（Correction for Deflection of the Vertical）

• 成因：經緯儀水準軸係依鉛垂線整置，水平度盤平行於大地水準面切面；但橢球計算是以過測站的橢球法線為軸。兩軸之間的夾角即為垂線偏差（分量為子午分量 $\xi$ 與卯酉分量 $\eta$）。
• 改正公式： $\delta_1 = -(\xi \sin \alpha - \eta \cos \alpha) \cot z$ 式中，$\alpha$ 為照準方向之大地方位角，$z$ 為目標點之天頂距（$\cot z \approx \tan \beta$，$\beta$ 為垂直角）。垂直角愈大、垂線偏差愈顯著時，此項改正愈大。

2. 照準點高程改正（覘標高改正，Correction for Height of Target）

• 成因：照準點 $P_2$ 位於橢球體上方高度 $h_2$ 處。由於地球橢球體在各方向之曲率不同，過測站 $P_1$ 且包含空間目標點 $P_2$ 的法截面，並不重合於過 $P_1$ 且包含 $P_2$ 橢球投影點的法截面。
• 改正公式： $\delta_2 = \frac{e^2 h_2}{2 N_1} \cos^2 \varphi_1 \sin 2\alpha$ 式中，$e$ 為橢球第一偏心率，$N_1$ 為測站處之卯酉圈曲率半徑，$\varphi_1$ 為測站緯度，$h_2$ 為照準點之橢球高。當方向接近象限角 $45^\circ$（即 $\sin 2\alpha$ 最大）且目標點高程愈大時，影響最顯著。

3. 測地線改正（截線差改正，Correction for Geodesic to Normal Section）

• 成因：橢球體上兩點間的直接法截線（Normal Section）互不重合（正反法截線非同軌），且橢球面上兩點間最短曲線為測地線。野外方向觀測對應法截線，而網形平差計算則必須依據唯一的測地線方位角。

• 改正公式： $\delta_3 = -\frac{e^2 s^2}{12 R_m^2} \cos^2 \varphi_m \sin 2\alpha_m$ 式中，$s$ 為兩點間之大地線長度，$R_m$ 為平均曲率半徑，$\varphi_m$ 與 $\alpha_m$ 為大地方位角與緯度之平均值。一等三角網邊長可達數十公里，此項微小差值（截線差）必須予以改正。

• 水平角之合成： 若觀測水平角 $\theta = \text{Dir}_B - \text{Dir}_A$，則兩照準方向分別加上 $\delta = \delta_1 + \delta_2 + \delta_3$ 後相減，即得橢球面上之大地水平角。

---

二、 距離（基線）之橢球體化算

傳統一等三角測量中，距離通常源自基線網（因瓦基線尺測量）或長距離電磁波測距（EDM）。欲將空間距離化算至橢球體表面，須經以下步驟改正：

1. 儀器物理與幾何前置改正

• 基線尺測量：尺長改正、溫度改正、拉力改正、垂曲改正（垂鍊改正）。
• EDM 測距：大氣折射率（氣溫、氣壓）氣象改正、儀器常數改正。

核心觀念

本題評量重點為衛星大地測量中「GPS 載波相位觀測量（Carrier Phase Observation）」之物理與數學特性，以及應用於「相對定位（Relative Positioning）」時各類線性組合觀測量之誤差消除機制與統計特性。

1. 載波相位觀測方程式（長度單位）： $L_i = \lambda_i \Phi_i = \rho + c(\delta t_r - \delta t^s) - I_i + T + \lambda_i N_i + \varepsilon_{L_i}$ 其中 $\Phi_i$ 為以週（cycle）為單位之載波相位，$\lambda_i$ 為載波波長，$\rho$ 為衛星至接收儀之幾何距離，$c$ 為光速，$\delta t_r$ 與 $\delta t^s$ 分別為接收儀鐘差與衛星鐘差，$I_i$ 為電離層延遲（載波相位呈現超前，符號為負），$T$ 為對流層延遲，$N_i$ 為整數未定值（Integer Ambiguity），$\varepsilon_{L_i}$ 為測量雜訊與多路徑效應殘差。
2. 線性組合基本原理： 利用觀測量間的線性運算（空間差分、時間差分或跨頻率運算），消除或大幅削弱特定公共誤差（如鐘差、軌道誤差、大氣延遲），但依誤差傳播定律，組合後之觀測量雜訊通常會放大。

---

解題方法

本題分為兩大核心部分作答：

1. 載波相位觀測法之優缺點分析：對比虛擬距離（碼相位）觀測量，剖析載波相位在精度、多路徑效應、未知數求解與訊號連續性上的物理與數值特性。
2. 相對定位線性組合之優缺點分析：

• 空間/時間差分線性組合：站星單差（SD）、雙差（DD）、三差（TD）。
• 多頻率線性組合：消電離層組合（Ionosphere-Free）、寬巷組合（Wide-Lane）、幾何無關組合（Geometry-Free）。

---

申論剖析與重點說明

第一部分：利用 GPS 載波相位法之優缺點

1. 優點

• 極高的觀測精度：載波相位測量雜訊約為其波長的 $1\%$（GPS L1 波長約 $19\text{ cm}$，雜訊約 $1\sim 2\text{ mm}$），遠優於虛擬距離碼相位測量（C/A 碼測量雜訊約 $0.3\sim 3\text{ m}$），能實現公釐級（$\text{mm}$）至公分級（$\text{cm}$）的高精度大地測量與工程形變監測。
• 抗多路徑效應能力強：載波波長遠短於測距碼元長度（C/A 碼碼元約 $300\text{ m}$），其多路徑效應最大理論上限僅約波長的四分之一（約 $4.75\text{ cm}$），相較於碼相位的數公尺誤差具備極高穩定性。
• 支援精密差分與動態定位：高精度的特性使載波相位於短基線、長基線差分定位、RTK（即時動態定位）以及 PPP（精密單點定位）中成為不可或缺的核心觀測量。

2. 缺點

• 存在整數未定值（Integer Ambiguity, $N$）：接收儀開啟追蹤時僅能量測載波的小數部分，起始曆元之整週數未知，必須透過足夠的觀測幾何、時間積累與搜尋演算法（如 LAMBDA 法）固定未定值，初始化時間較長。
• 易受週波跳躍（Cycle Slip）影響：若衛星訊號受遮蔽、樹蔭干擾或強烈電離層閃爍，會造成接收儀失鎖，整週計數中斷並產生跳躍，後續處理必須進行精密的週波跳躍偵測與修復。
• 計算複雜度高且設備成本較貴：資料處理涉及鐘差消除、未定值固定及法方程式奇異性排除，演算程序繁複，且大地型雙頻/多頻載波相位接收儀之軟硬體成本顯著高於純單頻碼接收儀。

---

第二部分：載波相位原始觀測量不同線性組合之優缺點

在 GPS 相對定位中，主要採用的線性組合包含「站星差分組合」與「跨頻率組合」兩大範疇：

範疇 A：站星/時間差分線性組合（Differencing Combinations）

1. 站間單差（Between-Receiver Single Difference, SD）

• 定義：兩測站同時觀測同一顆衛星之觀測量相減。
• 優點：完全消除衛星鐘差 $\delta t^s$；在短基線下大幅抵消衛星軌道誤差、電離層延遲與對流層延遲。
• 缺點：接收儀鐘差 $\delta t_r$ 仍未消除；觀測雜訊放大為原始觀測量的 $\sqrt{2}$ 倍；站間整數未定值非純整數（受接收儀初始相位偏差影響）。

2. 雙差（Between-Receiver Between-Satellite Double Difference, DD）

• 定義：由兩測站同步觀測兩顆不同衛星之單差觀測量再次相減。
• 優點：

1. 完全消除衛星鐘差與接收儀鐘差。
2. 軌道誤差及大氣延遲在基線兩端的高度相關性被極大化抵消。