112 高普考高考三級 測量製圖 大地測量（包括衛星定位測量） 考古題詳解

核心觀念

本題評量國家考試大地測量領域中「垂直基準（Vertical Datum）」與「物理高程系統（Physical Height System）」之核心理論，主要涵蓋三大觀念：

1. 高程系統分類與定義：區分幾何高（橢球高 $h$）與物理高（正高 $H$、正常高 $H^*$、動高 $H^D$）。掌握臺灣高程系統採用之「正高系統（Orthometric Height System）」及其以「大地水準面（Geoid）」為基準面的物理意涵與位能數理論： $H = \frac{C}{\bar{g}} = \frac{W_0 - W_P}{\bar{g}}$ 其中 $C$ 為位能數（Geopotential Number），$W_0$ 為大地水準面之重力位，$W_P$ 為測點之重力位，$\bar{g}$ 為測點沿鉛垂線至大地水準面間之平均重力加速度。
2. 垂直基準原點與聯測程序：臺灣水準原點之演進、地理位置及結合精密水準測量與重力測量之正高計算流程。
3. 大地水準面測定之潮汐週期理論：利用驗潮資料定義平均海水面（Mean Sea Level, MSL）時，必須消除月球白道升交點退行週期（18.61 年）、氣象水文年際擾動（如 ENSO、風壓、溫鹽環流）及分離垂直地殼變形與絕對海平面變遷之科學原理。

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解題方法

本題為高考三級經典之論述型申論題，作答結構應層次分明、邏輯嚴密，切入點分為三個部分展開：

1. 破題界定高程系統種類：明確指出 TWVD 2001 採用正高系統，說明其理論公式（Helmert 正高近似）與物理基準面（大地水準面）。
2. 闡述水準原點及其計算機制：說明水準原點選址變遷（海門天險至現今海洋大學濱海校區旁），並以流程化方式詳述自「基隆潮位站長期驗潮 $\rightarrow$ 決定平均海水面（MSL = 0） $\rightarrow$ 一等精密水準聯測 $\rightarrow$ 加入重力觀測施予正高改正」之計算程序。
3. 深度論證數十年觀測紀錄之必要性：從「天文潮汐長週期（18.61 年）」、「氣象與海洋動力平滑（逆氣壓計效應、季風、洋流）」以及「地球動力學（地殼垂直運動與全球海平面升降分離）」三個維度切入，證明為何單憑數月或數年資料無法作為基準。

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解題技巧

1. 閱卷關鍵字掌握：

• 系統種類：正高（Orthometric Height）、大地水準面（Geoid）、位能數（Geopotential Number）、Helmert 近似公式。
• 原點位置：基隆市中正區國立臺灣海洋大學濱海校區對面（八斗子海濱公園／潮境公園旁）、雙副點互核。
• 數十年觀測原因：18.61 年月球白道升交點週期（Lunar Nodal Cycle）、長週期分潮、消除氣象與水文短期擾動（ENSO、季風）、分離地殼構造運動與海平面長期升降趨勢。

2. 常見陷阱與扣分盲點：

• 混淆坐標基準與垂直基準：切勿將 TWVD 2001（臺灣高程系統，垂直基準，採正高）與 TWD97（臺灣大地基準，水平幾何坐標基準，以 GRS80 橢球體定義橢球高）混為一談。
• 高程改正遺漏重力：計算正高不可僅寫幾何水準測量之高差相加，必須強調「重力測量」與「正高改正（Orthometric Correction）」，否則因水準面不平行性將導致路徑閉合差。
• 潮汐週期記憶模糊：許多考生將 18.61 年誤記為「11 年太陽黑子週期」或含糊寫「潮汐很多年」，必須明確寫出「18.61 年（或約 19 年）白道升交點週期」，此為大地測量學評分核心標竿。

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【答案】

一、臺灣高程系統（TWVD 2001）採用之高程系統種類

臺灣高程系統（Taiwan Vertical Datum 2001, 簡稱 TWVD 2001）所採用之系統種類為正高系統（Orthometric Height System）。

1. 基準面定義： 正高是以**大地水準面（Geoid）**作為起算面（$H = 0$）。大地水準面為一完全符合靜止平均海水面重力位能之等位面（Equipotential Surface）。
2. 物理數學定義： 空間中任意地表點 $P$ 之正高 $H$，定義為沿著通過該點之重力鉛垂線至大地水準面之弧長距離。根據位能理論，正高計算式為： $H = \frac{C}{\bar{g}} = \frac{W_0 - W_P}{\bar{g}} = \frac{\int_0^P g\, dn}{\bar{g}}$ 式中：

• $C = W_0 - W_P$ 為測點之位能數（Geopotential Number）。
• $g$ 為重力加速度，$dn$ 為水準測量之微小高差。
• $\bar{g}$ 為鉛垂線上測點至大地水準面間之平均重力加速度。

3. 實務計算近似：

核心觀念

1. GNSS 虛擬距離觀測方程式之線性化： 接收機同時觀測 $n$ 顆衛星（$n \ge 4$），各觀測量受幾何距離、光速及接收機鐘差影響。將非線性的虛擬距離（Pseudorange）觀測方程式對接收機三維坐標及鐘差進行一階泰勒展開線性化，建立高斯—馬可夫平差模型（Gauss-Markov Model）$V = A\mathbf{x} - L$。
2. 參數斜方差矩陣（Covariance Matrix，共變異數矩陣）： 根據最小二乘法平差原理與誤差傳播定律（Law of Propagation of Errors），平差解的斜方差矩陣由幾何設計矩陣 $A$ 與觀測量斜方差矩陣 $\Sigma_L$ 共同決定： $\Sigma_X = (A^T \Sigma_L^{-1} A)^{-1}$
3. 精度稀釋因子（Dilution of Precision, DOP）矩陣： 假設各衛星測距誤差相互獨立且精度相等（方差均為使用者等效測距誤差 $\sigma_{\mathrm{UERE}}^2$），則觀測量斜方差矩陣為純量乘以單位矩陣 $\Sigma_L = \sigma_{\mathrm{UERE}}^2 I$。參數之協方差係數矩陣（權逆陣）$Q = (A^T A)^{-1}$ 僅與幾何構形有關，其對角線元素即可導出各類 DOP 值。
4. 點位誤差傳播： 三維點位誤差 $\sigma_P$ 為三維空間坐標分量標準差的幾何合成，直接由點位精度稀釋因子（PDOP）與使用者等效測距誤差（$\sigma_{\mathrm{UERE}}$）的乘積求得。

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解題方法

一、 斜方差矩陣之構成與計算方式

1. 觀測方程式之線性化與設計矩陣 $A$ 之構成 設接收機未知坐標為 $(X, Y, Z)$，接收機鐘差以等效距離表示為 $c \cdot \delta t$（$c$ 為光速，$\delta t$ 為鐘差）。待求未知數向量設為： $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \Delta X \\ \Delta Y \\ \Delta Z \\ c \Delta \delta t \end{bmatrix}$ 對第 $i$ 顆衛星（其已知坐標為 $(X^i, Y^i, Z^i)$），線性化後的虛擬距離誤差方程式為： $v_i = -\ell_i \Delta X - m_i \Delta Y - n_i \Delta Z + c \Delta \delta t - l_i$ 其中 $(\ell_i, m_i, n_i)$ 為接收機至第 $i$ 顆衛星的方向餘弦（視線單位向量）： $\ell_i = \frac{X^i - X_0}{\rho_i^0}, \quad m_i = \frac{Y^i - Y_0}{\rho_i^0}, \quad n_i = \frac{Z^i - Z_0}{\rho_i^0}$ 當觀測 $n$ 顆衛星時（$n \ge 4$），幾何設計矩陣 $A$（維度為 $n \times 4$）構成如下： $A = \begin{bmatrix} -\ell_1 & -m_1 & -n_1 & 1 \\ -\ell_2 & -m_2 & -n_2 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ -\ell_n & -m_n & -n_n & 1 \end{bmatrix}$

2. 斜方差矩陣之計算推導

• 假設各衛星之觀測互相獨立，且測距誤差標準差均為使用者等效測距誤差 $\sigma_{\mathrm{UERE}}$，則觀測量之斜方差矩陣 $\Sigma_L$ 為： $\Sigma_L = \sigma_{\mathrm{UERE}}^2 \cdot I_{n \times n}$ 其權矩陣 $P = \Sigma_L^{-1} = \frac{1}{\sigma_{\mathrm{UERE}}^2} I_{n \times n}$。
• 由最小二乘法求得參數解為： $\hat{\mathbf{x}} = (A^T P A)^{-1} A^T P L = (A^T A)^{-1} A^T L$
• 依據誤差傳播定律，平差解答 $\hat{\mathbf{x}}$ 所屬之斜方差矩陣 $\Sigma_X$（維度為 $4 \times 4$）計算為： $\Sigma_X = (A^T P A)^{-1} = \sigma_{\mathrm{UERE}}^2 (A^T A)^{-1}$
• 定義幾何協方差係數矩陣（共變權逆陣）$Q = (A^T A)^{-1}$： $Q = \begin{bmatrix} q_{xx} & q_{xy} & q_{xz} & q_{xt} \\ q_{yx} & q_{yy} & q_{yz} & q_{yt} \\ q_{zx} & q_{zy} & q_{zz} & q_{zt} \\ q_{tx} & q_{ty} & q_{tz} & q_{tt} \end{bmatrix}$ 故待求之斜方差矩陣可表為：

核心觀念

1. 電碼虛擬距離（Code Pseudorange）觀測方程： 電碼虛擬距離是接收儀測量衛星發射測距電碼至接收儀天線的時間延遲乘以光速所得的距離測值。其觀測量包含真實幾何距離、衛星鐘差、接收儀鐘差、對流層延遲、電離層延遲以及多路徑與觀測雜訊。
2. 電離層色散特性（Dispersion）： 微波訊號穿透大氣電離層時，電離層為色散介質，其折射指數與訊號載波頻率有關。電磁波電碼訊號所受之一階電離層延遲（約佔整體電離層效應的 $99.9\%$ 以上）與頻率的平方成反比： $I \propto \frac{1}{f^2}$
3. 無電離層線性組合（Ionosphere-Free Linear Combination, $LC$ 或 $P_{IF}$）： 利用不同頻率對電離層延遲敏感度不同的特性，設計一組線性加權係數，在保持幾何距離尺度不變（係數和為 1）的同時，將一階電離層延遲項完全抵消。

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解題方法

一、雙頻電碼虛擬距離觀測方程

設接收儀為 $r$、衛星為 $s$，頻率為 $f_i$（雙頻一般指 $f_1$ 與 $f_2$），電碼虛擬距離觀測方程為：

$P_i = \rho + c(\delta t_r - \delta t^s) + I_i + T + \varepsilon_{P_i}$

其中各項定義如下：

• $P_i$：頻率 $f_i$ 上所測得的電碼虛擬距離（單位：$\text{m}$）。
• $\rho$：接收儀天線相位中心至衛星天線相位中心之幾何真實距離（單位：$\text{m}$），即 $\rho = \sqrt{(X^s - X_r)^2 + (Y^s - Y_r)^2 + (Z^s - Z_r)^2}$。
• $c$：真空中光速（單位：$\text{m/s}$）。
• $\delta t_r$：接收儀鐘差（單位：$\text{s}$）。
• $\delta t^s$：衛星鐘差（單位：$\text{s}$）。
• $I_i$：訊號在頻率 $f_i$ 上的電離層延遲效應（單位：$\text{m}$）。（注：電碼測量群速度受阻，表現為距離增加，故取正號 $+I_i$）。
• $T$：對流層折射延遲效應（單位：$\text{m}$），在 GNSS 頻段下為非色散介質，與頻率無關。
• $\varepsilon_{P_i}$：頻率 $f_i$ 上的多路徑效應、接收儀硬體延遲及隨機觀測雜訊（單位：$\text{m}$）。

對於雙頻觀測系統（以頻率 $f_1, f_2$ 為例），其觀測方程組表示為：

$$\begin{cases} P_1 = \rho + c(\delta t_r - \delta t^s) + I_1 + T + \varepsilon_{P_1} \\ P_2 = \rho + c(\delta t_r - \delta t^s) + I_2 + T + \varepsilon_{P_2} \end{cases}$$

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二、組成無電離層線性組合所採用之原理

1. 一階電離層折射原理： 電離層對微波訊號之折射延遲量 $I$ 主要取決於訊號路徑上的總電子含量（Total Electron Content, $\text{TEC}$）與電磁波載波頻率 $f$： $I = \frac{40.3 \cdot \text{TEC}}{f^2}$ 因此，雙頻訊號 $f_1$ 與 $f_2$ 的一階電離層延遲滿足下列反比關係： $\frac{I_1}{I_2} = \frac{f_2^2}{f_1^2} \implies I_2 = \frac{f_1^2}{f_2^2} I_1$

2. 線性組合基本構想： 設無電離層電碼虛擬距離為 $P_1$ 與 $P_2$ 的線性組合： $P_{IF} = \alpha P_1 + \beta P_2$ 透過設定線性權重係數 $\alpha$ 與 $\beta$，達成兩個目標：

• 幾何量尺度不變：組合後的幾何距離 $\rho$、鐘差項 $c\Delta t$ 與對流層延遲 $T$ 之係數維持為 1。
• 消除一階電離層影響：組合後的電離層延遲項係數相消為 0。

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三、無電離層線性組合之計算方式與推導

將雙頻觀測方程代入線性組合式（暫忽略雜訊項）： $P_{IF} = \alpha \left[ \rho + c(\delta t_r - \delta t^s) + I_1 + T \right] + \beta \left[ \rho + c(\delta t_r - \delta t^s) + I_2 + T \right]$

整理同類項得： $P_{IF} = (\alpha + \beta)\left[ \rho + c(\delta t_r - \delta t^s) + T \right] + (\alpha I_1 + \beta I_2)$

為滿足無電離層組合之條件，建立聯立方程式：

$$\begin{cases} \alpha + \beta = 1 & \text{（幾何項係數守恆）} \\ \alpha I_1 + \beta I_2 = 0 & \text{（電離層延遲消除）} \end{cases}$$

將 $I_2 = \frac{f_1^2}{f_2^2} I_1$ 代入第二式： $\alpha I_1 + \beta \left( \frac{f_1^2}{f_2^2} I_1 \right) = 0 \implies \alpha + \beta \frac{f_1^2}{f_2^2} = 0 \implies \alpha f_2^2 + \beta f_1^2 = 0$

解聯立方程： 由第二式得 $\alpha = -\beta \frac{f_1^2}{f_2^2}$，代入第一式：

核心觀念

本題為大地測量學中「物理大地測量」（Physical Geodesy）之基本核心考題，主要檢驗考生對以下四大範疇的掌握程度：

1. 重力（Gravity）之物理定義與數學表徵：地球引力（Gravitational Attraction）與自轉離心力（Centrifugal Force）之向量合成，以及重力位（Gravity Potential）之梯度關係。
2. 絕對重力測量原理（Absolute Gravity Measurement）：直接依據物理學之基本長度與時間標準，量測質點之重力加速度值（主要為自由落體雷射干涉法）。
3. 相對重力測量原理（Relative Gravity Measurement）：以特定平衡機制（如虎克定律彈簧受力平衡）量測測站間之重力差值（$\Delta g$），再藉由已知重力基準點推算未知點之絕對重力。
4. 重力觀測之誤差來源與改正（Reductions and Corrections）：重力感測極其靈敏（可達 $\mu\text{Gal}$ 級），需嚴格區分「儀器本身物理特性」與「外在自然環境動態」所誘發之誤差改正項目。

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解題方法

本題為標準的四段式問答題，答題架構應循序漸進，分為「重力定義」、「絕對與相對測量原理」、「誤差改正分類」三大部分鋪陳，並輔以精確之物理數學式與條列式說明。

一、 重力之定義

1. 物理概念： 在大地測量學中，「重力」（Gravity, 向量以 $\vec{g}$ 表示）指處於地球表面或近地空間隨地球共同旋轉的物體，所承受之地球萬有引力（$\vec{f}$）與地球自轉離心力（$\vec{c}$）之向量合： $\vec{g} = \vec{f} + \vec{c}$

• 地球引力 $\vec{f}$：地心及全體地質質量對單物質點之萬有吸引力，方向指向質心附近。
• 自轉離心力 $\vec{c}$：隨地球自轉產生的慣性力，垂直於自轉軸背向外向擴展，赤道最大、兩極為零。

2. 位能場表徵： 重力向量場為保守場（忽略時間微小潮汐變化下），重力加速度即為重力位（$W$）之空間負梯度（或定義為梯度向量）： $\vec{g} = \nabla W = \nabla (V + \Phi)$ 其中 $V$ 為地球引力位，$\Phi = \frac{1}{2} \omega^2 (x^2 + y^2)$ 為自轉離心力位（$\omega$ 為地球自轉角速度）。重力向量垂直於該點之大地水準面（等位面），其反方向即為鉛垂線（Plumb line）方向。
3. 計量單位： 公制單位為 $\text{m/s}^2$；在大地測量中慣用高斯制單位「伽」（$\text{Gal}$）： $1\text{ Gal} = 1\text{ cm/s}^2 = 10^{-2}\text{ m/s}^2$ $1\text{ mGal} = 10^{-3}\text{ Gal} = 10^{-5}\text{ m/s}^2$ $1\ \mu\text{Gal} = 10^{-6}\text{ Gal} = 10^{-8}\text{ m/s}^2$

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二、 絕對與相對重力測量原理

(一) 絕對重力測量原理（Absolute Gravity Measurement）

• 核心原理：不依賴任何預設之重力基準點，直接依據國際度量衡之基本物理量（長度標準與時間標準），量測落體在真空腔體中自由運動的時空軌跡，以求取測站之絕對重力加速度值 $g$。
• 主流方法（自由落體雷射干涉法，Free-fall Method）： 現代主流儀器（如 FG5、A10 絕對重力儀）是在高度真空室內釋放一測試質點（內部裝有 corner-cube 角棱鏡）。利用穩頻氦氖雷射干涉儀（以波長 $\lambda$ 作為精密長度基準）配合銣原子鐘（作為精密時間基準），記錄落體在不同時刻 $t_i$ 的下落距離 $z_i$。 依據自由落體運動方程（考慮鉛垂重力梯度 $\gamma = \frac{\partial g}{\partial z}$）： $z(t) = z_0 + v_0 t + \frac{1}{2} g_0 t^2 + \frac{1}{6} \gamma v_0 t^3 + \frac{1}{24} \gamma g_0 t^4$ 透過最小二乘法擬合數百萬個時空量測點，即可精確解算出原點之重力加速度 $g_0$，精度可達 $1\sim 2\ \mu\text{Gal}$。
• 輔助方法（對稱上拋法，Rise-and-fall Method）： 將測試質量垂直向上拋出，紀錄其向上穿過及向下折返穿過同一光柵高度之時間間隔，可消除部分空氣阻力與對稱性儀器系統誤差。

(二) 相對重力測量原理（Relative Gravity Measurement）

• 核心原理：量測相鄰兩測站 $A$、$B$ 之間的重力差 $\Delta g_{AB} = g_B - g_A$。只要聯測一個已知絕對重力點，即可依序列推所有測站之重力值。
• 主流方法（彈簧重力儀靜力平衡法，Spring Gravimeter）： 依據虎克定律（Hooke's Law），當質量為 $m$ 之感應重塊懸掛於彈簧下端時，重力與彈簧張力達到靜力平衡： $F = m \cdot g = k \cdot (l - l_0)$ 式中 $k$ 為彈簧彈性係數，$l - l_0$ 為彈簧伸長量。當儀器移至不同重力場位置時，重力之變化量 $\Delta g$ 引起重塊位移，藉由調節微動旋鈕使其恢復零點平衡，則重力差正比於微讀數差： $\Delta g = g_B - g_A = \frac{k}{m} \cdot \Delta l$
• 現代儀器（如 LaCoste & Romberg、Scintrex CG-5/CG-6）多採用「零長彈簧（Zero-length Spring）」與無定向失穩力矩機構，使系統處於高靈敏度之臨界不穩定狀態，大幅放大重力變化引起的微位移。
• 高階監測方法（超導重力儀，Superconducting Gravimeter, SG）： 利用超導線圈產生的磁場懸浮鈮金屬超導球，藉由監測懸浮位置所需回饋電流測量相對重力隨時間之連續微小變化，長期飄移率極低，常用於地球潮汐與地球動力學連續觀測。

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三、 因環境及儀器因素所造成之誤差改正

在重力觀測作業中，讀數並非測站真實固定之靜態重力值，必須在「觀測階段」針對儀器自身物理限制與外在動態環境影響施加嚴密改正：