112 高普考高考三級 測量製圖 測量平差法（包括誤差理論及實務） 考古題詳解

核心觀念

本題考查測量平差法中「同精度（等權）獨立觀測」之最或然值計算、精度評估（中誤差）及基於統計準則之「粗差（錯誤觀測量）偵測與剔除」。涉及之核心定義與公式如下：

1. 同精度觀測之最或然值（算術平均值 $\hat{x}$）： 對未知量進行 $n$ 次獨立等權觀測，其最或然值即為觀測值之算術平均值： $\hat{x} = \frac{\sum_{i=1}^n L_i}{n}$
2. 殘差（觀測改正數 $v_i$）： $v_i = L_i - \hat{x} \quad (\text{滿足 } \sum_{i=1}^n v_i = 0)$
3. 白塞爾公式（Bessel's Formula）評定精度：

• 單一觀測量之中誤差（$\sigma$）： $\sigma = \sqrt{\frac{\sum v_i^2}{n - 1}}$
• 最或然值之中誤差（$\sigma_{\hat{x}}$）： $\sigma_{\hat{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{\sum v_i^2}{n(n - 1)}}$

4. 二倍中誤差（$2\sigma$）粗差剔除準則： 在正態分佈假設下，殘差絕對值大於二倍單一觀測量中誤差者（$|v_i| > 2\sigma$），視為含有粗差（錯誤觀測量），應予剔除。剔除後須以剩餘之有效觀測值重新進行平差計算。

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解題方法

本題觀測角之「度」與「分」皆相同（$36^\circ 50'$），計算時可直接針對「秒」的讀數進行分析，最後再組合回角度值。

第一階段：納入全體 8 次觀測量之初步計算

觀測秒數依序為：$L = [39'', 41'', 38'', 42'', 45'', 41'', 43'', 6'']$，$n = 8$。

1. 計算初步最或然值 $\hat{x}_1$： $\sum_{i=1}^8 L_i = 39 + 41 + 38 + 42 + 45 + 41 + 43 + 6 = 295''$ $\hat{x}_1 = \frac{295''}{8} = 36.875''$ 水平角之初步最或然值為：$36^\circ 50' 36.88''$。

2. 計算各觀測量之殘差 $v_i = L_i - \hat{x}_1$ 與平方和 $\sum v_i^2$：

• $v_1 = 39 - 36.875 = +2.125'' \implies v_1^2 = 4.5156''^2$
• $v_2 = 41 - 36.875 = +4.125'' \implies v_2^2 = 17.0156''^2$
• $v_3 = 38 - 36.875 = +1.125'' \implies v_3^2 = 1.2656''^2$
• $v_4 = 42 - 36.875 = +5.125'' \implies v_4^2 = 26.2656''^2$
• $v_5 = 45 - 36.875 = +8.125'' \implies v_5^2 = 66.0156''^2$
• $v_6 = 41 - 36.875 = +4.125'' \implies v_6^2 = 17.0156''^2$
• $v_7 = 43 - 36.875 = +6.125'' \implies v_7^2 = 37.5156''^2$
• $v_8 = 6 - 36.875 = -30.875'' \implies v_8^2 = 953.2656''^2$
• 檢核：$\sum v_i = 0$
• 平方和：$\sum v_i^2 = 1122.875''^2$

3. 計算初步中誤差：

• 單一觀測量之中誤差 $\sigma_1$： $\sigma_1 = \sqrt{\frac{\sum v_i^2}{n - 1}} = \sqrt{\frac{1122.875}{7}} = \sqrt{160.4107} \approx 12.67''$
• 最或然值之中誤差 $\sigma_{\hat{x}1}$： $\sigma_{\hat{x}1} = \frac{\sigma_1}{\sqrt{n}} = \frac{12.6654''}{\sqrt{8}} = \sqrt{\frac{1122.875}{56}} \approx 4.48''$

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第二階段：二倍中誤差（$2\sigma$）檢驗與粗差剔除

1. 計算粗差剔除門檻值： $2\sigma_1 = 2 \times 12.6654'' \approx 25.33''$

2. 殘差檢驗：

• 觀測量 1 至 7 之 $|v_i|$ 最大值為 $|v_5| = 8.125'' < 25.33''$。
• 第 8 次觀測量之殘差絕對值 $|v_8| = |-30.875''| = 30.875''$。
• 比較結果：$|v_8| = 30.88'' > 2\sigma_1 = 25.33''$。
• 判定：第 8 次觀測量（$36^\circ 50' 06''$）超過二倍中誤差，判定含有粗差，予以剔除。

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第三階段：剔除粗差後之重新平差計算

核心觀念

本題為平面三角形的間接觀測平差。已知 $A、B$ 坐標，未知點 $C$ 坐標為

$$C(x,y)$$

因此未知參數共有 $2$ 個。觀測量包括：

• $A$ 點觀測水平角 $\alpha$
• $B$ 點觀測水平角 $\beta$
• 卷尺量得距離 $AC=S_1$
• 卷尺量得距離 $BC=S_2$

間接觀測平差的基本關係為：

$$r=n-u$$

其中 $n$ 為觀測量數、$u$ 為未知參數數、$r$ 為多餘觀測數。

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（1）至少需要幾個觀測量

$C$ 點只有兩個未知坐標 $x、y$，因此至少需要兩個彼此獨立的觀測量。

例如：

• 觀測 $\alpha、\beta$，可由兩條方向線交會求得 $C$；
• 觀測 $S_1、S_2$，可由兩個圓弧交會求得 $C$，但幾何上須配合已知位置選定正確交點。

因此：

$$\boxed{\text{至少需要 }2\text{ 個獨立觀測量}}$$

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（2）多餘觀測數

本題實際有四個觀測量：

$$n=4$$

未知坐標參數有兩個：

$$u=2$$

所以多餘觀測數為：

$$r=n-u=4-2=2$$

因此：

$$\boxed{r=2}$$

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（3）列出觀測方程式並線性化

1. 距離觀測方程式

設已知坐標為

$$A(X_A,Y_A),\qquad B(X_B,Y_B)$$

未知點為 $C(x,y)$。

距離 $AC$ 的理論值為：

$$S_1=\sqrt{(x-X_A)^2+(y-Y_A)^2}$$

距離 $BC$ 的理論值為：

$$S_2=\sqrt{(x-X_B)^2+(y-Y_B)^2}$$

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2. 角度觀測方程式

令 $AB$ 方位角為 $\theta_{AB}$，$BA$ 方位角為 $\theta_{BA}$。依圖示三角形配置：

$$\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{y-Y_A}{x-X_A}\right)-\theta_{AB}$$ $$\beta = \theta_{BA} - \tan^{-1}\left(\frac{y-Y_B}{x-X_B}\right)$$

實際計算時應使用具象限判斷的 $\operatorname{atan2}$，避免反正切函數判斷錯誤。

因此可寫成非線性觀測方程式：

$$\begin{cases} S_1=f_1(x,y)\\ S_2=f_2(x,y)\\ \alpha=f_3(x,y)\\ \beta=f_4(x,y) \end{cases}$$

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3. 線性化

取 $C_0(x_0,y_0)$ 為近似坐標，令坐標改正數為：

$$\Delta x=x-x_0,\qquad \Delta y=y-y_0$$

在近似坐標處計算：

$$s_1^0=\sqrt{(x_0-X_A)^2+(y_0-Y_A)^2}$$ $$s_2^0=\sqrt{(x_0-X_B)^2+(y_0-Y_B)^2}$$

並令：

$$d_{Ax}=x_0-X_A,\quad d_{Ay}=y_0-Y_A$$ $$d_{Bx}=x_0-X_B,\quad d_{By}=y_0-Y_B$$

定義觀測值減計算值的常數項：

$$l_{S_1}=S_1^{\,obs}-s_1^0$$ $$l_{S_2}=S_2^{\,obs}-s_2^0$$ $$l_{\alpha}=\alpha^{obs}-\alpha^0$$ $$l_{\beta}=\beta^{obs}-\beta^0$$

若採用「觀測值加殘差等於理論值」的記號，線性化方程式為：

$$l+v=A \begin{bmatrix} \Delta x\\ \Delta y \end{bmatrix}$$

其中各列如下。

距離 $S_1$

$$l_{S_1}+v_{S_1} = \frac{d_{Ax}}{s_1^0}\Delta x + \frac{d_{Ay}}{s_1^0}\Delta y$$

距離 $S_2$

$$l_{S_2}+v_{S_2} = \frac{d_{Bx}}{s_2^0}\Delta x + \frac{d_{By}}{s_2^0}\Delta y$$

角度 $\alpha$

因為

$$\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{y-Y_A}{x-X_A}\right)-\theta_{AB}$$

所以其偏微分為：

核心觀念

1. 算術平均值之中誤差（Mean Standard Error）： 對某未知量進行 $n$ 次獨立且等精度之觀測，若單次觀測之中誤差為 $\sigma$，則其算術平均值（最妥值）之中誤差 $\sigma_{\bar{x}}$ 為： $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

2. 三角形內角和閉合差函數（Angular Misclosure of Triangle）： 在平面幾何中，三角形三內角之理論真值和為 $180^\circ$（常數）。設三內角之最妥觀測值分別為 $\bar{\alpha}$、$\bar{\beta}$、$\bar{\gamma}$，則內角和閉合差 $w$ 為： $w = \bar{\alpha} + \bar{\beta} + \bar{\gamma} - 180^\circ$

3. 線性函數之誤差傳播定律（Law of Error Propagation）： 若各觀測量獨立不相關，函數形式為線性組合 $F = a_1 X_1 + a_2 X_2 + \dots + a_k X_k + C$（其中 $C$ 為常數），則函數之中誤差為： $\sigma_F = \sqrt{a_1^2 \sigma_1^2 + a_2^2 \sigma_2^2 + \dots + a_k^2 \sigma_k^2}$

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解題方法

本題旨在求取三內角平均值相加後與理論值之閉合差中誤差，依步驟推導如下：

步驟一：求各內角最妥值（算術平均值）之中誤差

題目給定三個內角 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 各獨立觀測 $n = 4$ 次，單次測角中誤差均為 $\sigma = 3''$。 由算術平均值中誤差公式，可得各角最妥值之中誤差分別為： $\sigma_{\bar{\alpha}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3''}{\sqrt{4}} = 1.5''$ $\sigma_{\bar{\beta}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3''}{\sqrt{4}} = 1.5''$ $\sigma_{\bar{\gamma}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{3''}{\sqrt{4}} = 1.5''$

步驟二：建立閉合差之函數關係式

平面三角形內角和閉合差 $w$ 定義為： $w = \bar{\alpha} + \bar{\beta} + \bar{\gamma} - 180^\circ$

核心觀念

本題屬於測量平差法中的二維正形坐標轉換（無平移參數之四參數轉換特例）之等權間接觀測平差與參數之統計推論（信心區間）。核心觀念涵蓋以下四項：

1. 間接觀測平差模型（Observation Equation Model）：

• 觀測方程式：$V = A\hat{X} - L$ 或 $\hat{L} = A\hat{X}$。
• 自由度（多餘觀測數）：$r = n - u$，其中 $n$ 為總觀測量個數（5 點 $\times$ 2 坐標分量 $= 10$），$u$ 為待定參數個數（轉換參數 $a, b$，共 2 個），故 $r = 10 - 2 = 8$。

2. 法方程式（Normal Equations）與參數解：

• 權矩陣為單位矩陣 $P = I_{10}$（等權獨立不相關）。
• 法方程式：$N\hat{X} = U$，其中法方程式矩陣 $N = A^T A$，常數項向量 $U = A^T L$。
• 參數解：$\hat{X} = N^{-1} U$。

3. 精度評估與協方差矩陣：

• 單位權方差估值：$\hat{\sigma}_0^2 = \frac{V^T V}{r} = \frac{V^T V}{n - u}$。
• 參數之協方差矩陣：$\Sigma_{\hat{X}\hat{X}} = \hat{\sigma}_0^2 Q_{\hat{X}\hat{X}} = \hat{\sigma}_0^2 N^{-1}$。
• 相關係數：$\rho_{ab} = \frac{\sigma_{ab}}{\sigma_a \sigma_b} = \frac{Q_{ab}}{\sqrt{Q_{aa} Q_{bb}}}$。

4. 參數之區間估計（Confidence Interval）：

• 當母體單位權中誤差 $\sigma_0$ 未知，由樣本殘差估計值 $\hat{\sigma}_0$ 代替時，參數標準化後服從自由度為 $r$ 的 Student's $t$ 分布。
• 參數 $a$ 之 $100(1-\alpha)\%$ 雙尾信心區間公式為： $[\hat{a} - t_{\alpha/2, r} \cdot \hat{\sigma}_a,\; \hat{a} + t_{\alpha/2, r} \cdot \hat{\sigma}_a]$

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解題方法

1. 列立觀測方程式與矩陣構建

設觀測量向量 $L$ 為新坐標 $(x'_i, y'_i)$，舊坐標 $(x_i, y_i)$ 視為無誤差之已知常數。 對每一點 $i$，依題目關係式： $x'_i + v_{xi} = a x_i + b y_i$ $y'_i + v_{yi} = -b x_i + a y_i = a y_i - b x_i$

寫成矩陣形式： $\begin{bmatrix} v_{xi} \\ v_{yi} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_i & y_i \\ y_i & -x_i \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} x'_i \\ y'_i \end{bmatrix}$

待定參數向量 $\hat{X} = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}$，設計矩陣 $A$ 由各點係數組成（$10 \times 2$ 矩陣）：

$$A = \begin{bmatrix} x_1 & y_1 \\ y_1 & -x_1 \\ x_2 & y_2 \\ y_2 & -x_2 \\ x_3 & y_3 \\ y_3 & -x_3 \\ x_4 & y_4 \\ y_4 & -x_4 \\ x_5 & y_5 \\ y_5 & -x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 10 & 10 \\ 10 & -10 \\ -30 & 20 \\ 20 & 30 \\ -10 & -20 \\ -20 & 10 \\ 20 & -10 \\ -10 & -20 \end{bmatrix},\quad L = \begin{bmatrix} 0.1 \\ 0 \\ 5.1 \\ 12.9 \\ -34.9 \\ 6.2 \\ -1.0 \\ -22.1 \\ 21.8 \\ -0.8 \end{bmatrix}$$

2. 計算法方程式矩陣 $N$ 與常數項向量 $U$

• 計算法方程式矩陣 $N = A^T A$： $N_{11} = \sum_{i=1}^5 (x_i^2 + y_i^2) = (0^2+0^2) + (10^2+10^2) + [(-30)^2+20^2] + [(-10)^2+(-20)^2] + [20^2+(-10)^2]$ $N_{11} = 0 + 200 + 1300 + 500 + 500 = 2500$ $N_{22} = \sum_{i=1}^5 (y_i^2 + (-x_i)^2) = \sum_{i=1}^5 (x_i^2 + y_i^2) = 2500$ $N_{12} = N_{21} = \sum_{i=1}^5 [x_i y_i + y_i(-x_i)] = \sum_{i=1}^5 (x_i y_i - x_i y_i) = 0$

因此： $N = \begin{bmatrix} 2500 & 0 \\ 0 & 2500 \end{bmatrix},\quad Q_{\hat{X}\hat{X}} = N^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2500} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2500} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.0004 & 0 \\ 0 & 0.0004 \end{bmatrix}$

• 計算常數項向量 $U = A^T L$： $U_1 = \sum_{i=1}^5 (x_i x'_i + y_i y'_i)$
• 點 1：$0(0.1) + 0(0) = 0$
• 點 2：$10(5.1) + 10(12.9) = 51 + 129 = 180$
• 點 3：$(-30)(-34.9) + 20(6.2) = 1047 + 124 = 1171$
• 點 4：$(-10)(-1.0) + (-20)(-22.1) = 10 + 442 = 452$
• 點 5：$20(21.8) + (-10)(-0.8) = 436 + 8 = 444$ $U_1 = 0 + 180 + 1171 + 452 + 444 = 2247$

$U_2 = \sum_{i=1}^5 (y_i x'_i - x_i y'_i)$

• 點 1：$0(0.1) - 0(0) = 0$
• 點 2：$10(5.1) - 10(12.9) = 51 - 129 = -78$
• 點 3：$20(-34.9) - (-30)(6.2) = -698 + 186 = -512$
• 點 4：$(-20)(-1.0) - (-10)(-22.1) = 20 - 221 = -201$
• 點 5：$(-10)(21.8) - 20(-0.8) = -218 + 16 = -202$ $U_2 = 0 - 78 - 512 - 201 - 202 = -993$

故： $U = \begin{bmatrix} 2247 \\ -993 \end{bmatrix}$

3. 解算轉換參數 $(a, b)$

$\hat{X} = N^{-1} U = \begin{bmatrix} \frac{1}{2500} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2500} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2247 \\ -993 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2247}{2500} \\ \frac{-993}{2500} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.8988 \\ -0.3972 \end{bmatrix}$

得到平差後轉換參數： $a = 0.8988,\quad b = -0.3972$

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4. 計算殘差向量與單位權中誤差