110 高普考高考三級 測量製圖 測量平差法（包括誤差理論及實務） 考古題詳解

110 年・高普考・高考三級・測量製圖
試題代碼 測量平差法（包括誤差理論及實務）

第 一 題20 分

如圖所示，等精度觀測了三個角度，觀測向量為

[l1l2l3]=[30∘45′20′′47∘12′54′′77∘58′20′′]\begin{bmatrix} l_1\\ l_2\\ l_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 30^\circ45'20''\\ 47^\circ12'54''\\ 77^\circ58'20'' \end{bmatrix}

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

已知 ∠AOB=77∘58′24′′\angle AOB=77^\circ58'24''，以間接觀測平差分析 ∠AOP\angle AOP、∠POB\angle POB 的最或是值。

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核心觀念

本題考等精度角度觀測的間接觀測平差。由圖可知，l1l_1、l2l_2 分別觀測 ∠AOP\angle AOP、∠POB\angle POB，而 l3l_3 觀測總角 ∠AOB\angle AOB。設兩個待求角的最或是值為 xx、yy，則觀測模型為

x≈l1,y≈l2,x+y≈l3.x\approx l_1,\qquad y\approx l_2,\qquad x+y\approx l_3.

另已知總角 ∠AOB=77∘58′24′′\angle AOB=77^\circ58'24''，這是精確條件，故平差後必須滿足

x+y=77∘58′24′′.x+y=77^\circ58'24''.

三個角度等精度，表示各觀測的權相同，最小化改正數平方和即可。

解題方法

先將角度換算成以角秒為單位的改正數。兩個分角的觀測值相加為

l1+l2=30∘45′20′′+47∘12′54′′=77∘58′14′′.l_1+l_2 =30^\circ45'20''+47^\circ12'54'' =77^\circ58'14''.

因此，為符合已知總角，l1l_1 與 l2l_2 的改正數 v1,v2v_1,v_2 必須滿足

v1+v2=77∘58′24′′−77∘58′14′′=10′′.v_1+v_2 =77^\circ58'24''-77^\circ58'14'' =10''.
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第 二 題20 分

某一平差問題，觀測值向量 L5×1L_{5\times1} 為等精度獨立觀測值，已求出的法方程式如下：

[32.5111.2011.2024.65][k1k2]+[12.20−9.35]=0\begin{bmatrix} 32.51 & 11.20\\ 11.20 & 24.65 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1\\ k_2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 12.20\\ -9.35 \end{bmatrix} =0

試求出此平差問題中的單位權變方估值 σ^02\hat{\sigma}_0^2？

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核心觀念

本題考單位權變方估值。等精度且相互獨立的觀測，其權矩陣可取 P=IP=I，單位權變方估值為

σ^02=VTPVn−u=VTVn−u,\hat{\sigma}_0^2=\frac{V^TPV}{n-u} =\frac{V^TV}{n-u},

其中 nn 為觀測數、uu 為未知數個數，VV 為平差後的殘差向量。

題目有 n=5n=5 個觀測、u=2u=2 個未知數，因此自由度為 n−u=3n-u=3。但要算出數值，仍須知道殘差平方和 VTVV^TV。

解題方法

令法方程式中的矩陣為 NN、常數向量為 ww，則

N[k1k2]+w=0.N \begin{bmatrix} k_1\\ k_2 \end{bmatrix} +w=0.

可由此求得未知數：

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第 三 題20 分

已知隨機變數 xx、yy 的標準差分別為 σx\sigma_x、σy\sigma_y，相關係數 ρxy=−1\rho_{xy}=-1，試求函數

u=x2+ayu=x^2+ay

的變方 σu2\sigma_u^2。

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核心觀念

本題考查函數變方的傳播，以及完全負相關對共變數的影響。相關係數與共變數的關係為

Cov⁡(x,y)=ρxyσxσy.\operatorname{Cov}(x,y)=\rho_{xy}\sigma_x\sigma_y.

對 u=x2+ayu=x^2+ay，若以一階誤差傳播公式計算，則

σu2≈(∂u∂x)2σx2+(∂u∂y)2σy2+2∂u∂x∂u∂yCov⁡(x,y).\sigma_u^2 \approx \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2\sigma_x^2 + \left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2\sigma_y^2 + 2\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial y} \operatorname{Cov}(x,y).

解題方法

先求函數對各變數的偏導數：

∂u∂x=2x,∂u∂y=a.\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=a.

代入誤差傳播公式：

σu2≈(2x)2σx2+a2σy2+2(2x)(a)Cov⁡(x,y).\sigma_u^2 \approx (2x)^2\sigma_x^2+a^2\sigma_y^2 +2(2x)(a)\operatorname{Cov}(x,y).
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第 四 題20 分

一平坦地區直線距離長度約為 150 m150\ \mathrm{m}，欲以 50 m50\ \mathrm{m} 長的捲尺分段量測之。

假設量測每一段長度之中誤差為

a2500+5 mm\frac{a}{2500}+5\ \mathrm{mm}

段與段相接處量測時皆會產生 ±5 mm\pm5\ \mathrm{mm} 的中誤差，且捲尺兩端各有 ±3 mm\pm3\ \mathrm{mm} 的對點中誤差，試求分成三段（每段約 50 m50\ \mathrm{m}）作業時，總長度的中誤差。

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核心觀念

本題考查分段量距時，如何依誤差傳播定律合成總長度的中誤差。各段量距誤差、段與段相接處的誤差，以及捲尺兩端的對點誤差，視為彼此獨立的隨機誤差；因此總中誤差為各項中誤差平方和開根號。

題目所列的 ±\pm 中誤差，在計算時取其大小作為標準差。三段量距約為 50 m50\ \mathrm{m}，故量距中誤差公式中的 a=50 ma=50\ \mathrm{m}。

解題方法

每段量距的中誤差為

ms=a2500+5 mm=502500 m+5 mm=20 mm+5 mm=25 mm.m_s=\frac{a}{2500}+5\ \mathrm{mm} =\frac{50}{2500}\ \mathrm{m}+5\ \mathrm{mm} =20\ \mathrm{mm}+5\ \mathrm{mm} =25\ \mathrm{mm}.

三段量距彼此獨立，量距部分的總中誤差為

m量距=3(25 mm)2=253 mm.m_{\text{量距}} =\sqrt{3(25\ \mathrm{mm})^2} =25\sqrt{3}\ \mathrm{mm}.

三段相接會有兩個段與段的接合處，每處中誤差為 5 mm5\ \mathrm{mm}，故

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第 五 題20 分

直線方程式 y=ax+by=ax+b，假設 xx 為真值且觀測值 yy 為等權獨立不相關，試由下列表格數據依最小二乘法估計 aa、bb。

xx1122334455
yy10.310.311.211.211.811.811.711.712.012.0
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核心觀念

本題考查以最小二乘法估計直線 y=ax+by=ax+b 的斜率 aa 與截距 bb。題目指定 xx 為真值，且 yy 的觀測值等權、獨立、不相關，因此採用一般直線迴歸的最小二乘估計。

令觀測值與估計值的殘差為 vi=yi−(axi+b)v_i=y_i-(ax_i+b)，最小二乘法使殘差平方和 ∑vi2\sum v_i^2 最小。其估計公式為：

a=n∑xiyi−(∑xi)(∑yi)n∑xi2−(∑xi)2,b=∑yi−a∑xin.a=\frac{n\sum x_i y_i-(\sum x_i)(\sum y_i)} {n\sum x_i^2-(\sum x_i)^2}, \qquad b=\frac{\sum y_i-a\sum x_i}{n}.

解題方法

先整理表中數據所需的總和：

n=5,∑xi=1+2+3+4+5=15,n=5,\quad \sum x_i=1+2+3+4+5=15, ∑yi=10.3+11.2+11.8+11.7+12.0=57.0,\sum y_i=10.3+11.2+11.8+11.7+12.0=57.0, ∑xi2=12+22+32+42+52=55,\sum x_i^2=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2=55, ∑xiyi=1(10.3)+2(11.2)+3(11.8)+4(11.7)+5(12.0)=174.9.\sum x_i y_i =1(10.3)+2(11.2)+3(11.8)+4(11.7)+5(12.0) =174.9.

代入斜率公式：

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