111 高普考高考三級 測量製圖 測量平差法（包括誤差理論及實務） 考古題詳解

核心觀念

本題屬於平差法中「等權獨立觀測值之精度評估與粗差偵測」的經典題型，考核以下四項核心觀念與公式：

1. 最或是值（Most Probable Value, $\hat{x}$）： 在同精度（等權）獨立直接觀測條件下，依最小二乘法原理，最或是值即為觀測值的算術平均數： $\hat{x} = \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
2. 觀測中誤差（Standard Error of a Single Observation, $\sigma$）： 利用殘差（$v_i = x_i - \hat{x}$）透過**貝賽爾公式（Bessel's Formula）**評估單次觀測之精度： $\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}{n - 1}}$ （其中自由度為 $n - 1$）
3. 最或是值之中誤差（Standard Error of the Mean, $\sigma_{\hat{x}}$）： 依據誤差傳播定律，算術平均數之中誤差為單次觀測中誤差除以觀測次數之平方根： $\sigma_{\hat{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} v_i^2}{n(n - 1)}}$
4. 粗差檢核（Gross Error Detection / Outlier Rejection）： 在常態分佈假設下，設定信賴水準（Confidence Level）為 $95\%$（對應顯著水準 $\alpha = 0.05$），容許極限誤差為 $E_{95} = 1.96\sigma$。 若某觀測值之殘差絕對值大於容許極限（即 $|v_i| > E_{95}$），則在該信賴水準下判定該觀測值超出隨機誤差之合理波動範圍，含有粗差。

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解題方法

步驟一：計算最或是值 $\hat{x}$

觀測組數 $n = 30$。將 30 筆秒讀數加總：

• 第一列總和：$23.7 + 14.1 + 15.1 + 19.8 + 19.7 + 12.9 + 26.7 + 12.5 + 13.6 + 20.5 = 178.6''$
• 第二列總和：$16.5 + 15.2 + 18.4 + 8.2 + 24.7 + 16.0 + 8.5 + 16.2 + 23.4 + 20.9 = 168.0''$
• 第三列總和：$18.5 + 13.3 + 16.2 + 19.1 + 15.4 + 26.4 + 18.2 + 14.9 + 17.8 + 13.1 = 172.9''$

全體觀測值總和： $\sum_{i=1}^{30} x_i = 178.6 + 168.0 + 172.9 = 519.5''$

最或是值（取至小數點後兩位）： $\hat{x} = \frac{519.5''}{30} = 17.3167'' \approx 17.32''$

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步驟二：計算殘差平方和 $\sum v^2$ 與觀測中誤差 $\sigma$

為簡化手算，令基準值 $x_0 = 17.0''$，定義 $d_i = x_i - x_0$：

• 各 $d_i$ 之總和：$\sum d_i = \sum x_i - 30 \times 17.0 = 519.5 - 510.0 = 9.5''$
• 各 $d_i^2$ 之和：
• 第一列：$6.7^2 + (-2.9)^2 + (-1.9)^2 + 2.8^2 + 2.7^2 + (-4.1)^2 + 9.7^2 + (-4.5)^2 + (-3.4)^2 + 3.5^2 = 227.00$
• 第二列：$(-0.5)^2 + (-1.8)^2 + 1.4^2 + (-8.8)^2 + 7.7^2 + (-1.0)^2 + (-8.5)^2 + (-0.8)^2 + 6.4^2 + 3.9^2 = 272.24$
• 第三列：$1.5^2 + (-3.7)^2 + (-0.8)^2 + 2.1^2 + (-1.6)^2 + 9.4^2 + 1.2^2 + (-2.1)^2 + 0.8^2 + (-3.9)^2 = 133.61$

核心觀念

本題旨在評量測量成果的品質評估與統計推論能力，屬於誤差理論中「單一樣本平均數之假設檢定（Hypothesis Testing）」經典題型。涉及之核心觀念與公式如下：

1. 小樣本母體平均數檢定（$t$ 檢定）： 當觀測次數 $n$ 較小（$n < 30$），且母體標準偏差 $\sigma$ 未知、僅能以樣本標準偏差（觀測中誤差）$s$ 估計時，樣本平均數 $\bar{x}$ 之標準化變數服從自由度 $\nu = n - 1$ 的史徒登 $t$ 分布（Student's $t$-distribution）： $t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s_{\bar{x}}} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$ 其中：

• $\bar{x}$：觀測平均值（計算結果）。
• $\mu_0$：已知基準值（檢定基線真值或標準長度）。
• $s$：單一觀測中誤差（樣本標準偏差）。
• $s_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}}$：平均值中誤差（平均值之標準誤差）。
• $n$：獨立觀測次數。

2. 雙尾檢定（Two-tailed Test）： 檢定儀器測距功能是否「正常」，即檢驗觀測值與標準值之間是否存在顯著偏差（系統誤差）。偏差可能偏大或偏小，故必須採用雙尾檢定。若顯著水準為 $\alpha$，則拒絕域分配於兩側尾端，各占 $\frac{\alpha}{2}$。

3. 自由度（Degrees of Freedom, $\nu$）： 樣本觀測次數為 $n$，估計一個母體平均數參數後，剩餘獨立自由度為 $\nu = n - 1$。

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解題方法

步驟一：建立統計假說

設定虛無假說（$H_0$）與對立假說（$H_1$）：

• 虛無假說（$H_0$）：$\mu = 1{,}100.005\ \mathrm{m}$（儀器測距無顯著偏差，功能正常運作）
• 對立假說（$H_1$）：$\mu \neq 1{,}100.005\ \mathrm{m}$（儀器測距存在顯著偏差，功能異常）

步驟二：計算平均值中誤差與檢定統計量

依題目條件：

• 觀測次數 $n = 4$
• 觀測平均值 $\bar{x} = 1{,}100.000\ \mathrm{m}$
• 基線已知長度 $\mu_0 = 1{,}100.005\ \mathrm{m}$
• 觀測中誤差 $s = 0.04\ \mathrm{m}$

1. 計算平均值中誤差 $s_{\bar{x}}$： $s_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0.04}{\sqrt{4}} = \frac{0.04}{2} = 0.020\ \mathrm{m}$

2. 計算 $t$ 檢定統計量（$t_{\text{calc}}$）： $t_{\text{calc}} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s_{\bar{x}}} = \frac{1{,}100.000 - 1{,}100.005}{0.020} = \frac{-0.005}{0.020} = -0.250$ 取絕對值為 $|t_{\text{calc}}| = 0.250$。

步驟三：確定臨界值與拒絕域

• 顯著水準 $\alpha = 0.01$。
• 本題為雙尾檢定，單側尾端機率為 $\frac{\alpha}{2} = \frac{0.01}{2} = 0.005$。
• 自由度 $\nu = n - 1 = 4 - 1 = 3$。
• 查題目所附之 $t$ 分布臨界值： $t_{\text{crit}} = t_{\alpha/2,\, \nu} = t_{0.005,\, 3} = 5.841$

拒絕域規則為： $\text{若 } |t_{\text{calc}}| \ge t_{0.005,\, 3} = 5.841 \implies \text{拒絕 } H_0$

核心觀念

本題涵蓋測量學「導線測量」之幾何推算與測量平差法之「誤差傳播定律（Law of Propagation of Errors）」，核心觀念如下：

1. 方位角推算原理： 在平面導線測量中，觀測角 $\beta$ 為後視點順時針旋轉至前視點之水平角。前視邊方位角推算通式為： $\phi_{\text{前}} = \phi_{\text{後}} \pm 180^\circ + \beta$ （若結果 $\ge 360^\circ$ 則減去 $360^\circ$；若 $< 0^\circ$ 則加上 $360^\circ$）。

2. 方位角中誤差傳播： 若各角觀測量彼此獨立（互不相關），方位角為前一邊方位角與轉折角之線性函數，其權倒數或方差滿足線性誤差傳播定律： $\sigma_{\phi_{i,i+1}}^2 = \sigma_{\phi_{i-1,i}}^2 + \sigma_{\beta_i}^2$

3. 縱距與橫距之非線性誤差傳播： 設邊長為 $S$、方位角為 $\phi$，縱距（Latitude）$\Delta N$ 與橫距（Departure）$\Delta E$ 定義為： $\Delta N = S \cos\phi, \quad \Delta E = S \sin\phi$ 利用一階泰勒級數線性化展開，可得誤差協方差傳播矩陣： $\Sigma_{\Delta N, \Delta E} = J \Sigma J^T$ 其中微商矩陣（雅可比矩陣）$J$ 為： $J = \begin{bmatrix} \frac{\partial \Delta N}{\partial S} & \frac{\partial \Delta N}{\partial \phi} \\ \frac{\partial \Delta E}{\partial S} & \frac{\partial \Delta E}{\partial \phi} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\phi & -S\sin\phi \\ \sin\phi & S\cos\phi \end{bmatrix}$ 觀測量協方差矩陣 $\Sigma$（距離與角度相互獨立，注意 $\sigma_\phi$ 須轉換為弧度）： $\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_S^2 & 0 \\ 0 & \sigma_\phi^2 \end{bmatrix}$ 展開後各分量為：

• 縱距方差：$\sigma_{\Delta N}^2 = \cos^2\phi \, \sigma_S^2 + S^2 \sin^2\phi \, \sigma_\phi^2$
• 橫距方差：$\sigma_{\Delta E}^2 = \sin^2\phi \, \sigma_S^2 + S^2 \cos^2\phi \, \sigma_\phi^2$
• 縱橫距協方差：$\sigma_{\Delta N \Delta E} = \sin\phi \cos\phi \left( \sigma_S^2 - S^2 \sigma_\phi^2 \right)$
• 相關係數：$\rho_{\Delta N \Delta E} = \frac{\sigma_{\Delta N \Delta E}}{\sigma_{\Delta N} \sigma_{\Delta E}}$

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解題方法

（一）繪出此開放導線略圖

1. 走向判斷：

• $AB$ 邊方位角為 $345^\circ16^\prime29^{\prime\prime}$，方向朝北偏西（西北走向）。
• 在 $B$ 點後視 $A$（反方位角 $\phi_{BA} \approx 165^\circ$），順時針旋轉觀測角 $\angle ABC = 98^\circ06^\prime59^{\prime\prime}$，前視 $C$ 之方位角約 $263^\circ$，方向朝西偏南（西南西走向）。
• 在 $C$ 點後視 $B$（反方位角 $\phi_{CB} \approx 83^\circ$），順時針旋轉觀測角 $\angle BCD = 85^\circ56^\prime57^{\prime\prime}$，前視 $D$ 之方位角約 $169^\circ$，方向朝南偏東（東南走向）。

2. 導線幾何略圖：

 北方 (N)
 ↑
 |
 B
 / \
 / \ ← 觀測角 ∠ABC = 98°06'59"
 / \
 φAB = 345°16'29" \
 / \
 / \
 A C (S_BC = 302.49 m)
 \
 \ ← 觀測角 ∠BCD = 85°56'57"
 \
 \
 D (S_CD = 254.32 m)

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（二）計算 $BC$、$CD$ 方位角及其中誤差

1. 計算 $BC$ 方位角 $\phi_{BC}$：

• $AB$ 之反方位角： $\phi_{BA} = \phi_{AB} - 180^\circ = 345^\circ16^\prime29^{\prime\prime} - 180^\circ = 165^\circ16^\prime29^{\prime\prime}$
• $BC$ 之方位角： $\phi_{BC} = \phi_{BA} + \angle ABC = 165^\circ16^\prime29^{\prime\prime} + 98^\circ06^\prime59^{\prime\prime} = 263^\circ23^\prime28^{\prime\prime}$

2. 計算 $BC$ 方位角中誤差 $\sigma_{\phi_{BC}}$：

• 依據獨立觀測量線性傳播： $\sigma_{\phi_{BC}} = \sqrt{\sigma_{\phi_{AB}}^2 + \sigma_{\angle ABC}^2} = \sqrt{(\pm 4.5^{\prime\prime})^2 + (\pm 2.8^{\prime\prime})^2} = \sqrt{20.25 + 7.84} = \sqrt{28.09} = \pm 5.3^{\prime\prime}$

3. 計算 $CD$ 方位角 $\phi_{CD}$：

• $BC$ 之反方位角： $\phi_{CB} = \phi_{BC} - 180^\circ = 263^\circ23^\prime28^{\prime\prime} - 180^\circ = 83^\circ23^\prime28^{\prime\prime}$
• $CD$ 之方位角： $\phi_{CD} = \phi_{CB} + \angle BCD = 83^\circ23^\prime28^{\prime\prime} + 85^\circ56^\prime57^{\prime\prime} = 169^\circ20^\prime25^{\prime\prime}$

4. 計算 $CD$ 方位角中誤差 $\sigma_{\phi_{CD}}$：

• 由於 $\phi_{CD}$ 是由 $\phi_{BC}$ 與獨立觀測角 $\angle BCD$ 組成： $\sigma_{\phi_{CD}} = \sqrt{\sigma_{\phi_{BC}}^2 + \sigma_{\angle BCD}^2} = \sqrt{28.09 + (\pm 2.6^{\prime\prime})^2} = \sqrt{28.09 + 6.76} = \sqrt{34.85} \approx \pm 5.9^{\prime\prime} \quad (\text{或 } \pm 5.90^{\prime\prime})$

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（三）計算 $BC$ 縱距與橫距之中誤差及相關係數

1. 基本觀測數值整理：

• 距離 $S = 302.49\ \mathrm{m}$，$\sigma_S = \pm 0.012\ \mathrm{m}$
• 方位角 $\phi = 263^\circ23^\prime28^{\prime\prime} \approx 263.391111^\circ$
• 方位角中誤差化為弧度：

核心觀念

本題屬於測量平差法中最經典的**間接觀測平差法（觀測方程式平差法）**在曲線擬合（Curve Fitting）上的實務應用，核心考點包含：

1. 觀測方程式的建構： 依題意，自變數 $X$ 視為無誤差之已知常數，觀測誤差僅存在於應變數 $Y$。觀測量之平差值 $\hat{Y}_i$ 與擬合參數（未知數）$a, b, c$ 滿足拋物線幾何關係： $\hat{Y}_i = Y_i + V_i = a X_i^2 + b X_i + c \implies V_i = a X_i^2 + b X_i + c - Y_i$ 其矩陣形式為 $V = A\hat{X} - L$。
2. 多餘觀測數（自由度）之定義與統計意義： 多餘觀測數 $r = n - u$（觀測個數扣除獨立未知數個數），為平差系統進行最小二乘解算、粗差偵測與後驗精度評估的根本指標。
3. 等權最小二乘平差解算： 在等權條件下（權矩陣 $P = I$），最小二乘目標為 $V^T V = \min$。

• 法方程式（Normal Equations）：$N \hat{X} = U$，其中 $N = A^T A$，$U = A^T L$。
• 參數平差值：$\hat{X} = N^{-1} U$。
• 權逆陣（Cofactor Matrix）：$Q_{\hat{X}\hat{X}} = N^{-1}$。
• 單位權中誤差（後驗標準差）：$\hat{\sigma}_0 = \sqrt{\frac{V^T V}{r}}$。
• 參數中誤差：$m_{\hat{X}_i} = \hat{\sigma}_0 \sqrt{Q_{ii}}$。

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解題方法

（一）列出觀測方程式

將各點坐標代入拋物線模型 $\hat{Y}_i = Y_i + V_i = a X_i^2 + b X_i + c$：

• $A$ 點 $(1.00, 5.02)$： $V_A = a(1.00)^2 + b(1.00) + c - 5.02 = a + b + c - 5.02$
• $B$ 點 $(2.00, 1.98)$： $V_B = a(2.00)^2 + b(2.00) + c - 1.98 = 4a + 2b + c - 1.98$
• $C$ 點 $(3.00, 3.01)$： $V_C = a(3.00)^2 + b(3.00) + c - 3.01 = 9a + 3b + c - 3.01$
• $D$ 點 $(4.00, 7.99)$： $V_D = a(4.00)^2 + b(4.00) + c - 7.99 = 16a + 4b + c - 7.99$

寫成標準矩陣形式 $V = A\hat{X} - L$： $\begin{bmatrix} V_A \\ V_B \\ V_C \\ V_D \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \\ 16 & 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 5.02 \\ 1.98 \\ 3.01 \\ 7.99 \end{bmatrix}$

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（二）說明此平差系統之多餘觀測數為何，以及多餘觀測數之意義

1. 多餘觀測數計算：

• 獨立觀測量數 $n = 4$（即 $Y_A, Y_B, Y_C, Y_D$ 四個觀測值）。
• 必要未知數（擬合參數）數 $u = 3$（即 $a, b, c$ 三個參數）。
• 多餘觀測數（Redundant Observations / 自由度 $df$）： $r = n - u = 4 - 3 = 1$

2. 多餘觀測數之意義：

• 平差處理之必要前提：當 $r = 0$ 時為幾何唯一解，系統無不符值；只有當 $r > 0$ 時，觀測值間存在幾何或物理矛盾，才有實施平差計算的必要，得以藉由最小二乘法求得最佳無偏估計值。
• 檢核與粗差偵測能力：多餘觀測提供了幾何條件約束與內部自我校核的能力，使平差系統具備檢驗觀測量品質、偵測與定位粗差（Blunder Detection）之可靠性基礎。
• 後驗精度評估的基準：多餘觀測數代表統計上的自由度，作為計算單位權中誤差分母之依據（$\hat{\sigma}_0 = \sqrt{\frac{V^T P V}{r}}$），決定了參數估計值之後驗精度與統計檢定的可信度。

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（三）在觀測量視為等權情形下，計算擬合參數 $a$、$b$、$c$ 之值及其中誤差

在等權條件下，權矩陣 $P = I_4$。

步驟 1：組構法方程式之係數矩陣 $N$ 與常數向量 $U$

係數矩陣 $A$ 與觀測向量 $L$： $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \\ 16 & 4 & 1 \end{bmatrix}, \quad L = \begin{bmatrix} 5.02 \\ 1.98 \\ 3.01 \\ 7.99 \end{bmatrix}$

計算法係數矩陣 $N = A^T A$： $N_{11} = 1^2 + 4^2 + 9^2 + 16^2 = 1 + 16 + 81 + 256 = 354$ $N_{12} = N_{21} = 1(1) + 4(2) + 9(3) + 16(4) = 1 + 8 + 27 + 64 = 100$ $N_{13} = N_{31} = 1(1) + 4(1) + 9(1) + 16(1) = 1 + 4 + 9 + 16 = 30$ $N_{22} = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30$ $N_{23} = N_{32} = 1(1) + 2(1) + 3(1) + 4(1) = 10$ $N_{33} = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$

得： $N = \begin{bmatrix} 354 & 100 & 30 \\ 100 & 30 & 10 \\ 30 & 10 & 4 \end{bmatrix}$

計算常數向量 $U = A^T L$： $U_1 = 1(5.02) + 4(1.98) + 9(3.01) + 16(7.99) = 5.02 + 7.92 + 27.09 + 127.84 = 167.87$ $U_2 = 1(5.02) + 2(1.98) + 3(3.01) + 4(7.99) = 5.02 + 3.96 + 9.03 + 31.96 = 49.97$ $U_3 = 1(5.02) + 1(1.98) + 1(3.01) + 1(7.99) = 5.02 + 1.98 + 3.01 + 7.99 = 18.00$

得： $U = \begin{bmatrix} 167.87 \\ 49.97 \\ 18.00 \end{bmatrix}$

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步驟 2：求權逆陣 $Q_{\hat{X}\hat{X}} = N^{-1}$

計算矩陣 $N$ 之行列式 $\det(N)$： $\det(N) = 354(30 \times 4 - 10 \times 10) - 100(100 \times 4 - 10 \times 30) + 30(100 \times 10 - 30 \times 30)$ $\det(N) = 354(20) - 100(100) + 30(100) = 7080 - 10000 + 3000 = 80$

計算各代數餘子式組成伴隨矩陣 $\text{adj}(N)$：

• $C_{11} = 30(4) - 10(10) = 20$
• $C_{12} = -(100 \times 4 - 30 \times 10) = -100$
• $C_{13} = 100(10) - 30(30) = 100$
• $C_{22} = 354(4) - 30(30) = 1416 - 900 = 516$
• $C_{23} = -(354 \times 10 - 100 \times 30) = -540$
• $C_{33} = 354(30) - 100(100) = 10620 - 10000 = 620$