109 高普考高考三級 測量製圖 測量平差法（包括誤差理論及實務） 考古題詳解

核心觀念

本題考查測量平差法中最基礎且最重要的**間接觀測平差（Gauss-Markov 模型 / 觀測方程式法）之矩陣推導與協變方傳播定律（Law of Propagation of Covariances）**的應用。

1. 基本模型與符號維度：

• 觀測方程式：$V = AX - L$。
• 觀測量個數為 $n$，未知數個數為 $u$（多餘觀測數 / 自由度 $r = n - u$）。
• $V$ 為 $n \times 1$ 殘差向量（Residual vector）。
• $A$ 為 $n \times u$ 設計矩陣（Design matrix），假設為滿行秩 $\operatorname{rank}(A) = u$。
• $X$ 為 $u \times 1$ 未知參數向量（Parameter vector）。
• $L$ 為 $n \times 1$ 觀測量向量（Observation vector）。
• $\Sigma$（即 $\Sigma_L$）為 $n \times n$ 觀測量協變方矩陣（對稱正定）。

2. 權矩陣（Weight Matrix）定義： 依平差理論，權矩陣 $P$ 與協變方矩陣 $\Sigma$ 之關係為： $P = \sigma_0^2 \Sigma^{-1}$ 其中 $\sigma_0^2$ 為先驗單位權變方（A priori reference variance）。若令先驗單位權變方 $\sigma_0^2 = 1$，則 $P = \Sigma^{-1}$。
3. 最小二乘平差準則： 使加權殘差二次型最小化，即目標函數： $\Phi = V^T P V \to \min$
4. 協變方傳播定律： 若隨機向量 $Y$ 與 $L$ 存在線性關係 $Y = C L + c$（其中 $C$ 為常數矩陣，$c$ 為常數向量），則 $Y$ 之協變方矩陣為： $\Sigma_Y = C \Sigma_L C^T$

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解題方法

(一) 未知數 $X$ 之最小二乘解及 $X$ 之協變方矩陣

1. 推導未知數 $X$ 之最小二乘解 將觀測方程式 $V = AX - L$ 代入最小二乘目標函數： $\Phi(X) = (AX - L)^T P (AX - L) = X^T A^T P A X - 2 X^T A^T P L + L^T P L$

對未知數向量 $X$ 微分並令其為零向量，以求極小值： $\frac{\partial \Phi}{\partial X} = 2 A^T P A X - 2 A^T P L = 0$

整理得法方程式（Normal Equations）： $(A^T P A) X = A^T P L$

令法方程式係數矩陣 $N = A^T P A$。因 $\operatorname{rank}(A) = u$，$N$ 為 $u \times u$ 之對稱可逆矩陣。兩邊左乘 $N^{-1}$，得未知數之最小二乘解 $\hat{X}$： $\hat{X} = (A^T P A)^{-1} A^T P L$

將 $P = \sigma_0^2 \Sigma^{-1}$ 代入（$\sigma_0^2$ 在分子分母相消），直接以題目給定之協變方矩陣 $\Sigma$ 表示為： $\hat{X} = (A^T \Sigma^{-1} A)^{-1} A^T \Sigma^{-1} L$

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2. 推導未知數 $X$ 之協變方矩陣 $\Sigma_{\hat{X}}$ 令線性轉換矩陣 $J_X = (A^T \Sigma^{-1} A)^{-1} A^T \Sigma^{-1}$，則 $\hat{X} = J_X L$。 依據協變方傳播定律 $\Sigma_{\hat{X}} = J_X \Sigma J_X^T$： $\Sigma_{\hat{X}} = \left[ (A^T \Sigma^{-1} A)^{-1} A^T \Sigma^{-1} \right] \Sigma \left[ (A^T \Sigma^{-1} A)^{-1} A^T \Sigma^{-1} \right]^T$

由於 $\Sigma$ 與 $(A^T \Sigma^{-1} A)^{-1}$ 均為對稱矩陣，展開轉置項： $\Sigma_{\hat{X}} = (A^T \Sigma^{-1} A)^{-1} A^T \Sigma^{-1} \Sigma \Sigma^{-1} A (A^T \Sigma^{-1} A)^{-1}$

利用 $\Sigma^{-1} \Sigma = I$ 進行化簡： $\Sigma_{\hat{X}} = (A^T \Sigma^{-1} A)^{-1} \left( A^T \Sigma^{-1} A \right) (A^T \Sigma^{-1} A)^{-1} = (A^T \Sigma^{-1} A)^{-1}$

若以權矩陣 $P$ 及先驗單位權變方 $\sigma_0^2$ 表示，則為： $\Sigma_{\hat{X}} = \sigma_0^2 (A^T P A)^{-1} = \sigma_0^2 N^{-1}$

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(二) 殘差 $V$ 之協變方矩陣 $\Sigma_V$

1. 將殘差 $V$ 表示為觀測量 $L$ 之線性函數 將平差後未知數解 $\hat{X} = (A^T \Sigma^{-1} A)^{-1} A^T \Sigma^{-1} L$ 代回殘差方程式： $V = A \hat{X} - L = A (A^T \Sigma^{-1} A)^{-1} A^T \Sigma^{-1} L - L$

提出觀測向量 $L$： $V = \left[ A (A^T \Sigma^{-1} A)^{-1} A^T \Sigma^{-1} - I \right] L = -(I - H) L$

其中定義投影矩陣（Hat Matrix） $H$ 為： $H = A (A^T \Sigma^{-1} A)^{-1} A^T \Sigma^{-1}$

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核心觀念

本題旨在評量考生對非線性函數之誤差傳播定律（Law of Error Propagation）與坐標幾何隨機模型的掌握程度。核心觀念與公式包含：

1. 坐標平移的隨機性質：常數平移（剛體平移）不改變隨機變數的離散程度與共變性，故平移前後坐標分量的標準偏差維持不變。
2. 兩點間距離函數：設兩點坐標分別為 $A(X_A, Y_A)$ 與 $B(X_B, Y_B)$，平面距離 $S$ 為： $S = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2}$
3. 誤差傳播定律（矩陣形式與代數形式）： 若 $Y = f(X_1, X_2, \dots, X_n)$，且各觀測量相互獨立（不相關），則函數之方差為： $\sigma_Y^2 = \sum_{i=1}^n \left(\frac{\partial f}{\partial X_i}\right)^2 \sigma_{X_i}^2$ 矩陣表示法為： $\Sigma_{YY} = J \Sigma_{XX} J^T$ 其中 $J$ 為一階偏導數組成的雅可比矩陣（Jacobian Matrix），$\Sigma_{XX}$ 為觀測量之共變方矩陣。

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解題方法

步驟一：建立隨機模型（共變方矩陣）

GPS 測得兩點之 4 個坐標分量 $X = \begin{bmatrix} X_A & Y_A & X_B & Y_B \end{bmatrix}^T$。 題目給定各分量標準偏差均為 $\sigma = 0.02\ \mathrm{m}$，且彼此不相關（共變量為 0）：

$$\Sigma_{XX} = \begin{bmatrix} \sigma^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \sigma^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sigma^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \sigma^2 \end{bmatrix} = \sigma^2 I_4$$

步驟二：建立函數模型並計算偏導數

距離公式為： $S = \sqrt{(X_B - X_A)^2 + (Y_B - Y_A)^2}$

依題意，平移後坐標為 $A(0, 0)\ \mathrm{m}$、$B(50, 50)\ \mathrm{m}$：

• 坐標差：$\Delta X = X_B - X_A = 50 - 0 = 50\ \mathrm{m}$
• 坐標差：$\Delta Y = Y_B - Y_A = 50 - 0 = 50\ \mathrm{m}$
• 距離長度：$S = \sqrt{50^2 + 50^2} = 50\sqrt{2}\ \mathrm{m}$

對各坐標分量求一階偏導數： $\frac{\partial S}{\partial X_A} = -\frac{X_B - X_A}{S} = -\frac{50}{50\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{\partial S}{\partial Y_A} = -\frac{Y_B - Y_A}{S} = -\frac{50}{50\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{\partial S}{\partial X_B} = \frac{X_B - X_A}{S} = \frac{50}{50\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ $\frac{\partial S}{\partial Y_B} = \frac{Y_B - Y_A}{S} = \frac{50}{50\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

雅可比矩陣為： $J = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$

步驟三：套用誤差傳播定律求解標準偏差

將偏導數與共變方矩陣代入誤差傳播公式：

核心觀念

本題考查測量平差法中**條件平差模式（Condition Adjustment Model）**的基本原理與計算，涉及之核心概念包括：

1. 多餘觀測數（自由度 $r$）： $r = n - n_0$ 其中 $n$ 為觀測量個數，$n_0$ 為決定幾何模型所需之必要觀測量個數。本題有 3 個高程差觀測值（$n = 3$），欲決定 3 個點之相對高程僅需 2 個獨立高程差（$n_0 = 2$），故多餘觀測數 $r = 3 - 2 = 1$，僅需列出 1 個獨立條件式。
2. 水準閉合環之幾何條件： 水準測量自某點出發繞行一周回到原點，高程差之真值代數和必等於零，即平差值滿足閉合條件： $\sum \hat{h} = 0$
3. 觀測值與殘差之數學關係： 令平差值向量為 $\hat{L}$、觀測值向量為 $L$、殘差向量為 $V$，其基本關係式為： $\hat{L} = L + V$
4. 權矩陣（Weight Matrix）： 水準測量中高程差之方差與測段距離成正比（$\sigma_i^2 \propto S_i$），權與距離成反比（$P_i \propto \frac{1}{S_i}$）。題目明確給定 A、B、C 三點距離相同，故各觀測量之權相等，權矩陣為單位矩陣 $P = I$。

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解題方法

(一) 列出條件平差之條件式（10 分）

1. 定義觀測量與殘差符號：

• 觀測值向量： $L = \begin{bmatrix} h_{AB} \\ h_{BC} \\ h_{CA} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10.2142 \\ 5.3191 \\ -15.5330 \end{bmatrix}\ \mathrm{m}$
• 殘差向量： $V = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_{AB} \\ v_{BC} \\ v_{CA} \end{bmatrix}$
• 平差值向量： $\hat{L} = L + V = \begin{bmatrix} h_{AB} + v_1 \\ h_{BC} + v_2 \\ h_{CA} + v_3 \end{bmatrix}$

2. 建立閉合環之幾何條件方程式： 依題意，水準路線為閉合環路 $A \to B \to C \to A$： $(H_B - H_A) + (H_C - H_B) + (H_A - H_C) = 0$ 因此平差值必須嚴格滿足： $\hat{h}_{AB} + \hat{h}_{BC} + \hat{h}_{CA} = 0$

3. 代入觀測值與殘差： $(h_{AB} + v_1) + (h_{BC} + v_2) + (h_{CA} + v_3) = 0$ 整理成條件平差之標準形式： $v_1 + v_2 + v_3 + (h_{AB} + h_{BC} + h_{CA}) = 0$

4. 計算閉合差 $w$： $w = h_{AB} + h_{BC} + h_{CA} = 10.2142 + 5.3191 + (-15.5330) = +0.0003\ \mathrm{m} = +0.3\ \mathrm{mm}$

5. 條件平差之條件式：

• 代數形式： $v_1 + v_2 + v_3 + 0.0003 = 0\quad (\text{單位：}\mathrm{m})$
• 矩陣形式（$AV + W = 0$）： $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{bmatrix} + [0.0003] = 0$ 其中條件係數矩陣 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$，閉合差常數項 $W = [0.0003]\ \mathrm{m}$。

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(二) 解出 3 個高程觀測量之殘差（15 分）

1. 最小二乘平差準則與目標函數： 依最小二乘原理，平差目標為： $\Phi = V^T P V = \text{極小值}$ 因各測段距離相同，權矩陣取為單位矩陣 $P = I_{3 \times 3}$。 引入拉格朗日聯繫數（Lagrange Multiplier）向量 $K$（本題為 $1 \times 1$ 之純量 $k$），建立輔助目標函數：

核心觀念

本題旨在測驗二維平差定位成果之「平面點位精度評定」與「統計推論」理論，核心觀念包含：

1. 二維常態分佈與幾何誤差表徵：平面點位座標 $(x, y)$ 為一隨機向量，其誤差性質由對稱的二階變方－協變方矩陣（Variance-Covariance Matrix）$\boldsymbol{\Sigma}_{xy}$ 所界定。由於兩座標分量通常存在相關性（$\sigma_{xy} \neq 0$），單純以單軸標準差無法完整描述點位不確定度，須藉由主軸旋轉轉換為幾何橢圓。
2. 標準誤差橢圓（Standard Error Ellipse）：變方－協變方矩陣特徵值與特徵向量之幾何展現，代表點位在平面各方位之標準不確定度，其尺度係數固定為 $k=1$，對應二維常態分佈之機率固定為 $39.35\%$。
3. 信心橢圓（Confidence Ellipse）：在預先指定的信心水準（Confidence Level, $1-\alpha$）下，點位真值所落入之平面機率區域。若先驗單位權中誤差已知，採用 $\chi^2$（卡方）分佈求得放大倍率；若由平差樣本估計（未知），則採用 $F$（費雪）分佈求得放大倍率。

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解題方法

本題為申論與比較題型，解題切入點如下：

• 第 (一) 子題：先定義二維座標隨機向量及其共變方矩陣，推導等機率密度橢圓方程式；接續列出三項關鍵幾何要素（半長軸 $a$、半短軸 $b$、方位角 $\theta$）之解析公式，並明確說明其統計包含機率（$39.35\%$）。
• 第 (二) 子題：以系統化的維度（定義本質、包含機率、尺度放大因子、幾何形態關係、工程實務應用）逐一對比二者，並以對照表強化結構，清楚展現「信心橢圓即為誤差橢圓依統計檢定分佈放大或縮小之相似橢圓」。

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解題技巧

1. 機率數值陷阱：一維常態分佈之 $1\sigma$ 區間包含機率為 $68.27\%$；但二維平面點位之標準誤差橢圓（$k=1$）自由度為 2，其累積機率為 $1 - e^{-1/2} \approx 39.35\%$，切勿誤答為 $68.3\%$。
2. 母體 vs. 樣本之檢定統計量選擇：

• 單位權標準差 $\sigma_0$ 已知時，信心橢圓擴充因子為 $c = \sqrt{\chi^2_{2, 1-\alpha}}$。
• 單位權中誤差 $\hat{\sigma}_0$ 由平差殘差估計（自由度 $r$）時，擴充因子為 $c = \sqrt{2 F_{2, r, 1-\alpha}}$。

3. 同心相似性：信心橢圓與誤差橢圓的主軸方向（長軸方位角 $\theta$）完全一致、長短軸比例（扁平比 $a/b$）完全相等，兩者幾何上為同心、同方向之相似形。

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【答案】

(一) 一平面點之誤差橢圓（Error Ellipse）

1. 定義與數學模型 在二維平面測量平差中，待定點之座標平差值 $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$ 為二維隨機變數，其離散程度由變方－協變方矩陣（Variance-Covariance Matrix）界定： $\boldsymbol{\Sigma}_{xy} = \begin{bmatrix} \sigma_x^2 & \sigma_{xy} \\ \sigma_{xy} & \sigma_y^2 \end{bmatrix}$ 假設點位誤差服從二維常態分佈，其等機率密度分佈之二次式為： $(\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})^T \boldsymbol{\Sigma}_{xy}^{-1} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu}) = k^2$ 展開可得平面橢圓方程式： $\frac{\sigma_y^2}{\det(\boldsymbol{\Sigma}_{xy})} (x - \mu_x)^2 - \frac{2\sigma_{xy}}{\det(\boldsymbol{\Sigma}_{xy})} (x - \mu_x)(y - \mu_y) + \frac{\sigma_x^2}{\det(\boldsymbol{\Sigma}_{xy})} (y - \mu_y)^2 = k^2$ 當尺度係數取 $k=1$ 時，此幾何圖形即稱為一平面點之標準誤差橢圓（Standard Error Ellipse）。它代表以平差座標為中心，點位在各不同方位角上標準誤差（$1\sigma$）連續變化的幾何軌跡。

2. 幾何參數要素 標準誤差橢圓完全由下列三個參數決定（幾何長短軸平方分別對應矩陣 $\boldsymbol{\Sigma}_{xy}$ 之兩特徵值 $\lambda_1, \lambda_2$）：

• 半長軸（最大標準誤差）$a$： $a = \sqrt{\frac{1}{2}\left( \sigma_x^2 + \sigma_y^2 + \sqrt{(\sigma_x^2 - \sigma_y^2)^2 + 4\sigma_{xy}^2} \right)}$
• 半短軸（最小標準誤差）$b$：