109 高普考高考三級 測量製圖 測量學（包括地籍測量） 考古題詳解

核心觀念

自由測站法是測量時不必把儀器架設在已知控制點上，而是在通視良好的位置任意設站，以測站為局部坐標原點、選定一方向為局部坐標軸，觀測周邊測點的方向角與距離，先計算各點的局部坐標，再利用共同點把不同測站的局部坐標系轉換到同一全區坐標系。

本題的關鍵是：**各測站的局部坐標系原點與方向不同，不能直接拼接坐標；必須以各站共同觀測的點求出坐標轉換參數。**若全區坐標系尚未由已知控制點定向、定位，則測區只能建立相對坐標網，須另指定原點與方向作為基準。

解題方法與完整轉換流程

一、各測站建立局部坐標並觀測

在測站 $S_1、S_2$ 任意架設全測站儀，分別以儀器中心作為該站局部坐標原點，並設定各站的局部坐標軸。觀測周邊點的水平距離與方向角，將極坐標換算為直角坐標。

若局部方向角 $\alpha$ 自局部 $x$ 軸起算，水平距離為 $s$，則：

因此，同一地面點在 $S_1、S_2$ 的局部坐標通常不同。

二、選取共同點連接兩個局部坐標系

在兩站都能觀測到的範圍內，選取若干共同點，例如 $P_1、P_2、P_3$。每個共同點均須有：

• 在第一測站局部坐標系中的坐標 $(x_i,y_i)$；
• 在第二測站局部坐標系中的坐標 $(u_i,v_i)$。

共同點數量至少須足以解算所採用的轉換參數；實務上應使用三點以上，且盡量分布於測區不同位置，以增加冗餘並檢核觀測誤差。

 P1 ●────────● P2
 \ / \
 \ / \
 S1 ●──────● P3 ● S2
 局部系 1 局部系 2

 各站各自觀測周邊點；P1、P2、P3 為共同點
 以共同點求轉換參數，將局部坐標接入全區坐標系

三、用共同點求坐標轉換參數

平面坐標通常採二維相似轉換，參數包括平移、旋轉與尺度。令第二測站局部坐標為 $(u_i,v_i)$，對應全區坐標為 $(X_i,Y_i)$，則：

其中 $T_X、T_Y$ 為平移量；$a=m\cos\theta$、$b=m\sin\theta$；$m$ 為尺度因子，$\theta$ 為旋轉角。將各共同點坐標代入，可寫成線性方程：

核心觀念

本題旨在測驗考生對於我國現代化大地測量基礎設施——「連續運作衛星基準站」（Continuously Operating Reference Stations, CORS）與「網形即時動態定位」（Network RTK, N-RTK）技術整合應用之理解，以及對主管機關內政部國土測繪中心（NLSC）現行國家級定位服務能量的熟悉度。

主要涉及觀念包括：

1. 網形即時動態定位（Network RTK）技術：利用多個均勻分布的 CORS 站網，集中解算電離層延遲、對流層延遲與衛星軌道誤差等「距離相關誤差」（Distance-dependent errors），藉由伺服器端產生「虛擬基準站」（Virtual Reference Station, VRS）或面修正參數（FKP），克服傳統單一基準站 RTK 作業距離受限（一般小於 $10 \sim 15\text{ km}$）之瓶頸。
2. 通訊與傳輸標準：利用網際網路與行動通訊（4G/5G），透過 NTRIP（Networked Transport of RTCM via Internet Protocol）協定傳送使用者概略位置（NMEA-0183

核心觀念

本題考查全測站以極座標法進行界址點測量與放樣：先由已知控制點坐標反算基準方位角，再將實測的水平角與水平距離換算成坐標增量。

以下採臺灣平面坐標常用定義：$X$ 軸向東、$Y$ 軸向北；坐標方位角自北方起順時針量至測線，範圍為 $0^\circ$ 至 $360^\circ$。因此，方位角為 $\alpha$、水平距離為 $S$ 時：

題目沒有提供實際觀測值，因此以符號表示所需數據並完整列出計算式。

示意圖

 北（+Y）
 ↑
 │
 A ● │
 ╲ │
 ╲ │ BA 為後視方向
 ╲│
 ● B ─────→ +X（東）
 ╲
 ╲ β（自 BA 順時針量）
 ╲
 ● C

（一）求界址點 C 坐標

觀測數據與方位角

以 $B$ 為測站、$A$ 為後視點。設全測站觀測：

• $\beta$：自後視方向 $BA$ 順時針至 $BC$ 的水平角；
• $S_{BC}$：$B$ 至 $C$ 的水平距離。

先由已知坐標求 $BA$ 的坐標增量：

其方位角為：

將結果化為 $0^\circ$ 至 $360^\circ$。此處 $\operatorname{atan2}$ 的引數次序，是依「自北順時針」的方位角定義；若採電算器或軟體計算，須確認其角度定義與引數次序。

水平角 $\beta$ 自 $BA$ 順時針量至 $BC$，故：

坐標正算

由方位角及水平距離計算 $BC$ 的坐標增量：

因此 $C$ 點坐標為：

若全測站取得的是斜距 $s$，且垂直角 $v$ 是由水平面起算，先換算水平距離 $S_{BC}=s\cos v$；若觀測的是天頂距 $z$，則 $S_{BC}=s\sin z$。坐標計算應使用水平距離。

（二）於 A 點以極坐標方式放樣 D 點

已知 $A、B、D$ 坐標，於 $A$ 架設全測站、以 $B$ 定向，計算放樣所需的水平角與水平距離。

計算放樣距離與方位角

先求 $AB$ 與 $AD$ 的坐標增量：

核心觀念

本題考水準儀的視準軸誤差檢驗與校正。儀器整平後，視準軸應為水平線；若視準軸與水平線夾角為 $i$，視線距離為 $D$ 時，水準尺讀數會產生約 $D\tan i$ 的誤差，距離越遠，誤差越大。

檢驗採用兩樁法（雙尺法）：先將儀器置於兩水準尺中間，利用等距觀測使視準軸誤差互相抵消，求得兩點的正確高差；再將儀器移近其中一尺，長短視距造成的讀數差異即可顯示視準軸誤差。

檢驗方法與計算

在穩固地面選定相距 $L$ 的兩點 $A、B$，各豎立一支水準尺。先檢查儀器及水準尺狀況，消除視差，並使儀器整平、補償器穩定。

第一次：儀器設於中點，兩視距相等

水準尺 A 儀器 I 水準尺 B
 |<---- d ---->|<---- d ---->|

第二次：儀器移近 A，仍觀測 A、B

水準尺 A 儀器 I' 水準尺 B
 |<- dA ->|<------------- dB ------------->|

**第一次在中點觀測：**讀取 $A、B$ 尺讀數 $a_1、b_1$。因兩視距相等，視準軸誤差對兩讀數的影響相同，故兩點高差可由下式求得：

這裡 $H_{AB}$ 定義為 $A、B$ 點高程差 $H_A-H_B$。

**第二次移近 $A$ 觀測：**儀器移至靠近 $A$ 處，讀取 $a_2、b_2$，並量得儀器至兩尺的視距 $d_A、d_B$。第二次讀得的高差為 $a_2-b_2$，與第一次正確高差的差值為：

這是兩視距不等所造成的差值。依視準軸傾斜造成的讀數誤差與視距成正比：

核心觀念

本題測驗「國家坐標系統」之法定定義與大地測量基礎架構。 依據《國土測繪法》第 4 條規定，我國國家坐標系統由中央主管機關（內政部）公告。本題以命題當年（民國 109 年）內政部公告之法規與技術標準為準（現行法已由內政部滾動推動 TWD97[2020] 框架，但基礎定義、橢球幾何參數與二度分帶投影規則均維持一致）。

完整定義一個大地坐標系統，必須涵蓋三大核心領域：

1. 參考橢球體（Reference Ellipsoid）：定義地球的幾何大小與形狀。
2. 大地基準與參考框架（Geodetic Datum & Reference Frame）：定義幾何中心位置、空間指向軸向及對應之國際曆元（Epoch）。
3. 地圖投影（Map Projection）：定義將三維橢球球面轉化為二維平面直角坐標的投影方式與參數。

解題方法

本題為標準的觀念法規型申論題，解答切入點採「四部架構法」展開：

1. 大地基準與空間原點：說明其所屬之國際框架（ITRF）與地心原點定位。
2. 參考橢球體幾何參數：寫出 GRS80 之長半徑 $a$ 與扁率倒數 $1/f$ 數值。
3. 二度分帶地圖投影（TM2）：寫出投影名稱、中央經線、尺度比與原點坐標平移值。
4. 高程系統之銜接：補充說明其配合之法定幾何與正高系統（TWVD2001）。

申論答題首重「關鍵數據完全命中」與「法規條理分明」，數值不可模糊帶過。

選項分析

本題為申論題，無個別選擇題選項。依閱卷評分標準，將考生最常出現之概念混淆與替代錯誤進行對照剖析：

• 參考橢球體混淆：
• 正確：採用 GRS80 橢球（$a = 6,378,137\text{ m}$，$1/f = 298.257222101$）。
• 常見錯誤：誤填舊國家坐標系統 TWD67 所採用之赫爾蒙特（Hayford）橢球（$a = 6,378,388\text{ m}$，$1/f = 297$），或誤將 GPS 的 WGS84 橢球數值（$1/f = 298.257223563$）視為完全等同。
• 投影縮放比率混淆：
• 正確：二度分帶橫麥卡托投影（TM2）之中央經線尺度因子為 $k_0 = 0.9999$。
• 常見錯誤：誤填世界橫麥卡托投影（UTM，六度分帶）之 $k_0 = 0.9996$。
• 橫坐標西移平移量混淆：
• 正確：二度分帶之橫坐標西移 $250,000\text{ m}$（即原點橫坐標加上 $250,000\text{ m}$）。
• 常見錯誤：誤記為 UTM 系統之西移 $500,000\text{ m}$。
• 中央經線設定混淆：
• 正確：台灣本島、澎湖群島為東經 $121^\circ$；金門、馬祖為東經 $119^\circ$。
• 常見錯誤：漏寫金門、馬祖之中央經線（$119^\circ\text{ E}$），僅列台灣本島。

解題技巧

1. 審題關鍵字聯想：看見「TWD97 定義」，腦中應立即浮現四大記憶要素——「GRS80」、「ITRF 地心」、「TM2（$0.9999$ / $250,000$）」、「$121^\circ / 119^\circ$」。