112 高普考高考三級 測量製圖 測量學（包括地籍測量） 考古題詳解

核心觀念

本題旨在測驗重大跨海橋梁工程中，建構與連貫兩離島高程控制系統之「工程大地測量」核心技術。依據《基本測量實施規則》（以命題當年民國 112 年法規為準）及幾何大地測量學理論，主要涵蓋下列核心觀念：

1. 高程系統定義與基準轉換：

• 物理高程（正高 $H$）與幾何高程（橢球高 $h$）之轉換關係式： $h = H + N \iff \Delta H = \Delta h - \Delta N$ 其中 $N$ 為大地水準面起伏（Geoidal Undulation），$\Delta N$ 為兩端點間之大地水準面起伏差。

2. 直接（逐差）水準測量原理與誤差傳播：

• 利用水準儀提供之水平視線累加前後視高差：$\Delta H = \sum (BS - FS)$。
• 誤差來源含儀器視準軸誤差（$i$ 角）、地球曲率與大氣折光誤差（球氣差）、轉點沉陷及橋體受日照、風載、潮汐產生之動態微幅變形。

3. GNSS 空間高程測量：

• 藉由衛星載波相位靜態相對定位求解基線之三維空間坐標差，推導大地高差 $\Delta h$。
• 垂直分量幾何精度弱勢（VDOP > HDOP）、對流層延遲誤差（特別是海面濕延遲）、天線相位中心偏差（PCO/PCV）、多路徑效應（海面與鋼構反射）以及大地水準面模型解析度與精度限制。

4. 配合導線之三角高程測量：

• 利用全站儀觀測斜距 $S$ 與天頂距 $Z$（或垂直角 $\alpha$）： $\Delta h = S \cdot \cos Z + i - t + \frac{1-k}{2R} (S \cdot \sin Z)^2$ 其中 $i$ 為儀高、$t$ 為覘標高、$k$ 為大氣折光係數（海面常態約 $0.14$ 但極度不穩定）、$R$ 為地球平均曲率半徑。
• 雙向同時對向觀測（Reciprocal Simultaneous Observation）消除球氣差之數學機制。

---

解題方法

本題為評估金門大橋（長 5.41 公里、最大跨徑約 200 公尺）跨海高程連貫之工程實務申論題。解題切入點採「四維結構法」分別對三種技術深入剖析：

1. 理論基礎與數學幾何模型（原理）。
2. 主導誤差源及其傳播特性（誤差特性，特別著重長大跨海橋梁之海風、海面折光、橋體撓度動態震動等嚴苛環境）。
3. 作業方式規劃（網形設計、測站配置、線路規劃）。
4. 精度控制與消錯對策（施測要點，落實「消除系統誤差、削弱隨機誤差」的規範化作業）。

---

解題技巧

1. 鎖定特殊工程情境：金門大橋跨海長達 5.41 公里、跨徑達 200 公尺，非陸地常規水準作業。作答時必須緊扣「海面強烈溫濕梯度造成的劇烈大氣折光」、「行車與海潮造成的橋體連續動態沉陷與共振」等關鍵工況，切忌通篇僅默寫一般教科書定義。
2. 關鍵專業名詞必須精準：例如「$i$ 角前後視距等長對稱抵消」、「雙向同時對向觀測」、「雙頻扼流圈（Choke Ring）天線」、「對流層天頂延遲（ZTD）建模」、「幾何大地水準面起伏擬合（GNSS Levelling）」。
3. 善用幾何關係式佐證：適度寫出 $\Delta H = \Delta h - \Delta N$ 與球氣差消除公式，展現計算理論深度。

---

【答案】

針對金門大橋（全長 5.41 公里，最大跨徑約 200 公尺）跨海聯通大金門與烈嶼（小金門）之高程控制系統，三種施測技術之原理、誤差特性、作業方式規劃與降低誤差之施測要點詳述如下：

一、直接（逐差）水準測量方式

1. 原理

直接水準測量係利用精密水準儀提供之水平視線，於測站前後兩點垂直豎立之精密水準標尺（銦鋼尺）上讀數，取其後視讀數（$BS$）與前視讀數（$FS$）之差值求得各測站高差 $\Delta h_i = BS_i - FS_i$。沿大橋橋面自大金門端逐站連續向前推展至烈嶼端，兩島間總高差為各測站高差之代數和： $\Delta H = \sum_{i=1}^{n} (BS_i - FS_i)$ 此方法可直接測得正高系統（Orthometric Height System）之物理高差，無須透過大地水準面模型換算。

2. 誤差特性

• 系統誤差：
• 視準軸誤差（$i$ 角）：若視準軸與水準軸不平行，視線傾斜將隨視距成正比產生偏差。
• 球氣差：地球曲率及大氣折光引起之讀數偏差，其量值正比於視距平方（$\propto D^2$）。橋面受日照受熱不均及海面強烈水氣蒸發影響，垂直方向空氣密度梯度極不穩定，易產生異常大氣折光與視線抖動。
• 標尺誤差：包含標尺刻劃不均勻、溫度熱脹冷縮及兩支水準尺零點差。
• 隨機誤差與動態干擾：
• 橋體動態變形與震動：5.41 公里之長跨鋼構與混凝土橋梁，在風載、海潮湧浪及車流通行下，主梁產生不可忽略之撓曲、扭轉與高頻震動，造成水準儀補償器晃動與轉點（尺墊）瞬時沉陷。

3. 作業方式規劃

• 線路與分段：自大金門端既有一等/二等水準點起測，沿橋面人行道或工程預留之剛性定位帶布設雙程（往返）水準路線，跨越 5.41 公里至烈嶼端既有水準點閉合。
• 網形附合檢核：於橋台、各主要橋墩墩頂及索塔基礎等結構變形最小之節點設置半永久性監測水準點，構成骨幹檢核節點。
• 儀器配備：採用精密數位電子水準儀（標稱精度 $\le 0.3\text{ mm/km}$）搭配一體成型銦鋼條碼水準尺（Invar Staff）。

4. 降低誤差之施測要點

• 嚴格控制前後視距等長：每站前後視距差嚴格限制在 $\le 0.5\sim 1.0\text{ m}$，全線累積視距差限制在 $\le 2.0\text{ m}$，徹底對稱抵消儀器殘餘 $i$ 角與球氣差之主要項。
• 縮短單站視距：一般路段視距控制在 $30\sim 40\text{ m}$；最大跨徑（200 m）路段將測站設於跨中，維持前、後視距各約 100 m，減少視線貼近橋面之強折光層。
• 選擇適宜天候時段與交通管制：嚴禁於正午強烈日照及大風天候下施測；規劃於夜間（午夜至清晨）或陰天無風且實施短暫交通封閉管制時段觀測，避開熱輻射折光與車載動態擾動。
• 採用對稱觀測序列與專用轉點具：採「後－前－前－後」（BFFB）觀測順序消除儀器零點及沉陷線性變化；轉點尺墊須使用重型金屬尺墊，或於橋面防撞護欄頂部剛性錨固點架設專用球頭螺栓作為臨時轉點，防止轉點沉降。

---

二、全球導航衛星系統（GNSS）測量方式

1. 原理

利用架設於大金門端、烈嶼端以及橋塔/橋體固定基座之多台雙頻/多頻 GNSS 接收儀，接收 GPS、GLONASS、Galileo、BDS 等衛星載波相位訊號。

核心觀念

本題承接測量高程作業之前題，核心探討三種經典高程測量技術——幾何水準測量（Direct/Geometric Leveling）、三角高程測量（Trigonometric Leveling）與全球衛星導航系統高程測量（GNSS Height Determination）之誤差傳播模型、隨機與系統誤差特性，以及多感測器異質成果在現代測繪工程中的整合平差與優化策略（Sensor Fusion & Combined Adjustment）。

涉及之核心公式與理論：

1. 幾何水準測量誤差傳播定律： 偶然誤差隨測線長度之平方根累積： $\sigma_{\Delta h_{\text{Lev}}} = \pm c \sqrt{K}$ 式中 $K$ 為測線距離（單位：$\text{km}$），$c$ 為每公里往返測高差之中誤差（偶然誤差係數）。
2. 三角高程測量誤差傳播定律： 觀測斜距 $S$（或平距 $D$）、垂直角 $\alpha$（或天頂距 $Z$）、儀器高 $i$ 與覘標高 $t$，其高差計算式考慮地球曲率與大氣折光改正： $\Delta h = D \tan \alpha + i - t + \frac{1-k}{2R} D^2$ 依誤差傳播定律展開其方差模型： $\sigma_{\Delta h_{\text{Trig}}}^2 = \tan^2\alpha \cdot \sigma_D^2 + D^2 \sec^4\alpha \cdot \left(\frac{\sigma_\alpha}{\rho}\right)^2 + \sigma_i^2 + \sigma_t^2 + \sigma_{\text{ref}}^2$ 式中 $\rho = 206265''$，$k$ 為大氣折光係數，$R$ 為地球平均曲率半徑。採對向觀測（Reciprocal Observations）時可大幅抵消球差與折光差。
3. GNSS 高程測量誤差模型： GNSS 直接測定幾何橢球高（Ellipsoidal Height, $h$），正高（Orthometric Height, $H$）需藉由大地水準面起伏（Geoid Undulation, $N$）轉換： $H = h - N \implies \Delta H = \Delta h - \Delta N$ 高差方差為橢球高差方差與大地水準面模型誤差方差之和： $\sigma_{\Delta H_{\text{GNSS}}}^2 = \sigma_{\Delta h}^2 + \sigma_{\Delta N}^2$
4. 最小自乘聯合平差（Combined Least Squares Adjustment）與權矩陣構建： 異質觀測量依方差倒數定權： $P_i = \frac{\sigma_0^2}{\sigma_i^2}$ 利用高斯－馬可夫模型（Gauss-Markov Model）或赫爾默特方差分量估計（Helmert Variance Component Estimation, HVCE）實現最優無偏估計。

---

解題方法

一、三種測量方式成果之誤差估算

1. 幾何水準測量（水準儀測高）之誤差估算

• 誤差來源：水準標尺讀數誤差、水準軸不平行於視準軸（$i$ 角誤差）、大氣垂直折光、標尺零點差、轉點沈陷及儀器沈陷。
• 誤差模型推導： 水準測量每測站高差 $h_j = b_j - f_j$（後視讀數減前視讀數）。若每測站前後視距相等，儀器誤差與對稱折光可消除，殘餘偶然誤差相互獨立。經歷 $n$ 站後，總高差之方差為： $\sigma_{\Delta h}^2 = \sum_{j=1}^{n} \sigma_{h_j}^2 = n \cdot \sigma_{\text{station}}^2$ 測站數 $n$ 與測線長度 $K$ 成正比（$n = K / (2d)$，其中 $d$ 為平均視距），故總高差之中誤差為： $\sigma_{\Delta h_{\text{Lev}}} = \pm c \sqrt{K}$
• 量級估算： 依據我國規範，一等水準測量 $c \le \pm 1.0\text{ mm}/\sqrt{\text{km}}$；二等水準測量 $c \le \pm 2.0\text{ mm}/\sqrt{\text{km}}$；普通三等工程水準 $c \le \pm 5.0\text{ mm}/\sqrt{\text{km}}$。若測線長度 $K = 4\text{ km}$，一等水準高差中誤差約為 $\pm 2.0\text{ mm}$。

2. 三角高程測量（全測站儀測高）之誤差估算

• 誤差來源：測距誤差 $\sigma_D$、測角（垂直角）誤差 $\sigma_\alpha$、儀標高量測誤差 $\sigma_i, \sigma_t$、大氣折光係數 $k$ 不確定性所引起之折光誤差 $\sigma_{\text{ref}}$。
• 誤差模型推導： 單向觀測高差 $\Delta h = D \tan \alpha + i - t + \frac{1-k}{2R} D^2$。對各獨立變數進行全微分並依誤差傳播定律展開： $\sigma_{\Delta h}^2 = \left(\frac{\partial \Delta h}{\partial D}\right)^2 \sigma_D^2 + \left(\frac{\partial \Delta h}{\partial \alpha}\right)^2 \sigma_\alpha^2 + \sigma_i^2 + \sigma_t^2 + \sigma_{\text{ref}}^2$ 代入偏導函數得： $\sigma_{\Delta h_{\text{single}}}^2 = \tan^2\alpha \cdot \sigma_D^2 + \frac{D^2}{\cos^4\alpha} \cdot \left(\frac{\sigma_\alpha}{\rho}\right)^2 + \sigma_i^2 + \sigma_t^2 + \left(\frac{D^2}{2R} \sigma_k\right)^2$ 若採用對向同時觀測（Reciprocal Simultaneous Observations），取兩端高差平均值 $\Delta h = \frac{1}{2}(\Delta h_{AB} - \Delta h_{BA})$，球曲率與對稱折光完全抵消： $\sigma_{\Delta h_{\text{reciprocal}}}^2 \approx \frac{1}{2}\left[ \tan^2\alpha \cdot \sigma_D^2 + D^2 \sec^4\alpha \cdot \left(\frac{\sigma_\alpha}{\rho}\right)^2 + \sigma_i^2 + \sigma_t^2 \right] + \sigma_{\Delta k}^2$
• 量級估算： 設 $D = 1000\text{ m}$，$\alpha = 5^\circ$（平緩），現代全測站儀 $\sigma_D = \pm(1\text{ mm} + 1\text{ ppm})$，測角 $\sigma_\alpha = \pm 1''$（約 $4.85 \times 10^{-6}\text{ rad}$），$\sigma_i = \sigma_t = \pm 1.5\text{ mm}$。
• 測距項影響：$\tan 5^\circ \times 2\text{ mm} \approx \pm 0.17\text{ mm}$
• 測角項影響：$1000\text{ m} \times 1.015 \times (4.85 \times 10^{-6}) \approx \pm 4.9\text{ mm}$
• 儀標高項影響：$\sqrt{1.5^2 + 1.5^2} \approx \pm 2.1\text{ mm}$
• 單向觀測折光誤差隨距離平方增長，在 $1\text{ km}$ 處可能達 $\pm 5 \sim 15\text{ mm}$；對向觀測後總誤差可控制在 $\pm 5 \sim 8\text{ mm}$。

3. GNSS 衛星定位高程測量之誤差估算

• 誤差來源：衛星軌道誤差、電離層延遲殘餘誤差、對流層濕延遲殘餘誤差、天線相位中心變化（PCO/PCV）、多路徑效應、衛星幾何分布弱勢（垂直稀釋因子 VDOP 大於水平 HDOP），以及大地水準面模型內插誤差 $\sigma_{\Delta N}$。
• 誤差模型推導： GNSS 相對定位獲得兩點間三維基線向量，其橢球高差中誤差經驗公式為： $\sigma_{\Delta h_{\text{GNSS}}} = \pm \sqrt{a_v^2 + (b_v \times S)^2}$ 通常垂直分量誤差係數約為水平分量的 $1.5 \sim 3$ 倍（雙頻靜態觀測 $a_v \approx 10\text{ mm}, b_v \approx 1\text{ ppm}$）。 工程實際所需之正高差 $\Delta H = \Delta h - \Delta N$，其總誤差為： $\sigma_{\Delta H_{\text{GNSS}}} = \pm \sqrt{\sigma_{\Delta h}^2 + \sigma_{\Delta N}^2}$
• 量級估算： 若基線長度 $S = 5\text{ km}$，靜態 GNSS 橢球高差中誤差 $\sigma_{\Delta h} \approx \pm \sqrt{10^2 + (1 \times 5)^2} \approx \pm 11.2\text{ mm}$。 若直接採用內插全島性混合大地水準面模型，山區或複雜地形之起伏差中誤差 $\sigma_{\Delta N} \approx \pm 20 \sim 50\text{ mm}$，則正高成果中誤差為 $\pm 23 \sim 51\text{ mm}$；若有局部幾何水準檢核擬合，$\sigma_{\Delta N}$ 可降至 $\pm 10\text{ mm}$，總成果約 $\pm 15\text{ mm}$。

4. 三種測量方式之綜合比較表

核心觀念

本題旨在測驗考生對於多邊形地塊（宗地）數值坐標求取面積之理論與實務運算能力。 在測量學與地籍測量實務中，由邊界界址點坐標計算閉合多邊形面積，最關鍵的核心原則為：

1. 點號拓撲連續性：界址點坐標序列必須沿著多邊形邊界依「順時針」或「逆時針」方向依序環繞排列閉合，不可交錯。
2. 幾何代數和原理：多邊形面積本質上是由「邊界線段向坐標軸投影所形成的梯形代數和」或「由固定頂點分割之三角形有向面積（向量外積）總和」求得。
3. 獨立檢核機制：地籍測量實務要求面積計算必須採兩種獨立方法或不同公式計算，以確保數值登錄與產權面積之正確性。

針對五個界址點 $(E_1,N_1), (E_2,N_2), (E_3,N_3), (E_4,N_4), (E_5,N_5)$，規劃之兩種標準計算方式為：

• 方式一：高斯坐標面積法（坐標梯形公式／鞋帶公式）
• 方式二：雙橫距法（Double Meridian Distance, DMD 法）

---

解題方法

令五邊形界址點依序為 $1 \to 2 \to 3 \to 4 \to 5 \to 1$ 閉合環繞。為使公式具備通用性，定義閉合虛擬節點：

• $E_0 = E_5, \quad N_0 = N_5$
• $E_6 = E_1, \quad N_6 = N_1$

---

方式一：高斯坐標面積法（Gauss's Coordinate Area Formula）

1. 基本原理 將五邊形各邊向縱坐標軸（$N$ 軸）或橫坐標軸（$E$ 軸）投影，形成若干個投影梯形。藉由頂點繞行方向的代數正負號自然抵銷多餘的外圍面積，最終求得多邊形內部之淨面積。

2. 計算公式 高斯面積公式依展開基準軸不同，可採用以下兩種等價形式：

• 形式 A（以縱坐標差乘橫坐標）： $2A = \left| \sum_{i=1}^{5} E_i (N_{i+1} - N_{i-1}) \right|$ 五邊形逐項展開式為： $2A = |E_1(N_2 - N_5) + E_2(N_3 - N_1) + E_3(N_4 - N_2) + E_4(N_5 - N_3) + E_5(N_1 - N_4)|$

• 形式 B（交叉相乘行列式法／鞋帶法）： $2A = \left| \sum_{i=1}^{5} (E_i N_{i+1} - E_{i+1} N_i) \right|$ 五邊形逐項展開式為： $2A = |(E_1 N_2 - E_2 N_1) + (E_2 N_3 - E_3 N_2) + (E_3 N_4 - E_4 N_3) + (E_4 N_5 - E_5 N_4) + (E_5 N_1 - E_1 N_5)|$

3. 求取面積 $A = \frac{1}{2} (2A)$

---

方式二：雙橫距法（Double Meridian Distance, DMD 法）

1. 基本原理 雙橫距法是以導線測量的觀點，先計算各邊線的坐標增量（縱距 $\Delta N$ 與橫距 $\Delta E$），選取通過最西點之子午線（或通過點 1 之子午線）為基準，依序推算各邊之「雙橫距（DMD）」，再由各邊 DMD 與緯距（縱距）乘積之代數和求得兩倍面積。

2. 計算步驟與公式

• 步驟 1：計算各邊之坐標增量（橫距 $\Delta E$ 與縱距 $\Delta N$） $\Delta E_1 = E_2 - E_1, \quad \Delta N_1 = N_2 - N_1$ $\Delta E_2 = E_3 - E_2, \quad \Delta N_2 = N_3 - N_2$ $\Delta E_3 = E_4 - E_3, \quad \Delta N_3 = N_4 - N_3$ $\Delta E_4 = E_5 - E_4, \quad \Delta N_4 = N_5 - N_4$ $\Delta E_5 = E_1 - E_5, \quad \Delta N_5 = N_1 - N_5$ 閉合條件檢核： $\sum_{i=1}^{5} \Delta E_i = 0, \quad \sum_{i=1}^{5} \Delta N_i = 0$