112 高普考高考三級 土木工程 測量學 考古題詳解

核心觀念

本題考察橫麥卡托投影（Transverse Mercator, TM）與通用橫麥卡托投影（UTM）的設計差異。兩者皆是將圓柱橫置，使中央經線附近的區域投影至平面；主要差異在於：

1. 投影分帶方式不同：UTM將全球劃分為每帶經差 $6^\circ$ 的投影帶。
2. 投影比例與投影面不同：一般橫麥卡托投影多以中央經線與圓柱相切，中央經線比例尺為 $1$；UTM則採割圓柱，中央經線比例因子設為 $0.9996$。

此外，UTM另訂有統一的坐標表示方式，包括假東距與假北距。

解題方法

一、採 $6^\circ$ 分帶

UTM將全球劃分為 $60$ 個投影帶，每帶寬度為 $6^\circ$ 經度。第 $n$ 帶中央經線為

$$\lambda_0=6n-183^\circ$$

例如第 $51$ 帶中央經線為

$$\lambda_0=6(51)-183=123^\circ$$

各投影帶分別以該帶中央經線作為橫麥卡托投影的中央經線。

一般橫麥卡托投影則不一定採全球統一的 $6^\circ$ 分帶，可依測區範圍自行選定中央經線及投影帶寬。

二、採割圓柱及中央經線比例因子 $0.9996$

一般橫麥卡托投影若採相切圓柱，中央經線上的比例因子為

$$k_0=1$$

UTM改採割圓柱，並將中央經線比例因子設定為

$$k_0=0.9996$$

因此在中央經線兩側會有兩條比例尺為 $1$ 的交會經線。中央經線附近的距離略為縮小，離開中央經線後，比例尺逐漸增加；藉由「中央經線縮小、外側放大」的方式，使整個 $6^\circ$ 投影帶內的最大比例尺變化較小。

三、統一坐標表示方式

UTM通常採用：

核心觀念

本題使用方位角定義及極座標轉平面直角坐標公式：

• 方位角以北方向為 $0^\circ$，順時針量測。
• 由 $B$ 點至 $C$ 點：

$$\Delta N_{BC}=L\cos\varphi_{BC}$$ $$\Delta E_{BC}=L\sin\varphi_{BC}$$

• 坐標誤差採獨立誤差的均方根傳播。

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（一）方位角 $\varphi_{AB}$

由 $A$ 至 $B$：

$$\Delta N_{AB}=N_B-N_A=200-100=100\ \mathrm{m}$$ $$\Delta E_{AB}=E_B-E_A=-100-50=-150\ \mathrm{m}$$

方向位於西北象限，因此：

$$\varphi_{AB} =360^\circ-\tan^{-1}\left(\frac{150}{100}\right)$$ $$\tan^{-1}(1.5)=56^\circ18'35.8''$$

所以：

$$\boxed{\varphi_{AB}=303^\circ41'24''}$$

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（二）方位角 $\varphi_{BC}$及其誤差

先求反方位角：

$$\varphi_{BA}=\varphi_{AB}-180^\circ =123^\circ41'24''$$

依圖示，$\alpha$ 為由 $BA$ 方向逆時針轉至 $BC$ 方向的夾角，因此：

$$\varphi_{BC}=\varphi_{BA}-\alpha$$

代入：

$$\begin{aligned} \varphi_{BC} &=123^\circ41'24'' -46^\circ31'13''\\ &=\boxed{77^\circ10'11''} \end{aligned}$$

因為 $A、B$ 點坐標視為已知，方位角誤差只來自 $\alpha$：

$$m_{\varphi_{BC}}=m_\alpha=\pm10''$$

因此：

$$\boxed{\varphi_{BC}=77^\circ10'11''\pm10''}$$

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（三）$C$ 點坐標及其誤差

1. 計算 $C$ 點坐標

角度換算為十進制度：

$$\varphi_{BC}=77.169722^\circ$$

其三角函數值為：

$$\cos\varphi_{BC}\approx0.222065$$ $$\sin\varphi_{BC}\approx0.975032$$

由 $B$ 點出發：

$$N_C=N_B+L\cos\varphi_{BC}$$ $$E_C=E_B+L\sin\varphi_{BC}$$

因此：

$$\begin{aligned} N_C &=200+297.810(0.222065)\\ &=266.133\ \mathrm{m} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} E_C &=-100+297.810(0.975032)\\ &=190.374\ \mathrm{m} \end{aligned}$$

所以：

核心觀念

本題考查導線的型態判別，以及以「觀測數 $n$、未知數 $u$、多餘觀測數 $r$」判斷導線網形的可平差程度：

$$r=n-u$$

其中：

• 未知導線點每點有平面坐標 $(X,Y)$，故每點產生 $2$ 個未知數。
• 角度觀測與距離觀測均各算 $1$ 個觀測量。
• 控制點坐標及已知控制方向視為已知資料。

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（一）導線型態、未知數及多餘觀測數

圖一：閉合導線

圖一由已知控制點出發，經過待測導線點後回到閉合路線，形成封閉多邊形，故為閉合導線。

圖中：

• 待測導線點：$4$ 點
• 角度觀測：$6$ 個
• 距離觀測：$5$ 個

因此：

$$u=4\times 2=8$$ $$n=6+5=11$$ $$r=n-u=11-8=3$$

故圖一為：

$$\boxed{\text{閉合導線，未知數 }8\text{ 個，多餘觀測數 }3\text{ 個}}$$

其 $3$ 個閉合條件通常為：

1. 角度閉合條件 $1$ 個；
2. $X$ 坐標閉合條件 $1$ 個；
3. $Y$ 坐標閉合條件 $1$ 個。

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圖二：附合導線

圖二由一個已知控制方向出發，經過待測導線點，最後附合至另一個已知控制方向，故為附合導線。

圖中：

• 待測導線點：$3$ 點
• 角度觀測：$5$ 個
• 距離觀測：$4$ 個

因此：

$$u=3\times 2=6$$ $$n=5+4=9$$ $$r=n-u=9-6=3$$

故圖二為：

$$\boxed{\text{附合導線，未知數 }6\text{ 個，多餘觀測數 }3\text{ 個}}$$

其 $3$ 個閉合條件為：

1. 方位角或角度閉合條件 $1$ 個；
2. $X$ 坐標閉合條件 $1$ 個；
3. $Y$ 坐標閉合條件 $1$ 個。

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圖三：支導線

圖三僅由一個已知控制點出發，終點為未知的待測導線點，且沒有附合至另一個已知控制點或已知方向，故為支導線。

圖中：

• 待測導線點：$5$ 點
• 角度觀測：$4$ 個
• 距離觀測：$5$ 個

因此：

$$u=5\times 2=10$$ $$n=4+5=9$$ $$r=n-u=9-10=-1$$

故圖三為：

$$\boxed{\text{支導線，未知數 }10\text{ 個，多餘觀測數 }-1}$$

多餘觀測數為 $-1$ 表示少一個必要條件，亦即初始方位角或另一個方向控制資料不足，不能獨立完成平面坐標定位與可靠平差。

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（二）圖一閉合導線的閉合條件與平差流程

1. 角度閉合條件

圖一為六邊形閉合導線，因此內角總和應滿足：

$$\sum\beta_{\text{理論}}=(n-2)180^\circ$$

其中 $n=6$，故：

$$\sum\beta_{\text{理論}}=(6-2)180^\circ=720^\circ$$

角度閉合差為：

$$f_\beta=\sum\beta_{\text{觀測}}-720^\circ$$

理想情況下：

$$f_\beta=0$$

若 $f_\beta\neq 0$，應依各角度觀測量的精度分配改正數 $v_{\beta i}$，使：

$$\sum v_{\beta i}=-f_\beta$$

若各角度精度相同，可平均分配：

$$v_{\beta i}=-\frac{f_\beta}{6}$$

若精度不同，則應採加權分配，精度較高的角度分配較小改正數。

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2. 方位角推算

完成角度改正後，利用已知起始方位角逐邊推算各邊方位角。例如：

$$\alpha_{i+1} = \alpha_i+180^\circ-\beta_{i+1}$$

計算結果應依四象限規則化為 $0^\circ$ 至 $360^\circ$。

方位角推算時須注意：

核心觀念

由圖可知，$a=BC$、$b=CA$，且 $\alpha=\angle C$ 為兩已知邊的夾角，因此：

• 三角形面積： $S=\frac12 ab\sin\alpha$
• 餘弦定理求 $c=AB$： $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha$
• 面積誤差採用獨立觀測量的誤差傳播公式。
• 地球曲率造成的高程差，採三角高程的曲率影響： $\Delta h_{\text{曲率}}=\frac{c^2}{2R}$

（一）土地面積及面積誤差

1. 面積

已知：

$$a=12300.00\ \text{m},\qquad b=16800.00\ \text{m},\qquad \alpha=38^\circ$$

因此：

$$S=\frac12(12300)(16800)\sin38^\circ$$ $$S=63,610,143.6\ \text{m}^2$$

故土地面積約為：

$$\boxed{S=63,610,144\ \text{m}^2}$$

亦即：

$$\boxed{S\approx 63.6101\ \text{km}^2}$$

2. 面積誤差

角度誤差須換算為弧度：

$$\sigma_\alpha=30''\times\frac{\pi}{180\times3600} =0.000145444\ \text{rad}$$

面積函數為：

$$S(a,b,\alpha)=\frac12 ab\sin\alpha$$

其偏微分為：

$$\frac{\partial S}{\partial a}=\frac12b\sin\alpha$$ $$\frac{\partial S}{\partial b}=\frac12a\sin\alpha$$ $$\frac{\partial S}{\partial\alpha}=\frac12ab\cos\alpha$$

依誤差傳播公式：

$$\sigma_S= \sqrt{ \left(\frac{\partial S}{\partial a}\sigma_a\right)^2+ \left(\frac{\partial S}{\partial b}\sigma_b\right)^2+ \left(\frac{\partial S}{\partial\alpha}\sigma_\alpha\right)^2 }$$

代入：

$$\frac{\partial S}{\partial a} =\frac12(16800)\sin38^\circ =5171.56\ \text{m}$$ $$\frac{\partial S}{\partial b} =\frac12(12300)\sin38^\circ =3786.32\ \text{m}$$