111 高普考高考三級 土木工程 測量學 考古題詳解

核心觀念

本題旨在考驗考生對「控制測量」（Control Surveying）核心作業流程與測量學最根本法則之理解與系統性表達能力。本題涉及之法規以命題當年（民國 111 年）之《國土測繪法》及其子法《基本測量實施規則》為基礎概念背景。

1. 控制測量的目的：在一定區域內，測定具有高精度之平面坐標 $(X, Y)$ 與高程 $(H)$ 之控制點骨架，做為後續「細部測量」、「地形測量」、「地籍測量」及「工程施工放樣」的依據，防止測量誤差無限制累積。
2. 作業生命週期：完整測量工程包含「圖上規劃 $\rightarrow$ 現場踏勘選點 $\rightarrow$ 埋石造標 $\rightarrow$ 外業觀測 $\rightarrow$ 內業計算與平差 $\rightarrow$ 成果編造（點之記）」。
3. 測量三大根本公理／原則：

• 由整體到局部（由高級到低級）
• 步步檢核（具備多餘觀測）
• 精度滿足要求且符合經濟原則

解題方法

本題為標準申論題型，答題時切入點應分為兩大主軸，採階層化、條列式作答：

1. 工作項目：依照測量專案執行的標準工序（時序法）撰寫，切忌僅回答「測角與測距」，必須涵蓋前置規劃、外業實施至內業平差與成果製表。
2. 基本原則：依測量學理論之四大核心準則（階層原則、檢核原則、適應與經濟原則、長效穩定原則）進行嚴謹定義與學理解釋。

選項分析

本題為高考三級專業科目之申論題，非選擇題，故無個別選項之對錯辨析。配分通常平分於兩大提問（「工作項目」約佔 12～13 分；「基本原則」約佔 12～13 分）。

解題技巧

1. 工作項目口訣記憶：「規、踏、埋、觀、算、成」

• 規劃設計 $\rightarrow$ 踏勘選點 $\rightarrow$ 埋石造標 $\rightarrow$ 外業觀測 $\rightarrow$ 內業計算（平差）$\rightarrow$ 成果編造（點之記）。

2. 得分關鍵字置入：

• 工作項目中必須點出「平差計算（Least Squares Adjustment）」、「多餘觀測（Redundant Observations）」及「點之記（Station Description）」。
• 基本原則中必須寫出「由高級至低級（由全體至局部）」與「步步有檢核」，這是測量學閱卷委員必看的評分核心字眼。

3. 常見失分陷阱：

• 僅寫外業測量儀器操作（如「架站、看稜鏡、打點」），忽略了選點、埋石與內業平差，此為工務員視角而非工程師視角。
• 漏提「多餘觀測」在檢核原則中的數理意義。

【答案】

一、控制測量之工作項目

控制測量係建立後續各項測量作業之統一基準框架，其標準工作流程涵蓋前置規劃、外業施測及內業數據處理，主要工作項目如下：

核心觀念

本題考查的是以全測站儀建立外部控制、測定圓形構造物外緣點，再由已知點坐標反算圓心與半徑。全測站儀只需與待測點之間有視線，不需要在圓心或頂端架設儀器，也不需要待測點對空通視。

以下以構造物的平面外緣為圓形，求其平面中心坐標 $(X_0,Y_0)$ 與半徑 $R$。

解題方法

先以已知點 $A、B$ 建立外部控制，再從構造物外圍測取多個外緣點的平面坐標，最後以圓周方程式進行最小二乘平差。

1. 建立外部控制與定向

將全測站儀架設於 $A$，以 $B$ 為後視方向，利用已知坐標定向。若構造物遮住 $A、B$ 對外緣部分區域的視線，則沿構造物外部布設臨時導線控制點，以全測站儀逐站測量，並將導線連接至已知控制點作閉合或附合平差。

臨時控制點應設於可安全架站、且能觀測部分外緣的位置。這樣可利用外部導線取得各觀測站的坐標與方向，不必在構造物內部架站。

2. 測量外緣點

從能看見外緣的控制站，測量外緣上多個點的水平角與距離。外緣處不便架設稜鏡時，可使用全測站儀免稜鏡測距；若能在外壁放置稜鏡，也可用稜鏡測量。各站量測時輸入儀器高、稜鏡高，並記錄各外緣點的平面坐標 $(x_i,y_i)$。

外緣雖然對空通視不良，只要全測站儀與外緣測點間有側向視線，仍可完成測量。觀測點應分布在可見外緣的不同位置，避免集中在狹小弧段；實務上取多於三點並分布於較大的圓弧範圍，可降低觀測誤差對圓心位置的影響。

3. 由外緣點坐標求圓心與半徑

圓周方程式為

展開後可寫成

其中

核心觀念

本題用座標求三角形邊長與內角，再利用三點共圓求圓弧曲線半徑。由於 $A、B、C$ 共圓，且 $BC$ 為曲線弧段，三角形外接圓半徑就是曲線半徑 $R$。

圓弧 $BC$ 的圓心角與其所對的圓周角滿足：

切線長及圓弧長分別為：

其中計算弧長時，$I$ 須以弧度表示。

解題方法

1. 求三角形三邊

由兩點距離公式：

2. 求三角形三內角

以餘弦定理計算：

計算並四捨五入至秒：

3. 求曲率半徑及交角 $I$

由座標求得三角形面積：

三角形外接圓半徑為：

核心觀念

本題旨在測驗高精度直接水準測量中，兩大幾何與物理環境誤差因子——水準面曲率差（地球曲率差）與大氣折光差（合稱「兩差」或「球氣差」）之成因、數學推導，以及其在單測站與整條水準測線上的誤差傳播機制與消除方法。

1. 水準面曲率差（Curvature of the Earth, $C$）

水準面為一處處與鉛垂線正交的微彎曲面（局部可視為半徑 $R \approx 6,371\text{ km}$ 之球面），而儀器整平後望遠鏡視準軸為切於測站水準面的水平切線。 設視距為 $S$，地球平均半徑為 $R$，由圓幾何直角三角形定理： $(R + C)^2 = R^2 + S^2 \implies R^2 + 2RC + C^2 = R^2 + S^2$ 因 $C \ll R$，$C^2$ 項可忽略，推得： $C \approx \frac{S^2}{2R}$

• 影響效應：視準軸高於水準面，導致水準尺讀數偏大（誤差符號為正）。

2. 大氣折光差（Atmospheric Refraction, $r$）

光線穿過密度不均（通常下密上疏）的大氣層時產生折射，視線向地表彎曲（凹向地球），曲率半徑約為 $R' = R / k$（$k$ 為大氣折光係數，台灣地區常態平均值約取 $k \approx 0.14$）。 $r \approx k \cdot C = k \cdot \frac{S^2}{2R}$

• 影響效應：光線下彎使觀測之水準尺讀數偏小（誤差符號為負）。

3. 球氣差之綜合影響（兩差，$\Delta h_{cr}$）

兩差對水準尺讀數之綜合影響為地球曲率差減去大氣折光差： $\Delta h_{cr} = C - r = (1 - k)\frac{S^2}{2R}$ 當視距 $S$ 以 $\text{km}$ 為單位、$\Delta h_{cr}$ 以 $\text{m}$ 為單位，代入 $R \approx 6,371\text{ km}$ 及 $k \approx 0.14$： $\Delta h_{cr} \approx (1 - 0.14) \cdot \frac{S^2}{2 \times 6371} \approx 0.0675 \cdot S^2 \text{ (m)}$

• 淨影響效應：兩差綜合後，仍使尺讀數偏大。

解題方法

申論切入點採「單測站幾何影響 $\rightarrow$ 測站間差分消去機制 $\rightarrow$ 整條測線累積效應與殘餘誤差」三層次循序剖析：

1. 單測站之高差觀測影響

設一測站後視尺讀數為 $a$、視距為 $S_b$；前視尺讀數為 $b$、視距為 $S_f$。真讀數分別為 $a_0$ 與 $b_0$。 觀測讀數含兩差後為： $a = a_0 + \Delta h_{cr, b} = a_0 + (1 - k)\frac{S_b^2}{2R}$ $b = b_0 + \Delta h_{cr, f} = b_0 + (1 - k)\frac{S_f^2}{2R}$ 單站實測高差 $\Delta h = a - b$ 為： $\Delta h = (a_0 - b_0) + \left( \Delta h_{cr, b} - \Delta h_{cr, f} \right) = \Delta h_0 + \frac{1 - k}{2R} \left( S_b^2 - S_f^2 \right)$

2. 整條水準測線之總高差影響

一條直接水準測線由 $n$ 個測站串接而成，總高差 $\Delta H = \sum_{i=1}^n \Delta h_i$。整條測線兩差之總累積影響誤差 $E_{\text{line}}$ 為： $E_{\text{line}} = \sum_{i=1}^n \left( \Delta h_{cr, b_i} - \Delta h_{cr, f_i} \right) = \frac{1 - k}{2R} \sum_{i=1}^n \left( S_{b_i}^2 - S_{f_i}^2 \right)$

3. 對水準測線的實質影響評估

• 前後視距嚴格相等時（$S_{b_i} = S_{f_i}$）： 每一測站之 $S_{b_i}^2 - S_{f_i}^2 = 0$，球氣差在各站內部直接自我抵消。對整條測線的總高差影響為 $0$。
• 僅總視距相等但單站視距不等時（$\sum S_{b_i} = \sum S_{f_i}$ 但 $S_{b_i} \neq S_{f_i}$）： 由於兩差與距離的平方成正比，$\sum S_{b_i}^2 \neq \sum S_{f_i}^2$，即使全線總前後視距相等，整條測線仍會殘留不可忽視的系統誤差。
• 大氣折光動態變化之殘差影響： 折光係數 $k$ 並非常數，會隨地表垂直溫度梯度、日照強度與地形起伏劇烈變動。