111 高普考高考三級 土木工程 結構學 考古題詳解

111 年・高普考・高考三級・土木工程
試題代碼 結構學

第 一 題25 分

如下圖梁，承受 1.5 kN/m1.5\ \text{kN/m} 的均布活載重和 8 kN8\ \text{kN} 的單一集中載重，靜載重為 2 kN/m2\ \text{kN/m}。A 點是滾接支承，B 點是鉸支承，構件自重不計。圖示梁各標示區段長度為 2 m2\ \text{m}。

(一) 繪製 C 點剪力影響線。

(二) 繪製 C 點彎矩影響線。

(三) 求 C 點最大正剪力。

(四) 求 C 點最大正彎矩。

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核心觀念

本題利用影響線判斷單位移動荷重位於梁上不同位置時，CC 點剪力與彎矩的變化。集中荷重的效應等於荷重乘上該處影響線縱距；均布荷重的效應等於荷重強度乘上所載區段的影響線面積。

令梁左端為 x=0x=0，則 AA 點、CC 點、BB 點分別位於 x=2、4、6 mx=2、4、6\ \text{m}。梁總長 6 m6\ \text{m}，左端至 AA 為 2 m2\ \text{m} 的外伸段。

解題方法

（一）CC 點剪力影響線

在距左端 xx 處放置向下單位荷重。由整體平衡：

RA+RB=1,4RB=x−2R_A+R_B=1,\qquad 4R_B=x-2

因此

RA=6−x4,RB=x−24.R_A=\frac{6-x}{4},\qquad R_B=\frac{x-2}{4}.

取 CC 點左側截面，剪力正號採左截面向上。當單位荷重位於 CC 左側，截面左方包含該單位荷重；位於 CC 右側時則不包含。因此

VC={RA−1=2−x4,0≤x<4,RA=6−x4,4<x≤6.V_C= \begin{cases} R_A-1=\dfrac{2-x}{4},&0\le x<4,\\[4pt] R_A=\dfrac{6-x}{4},&4<x\le6. \end{cases}

影響線關鍵縱距為：

  • 梁左端 x=0x=0：+0.5+0.5
  • AA 點 x=2x=2：00
  • CC 點左側：−0.5-0.5
  • CC 點右側：+0.5+0.5
  • BB 點 x=6x=6：00

在 CC 點有 +1+1 的跳躍，故剪力影響線依序連接上述縱距，並在 CC 點由 −0.5-0.5 跳至 +0.5+0.5。

（二）CC 點彎矩影響線

以 CC 點左側截面取矩。當單位荷重位於 CC 左側：

MC=2RA−(4−x)=x2−1,0≤x≤4.M_C=2R_A-(4-x)=\frac{x}{2}-1,\qquad 0\le x\le4.

當單位荷重位於 CC 右側：

MC=2RA=3−x2,4≤x≤6.M_C=2R_A=3-\frac{x}{2},\qquad 4\le x\le6.

影響線關鍵縱距為：

  • 梁左端：−1-1
  • AA 點：00
  • CC 點：+1+1
  • BB 點：00

各點間以直線連接；彎矩影響線在 CC 點連續。

（三）CC 點最大正剪力

要使正剪力最大，1.5 kN/m1.5\ \text{kN/m} 活載須放在剪力影響線為正的區段，即左端至 AA，以及 CC 至 BB。

兩區段的正影響線面積為

AV+=12(2)(0.5)+12(2)(0.5)=1 m.A_V^+=\frac12(2)(0.5)+\frac12(2)(0.5)=1\ \text{m}.

均布活載的剪力效應為

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第 二 題30 分

如下圖超靜定桁架，A 點是鉸支承，B 點與 C 點是滾接支承，指定 C 點支承的反力 CYC_Y 為贅力，請以最小功法計算超靜定桁架各支承點的反力與桿件桿力。構件自重不計。使用其他方法，或使用反力 CYC_Y 以外的其他贅力，一律不予計分。

圖示資料包括 25 kN/m25\ \text{kN/m} 載重，以及桿件截面積 21 cm221\ \text{cm}^2、14 cm214\ \text{cm}^2、14 cm214\ \text{cm}^2。

(一) 劃出以反力 CYC_Y 替代支承點 C 成為靜定桁架 SS。

(二) 計算承受原載重的靜定桁架 SS，如圖所示各桿件桿力。

(三) 計算承受未知反力 CYC_Y 的靜定桁架 SS，如圖所示各桿件桿力。

(四) 依據各桿桿力，列表計算桁架應變能 UU 對贅力 CYC_Y 的偏微分式。

(五) 解得 CYC_Y。

(六) 計算各桿桿力。

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核心觀念

本題考查力法中的最小功法：選定支承反力 CYC_Y 為贅力，移除 C 點支承，建立靜定基本桁架 SS。對基本桁架分別計算原載重造成的桿力 Ni(0)N_i^{(0)}，以及贅力 CYC_Y 造成的桿力 niCYn_i C_Y，再以 C 點位移相容條件求 CYC_Y。

桁架的應變能為

U=∑iNi2Li2AiEU=\sum_i\frac{N_i^2L_i}{2A_iE}

最小功條件為

∂U∂CY=∑iNiLiAiE∂Ni∂CY=0\frac{\partial U}{\partial C_Y} =\sum_i\frac{N_iL_i}{A_iE} \frac{\partial N_i}{\partial C_Y}=0

其中 Ni=Ni(0)+niCYN_i=N_i^{(0)}+n_iC_Y，而 ni=∂Ni/∂CYn_i=\partial N_i/\partial C_Y。

**圖面載重說明：**題幹文字提到 25 kN/m25\ \text{kN/m}，但第二題附圖的實際載重是 D 點向右 8.0 kN8.0\ \text{kN}。以下依第二題圖面計算；25 kN/m25\ \text{kN/m} 是後續另一題圖中的載重。

解題方法與計算

（一）以 CYC_Y 替代 C 點支承

移除 C 點滾接支承，保留 A 點鉸支承與 B 點滾接支承，形成靜定桁架 SS。將原本 C 點的支承反力以向上贅力 CYC_Y 表示。

幾何與桿件資料為：

  • A(0,0)A(0,0)、B(4,0)B(4,0)、C(8,0)C(8,0)、D(4,6)D(4,6)，長度單位為 m。
  • AD=DC=42+62=213 mAD=DC=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}\ \text{m}，DB=6 mDB=6\ \text{m}，AB=BC=4 mAB=BC=4\ \text{m}。
  • AD、DB、DCA_D、D_B、D_C 桿截面積均為 21 cm221\ \text{cm}^2；AB、BCA_B、B_C 桿截面積均為 14 cm214\ \text{cm}^2。

以下以拉力為正、壓力為負。

（二）靜定桁架 SS 承受原載重

原載重為 D 點向右 8 kN8\ \text{kN}。對基本桁架取整體平衡：

∑Fx=0:AX+8=0⇒AX=−8 kN\sum F_x=0:\quad A_X+8=0 \quad\Rightarrow\quad A_X=-8\ \text{kN} ∑MA=0:4BY−8(6)=0⇒BY=12 kN\sum M_A=0:\quad 4B_Y-8(6)=0 \quad\Rightarrow\quad B_Y=12\ \text{kN} ∑Fy=0:AY+BY=0⇒AY=−12 kN\sum F_y=0:\quad A_Y+B_Y=0 \quad\Rightarrow\quad A_Y=-12\ \text{kN}

在 C 點，因為沒有外力且只有兩根不共線桿件，故 BCBC、DCDC 均為零力桿。由 B 點與 D 點平衡得：

NDB(0)=−12 kNN_{DB}^{(0)}=-12\ \text{kN} NAD(0)=413 kNN_{AD}^{(0)}=4\sqrt{13}\ \text{kN}

因此原載重桿力如下：

桿件Ni(0)N_i^{(0)}（kN）
ADAD4134\sqrt{13}
DBDB−12-12
DCDC00
ABAB00
BCBC00

（三）靜定桁架 SS 承受贅力 CYC_Y

在 C 點施加向上 CYC_Y。對桁架 SS 取整體平衡：

∑MA=0:4BY+8CY=0⇒BY=−2CY\sum M_A=0:\quad 4B_Y+8C_Y=0 \quad\Rightarrow\quad B_Y=-2C_Y ∑Fy=0:AY+BY+CY=0⇒AY=CY\sum F_y=0:\quad A_Y+B_Y+C_Y=0 \quad\Rightarrow\quad A_Y=C_Y

由各接點平衡求得各桿件對 CYC_Y 的桿力係數 nin_i：

桿件ni=∂Ni/∂CYn_i=\partial N_i/\partial C_Y
ADAD−133-\dfrac{\sqrt{13}}{3}
DBDB22
DCDC−133-\dfrac{\sqrt{13}}{3}
ABAB23\dfrac{2}{3}
BCBC23\dfrac{2}{3}

因此總桿力為 Ni=Ni(0)+niCYN_i=N_i^{(0)}+n_iC_Y。

（四）列出應變能對 CYC_Y 的偏微分式

由

∂U∂CY=∑iLiAiE(Ni(0)+niCY)ni=0\frac{\partial U}{\partial C_Y} =\sum_i\frac{L_i}{A_iE} \bigl(N_i^{(0)}+n_iC_Y\bigr)n_i=0
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第 三 題25 分

如下圖剛架，A 點為鉸支承，B 點為剛接點，C 點為滾接支承。以卡氏第二定理（Castigliano’s Second Theorem）詳細計算剛架上支承點 C 的水平變位，構件自重不計。使用其他方法一律不予計分。

全樑 EIEI 定值，且

E=7000 kN/cm2E=7000\ \text{kN/cm}^2 I=103000 cm4I=103000\ \text{cm}^4

圖示剛架尺寸為 5 m5\ \text{m}、5 m5\ \text{m}。

(一) 在 C 點加上一個向右水平變數作用力 PP，並推得 A 與 C 點支承點反力。（5 分）

(二) 列出各段斷面彎矩函數及對 PP 的偏微分。（10 分）

(三) 使用積分公式計算支承點 C 的水平變位。（10 分）

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核心觀念

本題使用卡氏第二定理，以 CC 點向右的水平力 PP 作為廣義力。忽略構件自重，採用彎曲應變能

U=∑∫M22EI dsU=\sum\int\frac{M^2}{2EI}\,ds

因此，CC 點的水平變位為

δC,x=∂U∂P∣P=0=∑∫MEI∂M∂P ds∣P=0\delta_{C,x}=\left.\frac{\partial U}{\partial P}\right|_{P=0} =\left.\sum\int\frac{M}{EI}\frac{\partial M}{\partial P}\,ds\right|_{P=0}

取向右為水平變位正方向。題目只提供 EIEI，故依彎曲應變能計算。

解題方法

令柱段 ABAB 受向右均佈載重 q=25 kN/mq=25\ \text{kN/m}，柱高與梁長皆為 5 m5\ \text{m}。在 CC 點加上向右的變數力 PP。

（一）求支承反力

均佈載重合力為 q(5)=125 kNq(5)=125\ \text{kN}，作用於距 AA 點 2.5 m2.5\ \text{m} 處。以向右、向上及逆時針為正，對整體取平衡：

∑Fx=0:Ax+125+P=0\sum F_x=0:\quad A_x+125+P=0 ∑MA=0:5Cy−125(2.5)−5P=0\sum M_A=0:\quad 5C_y-125(2.5)-5P=0 ∑Fy=0:Ay+Cy=0\sum F_y=0:\quad A_y+C_y=0

所以

Ax=−(125+P) kNA_x=-(125+P)\ \text{kN} Cy=62.5+P kN,Ay=−(62.5+P) kNC_y=62.5+P\ \text{kN},\qquad A_y=-(62.5+P)\ \text{kN}

其中 AxA_x 向左，AyA_y 向下，CyC_y 向上。

（二）各段彎矩函數及對 PP 的偏微分

**柱段 ABAB：**令 yy 自 AA 向上量，0≤y≤50\le y\le5。對柱段在高度 yy 處截面取下段：

MAB(y)=(125+P)y−25y22M_{AB}(y)=(125+P)y-\frac{25y^2}{2}

因此

∂MAB∂P=y\frac{\partial M_{AB}}{\partial P}=y

**梁段 BCBC：**令 xx 自 BB 向右量，0≤x≤50\le x\le5。由 CC 端反力對截面取矩：

MBC(x)=−(62.5+P)(5−x)M_{BC}(x)=-(62.5+P)(5-x)

負號表示所取梁段的截面彎矩方向與柱段的截面取矩方向相反。因此

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第 四 題20 分

如下圖大梁 ABAB，A 點是鉸支承，B 點是滾接支承。假若 EIEI 為固定值，請以共軛梁法詳細計算梁在 B 點的轉角與 C 點的撓度，構件自重不計。使用其他方法一律不予計分。

圖示梁 ABAB 分為四個等長區段，各區段長度為 aa。

(一) 劃出共軛梁承受彈性載重圖。（5 分）

(二) 求出共軛梁梁端反力。（5 分）

(三) 計算梁在 B 點的轉角。（5 分）

(四) 計算梁 C 點的撓度。（5 分）

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核心觀念

共軛梁法將原梁彎矩除以 EIEI 作為共軛梁的彈性載重：

q∗(x)=M(x)EIq^*(x)=\frac{M(x)}{EI}

共軛梁的剪力對應原梁轉角，彎矩對應原梁撓度。原梁 A、B 均為簡支，因此共軛梁 A、B 也為簡支。以下取原梁向下撓度為正，並以正彎矩表示下緣受拉。

（一）共軛梁彈性載重圖

先求原梁支承反力。載重總和為 2P2P，對 A 點取矩：

RB(4a)=P2(a)+P(2a)+P2(3a)=8PaR_B(4a)=\frac{P}{2}(a)+P(2a)+\frac{P}{2}(3a)=8Pa

因此 RA=RB=PR_A=R_B=P。以 xx 自 A 向右量，彎矩為：

M(x)={Px,0≤x≤a,P2(x+a),a≤x≤2a,P2(5a−x),2a≤x≤3a,P(4a−x),3a≤x≤4a.M(x)= \begin{cases} Px, & 0\le x\le a,\\[1mm] \dfrac{P}{2}(x+a), & a\le x\le 2a,\\[1mm] \dfrac{P}{2}(5a-x), & 2a\le x\le 3a,\\[1mm] P(4a-x), & 3a\le x\le 4a. \end{cases}

共軛梁彈性載重圖為 M/EIM/EI 圖，方向向下。其縱座標為：

q∗(0)=0,q∗(a)=PaEI,q∗(2a)=3Pa2EI,q∗(3a)=PaEI,q∗(4a)=0.q^*(0)=0,\quad q^*(a)=\frac{Pa}{EI},\quad q^*(2a)=\frac{3Pa}{2EI},\quad q^*(3a)=\frac{Pa}{EI},\quad q^*(4a)=0.

各點之間以直線連接，形成關於跨中對稱的分段線性載重圖。

（二）共軛梁支承反力

彈性載重圖的總面積為：

W∗=12PaEIa+12(PaEI+3Pa2EI)a+12(3Pa2EI+PaEI)a+12PaEIa=7Pa22EI.W^*= \frac{1}{2}\frac{Pa}{EI}a +\frac{1}{2}\left(\frac{Pa}{EI}+\frac{3Pa}{2EI}\right)a +\frac{1}{2}\left(\frac{3Pa}{2EI}+\frac{Pa}{EI}\right)a +\frac{1}{2}\frac{Pa}{EI}a =\frac{7Pa^2}{2EI}.
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