114 高普考高考三級 土木工程 結構學 考古題詳解

核心觀念

本題為四次超靜定連續梁，採用「斜率位移法」分析。各跨長度皆為

$L=5\ \text{m}$

且各段撓曲剛度相同為 $EI$。支承沉陷忽略，故各支承點之垂直位移均為零；固定端 $A、D$ 的轉角亦為零。

取：

• 彎矩圖下方為正彎矩（正彎矩為下凹、上緣受壓）。
• 支承反力向上為正。
• 支承反力矩逆時針為正。
• 節點外加 $10\ \text{kN}\cdot\text{m}$ 力矩依圖示為順時針。

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一、斜率位移方程式

斜率位移法基本式為

$$M_{ij}=\frac{2EI}{L}(2\theta_i+\theta_j)+M_{ij}^{F}$$

其中 $M_{ij}$ 為構件端彎矩，$M_{ij}^{F}$ 為固定端彎矩。

由於 $A、D$ 為固定端：

$$\theta_A=\theta_D=0$$

令

$$x=EI\theta_B,\qquad y=EI\theta_C$$

又因

$$\frac{2EI}{L}=\frac{2EI}{5}=0.4EI$$

$AB$ 跨

$AB$ 跨承受均佈載重 $w=24\ \text{kN/m}$，固定端彎矩為

$$M_{AB}^{F}=-\frac{wL^2}{12} =-\frac{24(5)^2}{12} =-50\ \text{kN}\cdot\text{m}$$ $$M_{BA}^{F}=+50\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

因此

$$M_{AB}=0.4x-50$$ $$M_{BA}=0.8x+50$$

$BC$ 跨

$$M_{BC}=0.4(2x+y)$$ $$M_{CB}=0.4(2y+x)$$

$CD$ 跨

$$M_{CD}=0.8y$$ $$M_{DC}=0.4y$$

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二、節點平衡方程式

節點 $B$

$B$ 點無外加力矩：

$$M_{BA}+M_{BC}=0$$ $$(0.8x+50)+0.4(2x+y)=0$$

整理得

$$1.6x+0.4y=-50$$

節點 $C$

$C$ 點有順時針外加力矩 $10\ \text{kN}\cdot\text{m}$：

$$M_{CB}+M_{CD}=10$$ $$0.4(2y+x)+0.8y=10$$

整理得

$$0.4x+1.6y=10$$

聯立：

$$\begin{cases} 1.6x+0.4y=-50\\ 0.4x+1.6y=10 \end{cases}$$

解得

$$x=-35,\qquad y=15$$

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三、各跨端彎矩

代回斜率位移方程式：

$$M_{AB}=0.4(-35)-50=-64$$ $$M_{BA}=0.8(-35)+50=22$$ $$M_{BC}=0.4[2(-35)+15]=-22$$ $$M_{CB}=0.4[2(15)-35]=-2$$ $$M_{CD}=0.8(15)=12$$ $$M_{DC}=0.4(15)=6$$

依彎矩圖之正負號，各節點彎矩為：

• $A$ 點：$M_A=-64\ \text{kN}\cdot\text{m}$
• $B$ 點：$M_B=-22\ \text{kN}\cdot\text{m}$
• $C$ 點左側：$M_{C^-}=+2\ \text{kN}\cdot\text{m}$
• $C$ 點右側：$M_{C^+}=+12\ \text{kN}\cdot\text{m}$
• $D$ 點：$M_D=-6\ \text{kN}\cdot\text{m}$

$C$ 點因有集中力矩，彎矩圖產生

$$12-2=10\ \text{kN}\cdot\text{m}$$

之跳躍。

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四、支承反力

$AB$ 跨

令 $A$ 點右側剪力為 $V_{AB}$，則

$$M_B=M_A+V_{AB}L-\frac{wL^2}{2}$$ $$-22=-64+5V_{AB}-\frac{24(5)^2}{2}$$ $$V_{AB}=68.4\ \text{kN}$$

因此

$$R_A=68.4\ \text{kN}\uparrow$$

$AB$ 跨右端之豎向力為

$$120-68.4=51.6\ \text{kN}\uparrow$$

$BC$ 跨

無分布載重，剪力為常數：

$$V_{BC}=\frac{M_{C^-}-M_B}{L} =\frac{2-(-22)}{5} =4.8\ \text{kN}$$

故 $BC$ 跨對 $B$、$C$ 兩端的節點作用力分別為：

$$4.8\ \text{kN}\uparrow,\qquad 4.8\ \text{kN}\downarrow$$

$CD$ 跨

$$V_{CD}=\frac{M_D-M_{C^+}}{L} =\frac{-6-12}{5} =-3.6\ \text{kN}$$

故 $CD$ 跨在 $C$ 點產生 $3.6\ \text{kN}$ 向上作用力，在 $D$ 點產生 $3.6\ \text{kN}$ 向上作用力。

因此：

$$R_B=51.6+4.8=56.4\ \text{kN}\uparrow$$ $$R_C=-4.8-3.6=-8.4\ \text{kN}$$

核心觀念

本題為靜定平面鋼桁架，使用：

1. 整體平衡方程式求支承反力： $\sum F_x=0,\qquad \sum F_y=0,\qquad \sum M=0$

2. 節點法求桿件軸力。桿件受拉以正值表示，受壓以負值表示。

3. 單位荷重法求 $d$ 點位移： $\delta=\sum \frac{N_i n_i L_i}{EA_i}$

其中：

• $N_i$：實際荷重作用下第 $i$ 桿件內力
• $n_i$：在位移方向施加單位力時，第 $i$ 桿件內力
• $L_i$：桿件長度
• $A_i$：桿件斷面積

圖中水平桿長度為 $6\ \mathrm{m}$，斜桿為 $3$-$4$-$5$ 三角形，因此：

$L_{\text{斜桿}}=5\ \mathrm{m}$

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一、支承反力

令 $A_x,A_y$ 為 $A$ 點鉸支承反力，$C_y$ 為 $C$ 點滾支承反力。

由整體水平力平衡：

$\sum F_x=0\quad\Rightarrow\quad A_x=0$

由 $A$ 點取矩：

$\sum M_A=0$

$12C_y-120(0)-120(18-3)=0$

由於左側 $a$ 點與 $A$ 點的水平距離為 $3\ \mathrm{m}$，右側 $d$ 點與 $A$ 點的水平距離為 $15\ \mathrm{m}$，故：

$12C_y+120(3)-120(15)=0$

$C_y=120\ \mathrm{kN}$

再由垂直力平衡：

$A_y+C_y-120-120=0$

$A_y=120\ \mathrm{kN}$

因此支承反力為：

$\boxed{A_x=0,\qquad A_y=120\ \mathrm{kN}\uparrow,\qquad C_y=120\ \mathrm{kN}\uparrow}$

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二、桿件內力

斜桿方向之方向餘弦為：

$\cos\theta=\frac{3}{5},\qquad \sin\theta=\frac{4}{5}$

以下以「拉力為正、壓力為負」表示。

1. $a$ 節點

假設 $ab$ 與 $aA$ 為拉力，則：

$\sum F_y=0:\qquad -\frac45 F_{aA}-120=0$

$F_{aA}=-150\ \mathrm{kN}$

所以 $aA$ 為壓力。

再由水平力平衡：

$F_{ab}+\frac35F_{aA}=0$

$F_{ab}=90\ \mathrm{kN}$

因此：

$\boxed{F_{aA}=150\ \mathrm{kN}\text{（壓）}}$

$\boxed{F_{ab}=90\ \mathrm{kN}\text{（拉）}}$

2. $A$ 節點

由垂直力平衡：

$120+\frac45F_{Ab}-120=0$

$F_{Ab}=0$

由水平力平衡：

$F_{AB}+\frac35(150)=0$

$F_{AB}=-90\ \mathrm{kN}$

因此：

$\boxed{F_{Ab}=0}$

$\boxed{F_{AB}=90\ \mathrm{kN}\text{（壓）}}$

3. $b$ 節點

由 $ab$ 桿件提供的水平力為 $90\ \mathrm{kN}$，故：

$F_{bc}=90\ \mathrm{kN}$

垂直方向沒有外力，得到：

$F_{bB}=0$

因此：

$\boxed{F_{bc}=90\ \mathrm{kN}\text{（拉）}}$

$\boxed{F_{bB}=0}$

4. $C$ 與 $d$ 節點

結構及荷重左右對稱，因此右側結果與左側對稱：

$\boxed{F_{cd}=90\ \mathrm{kN}\text{（拉）}}$

$\boxed{F_{Cd}=150\ \mathrm{kN}\text{（壓）}}$

$\boxed{F_{cC}=0}$

$\boxed{F_{BC}=90\ \mathrm{kN}\text{（壓）}}$

5. 中央斜桿

在 $c$ 節點，左右水平桿軸力相互平衡，且無外加垂直力，因此：

$\boxed{F_{Bc}=0}$

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三、桿件內力總表

桿件	內力
$aA$	$150\ \mathrm{kN}$，壓力
$ab$	$90\ \mathrm{kN}$，拉力
$Ab$	$0$
$AB$	$90\ \mathrm{kN}$，壓力
$bB$	$0$
$bc$	$90\ \mathrm{kN}$，拉力
$Bc$	$0$
$BC$	$90\ \mathrm{kN}$，壓力
$cC$	$0$
$cd$	$90\ \mathrm{kN}$，拉力
$Cd$	$150\ \mathrm{kN}$，壓力

結構圖上應標示：

核心觀念

本題考查：

1. 鉸接頭 $C$ 無法傳遞彎矩，故梁端 $C$ 的彎矩為零。
2. 桿件 $CD$ 為兩力桿，$C$、$D$ 兩端作用力必沿 $CD$ 軸線。
3. 利用整體及分離體平衡方程式求支承反力。
4. 梁 $ABC$ 的剪力圖與彎矩圖。
5. 以**虛功法（單位力法）**計算 $C$ 點垂直位移，須考慮梁的軸向變形、彎曲變形及桁架桿件 $CD$ 的軸向變形。

幾何尺寸為：

$$AB=5\,\mathrm m,\qquad BC=5\,\mathrm m$$ $$AD\text{ 的水平投影}=7\,\mathrm m,\qquad DC\text{ 的水平投影}=3\,\mathrm m$$

因此：

$$DC=\sqrt{3^2+4^2}=5\,\mathrm m$$

桿件 $CD$ 的方向餘弦為：

$$\cos\theta=\frac{3}{5},\qquad \sin\theta=\frac{4}{5}$$

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一、支承反力

令桿件 $CD$ 的軸力為 $T$，先假設為拉力。

在梁 $ABC$ 上，$C$ 點由桿件 $CD$ 所提供的作用力為：

$$C_x=-\frac{3}{5}T,\qquad C_y=-\frac{4}{5}T$$

對梁 $ABC$ 的 $A$ 點取矩：

$$100(5)-\frac{4}{5}T(10)=0$$ $$500-8T=0$$ $$T=62.5\,\mathrm{kN}$$

故 $CD$ 為拉力。

梁 $ABC$ 的支承反力

水平方向平衡：

$$A_x-\frac{3}{5}(62.5)=0$$ $$A_x=37.5\,\mathrm{kN}$$

鉛直方向平衡：

$$A_y+100-\frac{4}{5}(62.5)=0$$ $$A_y+100-50=0$$ $$A_y=-50\,\mathrm{kN}$$

負號表示 $A_y$ 方向向下。

梁端 $C$ 受到桿件作用力：

$$C_x=-37.5\,\mathrm{kN},\qquad C_y=-50\,\mathrm{kN}$$

$D$ 點支承反力

桿件 $CD$ 受拉，因此在 $D$ 點受到沿 $D\to C$ 方向的桿力：

$$(37.5,\,50)\,\mathrm{kN}$$

故 $D$ 點支承反力為：

$$D_x=-37.5\,\mathrm{kN}$$ $$D_y=-50\,\mathrm{kN}$$

即：

• $A_x=37.5\,\mathrm{kN}$，向右；
• $A_y=50\,\mathrm{kN}$，向下；
• $D_x=37.5\,\mathrm{kN}$，向左；
• $D_y=50\,\mathrm{kN}$，向下；
• $CD$ 軸力為 $62.5\,\mathrm{kN}$，拉力。

反力方向可表示如下：

 100 kN ↑
A ●───────────B──────────● C
 → 37.5 kN ←37.5 kN
 ↓ 50 kN ↓50 kN
 ╲
 ╲ T=62.5 kN
 ● D
 ←37.5 kN
 ↓50 kN

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二、構件 $ABC$ 剪力圖

取左側自由體，剪力正號採左截面向上。

區段 $AB$

左側僅有 $A_y=-50\,\mathrm{kN}$：

$$V_{AB}=-A_y=+50\,\mathrm{kN}$$

$B$ 點

$B$ 點有向上的集中力 $100\,\mathrm{kN}$，剪力跳升：

$$V_{BC}=50-100=-50\,\mathrm{kN}$$

$C$ 點

$C$ 點有向下的垂直力 $50\,\mathrm{kN}$，剪力回到零：

$$V_C=-50+50=0$$

因此剪力圖為：

• $A$ 至 $B$：$V=+50\,\mathrm{kN}$
• $B$ 至 $C$：$V=-50\,\mathrm{kN}$
• $C$ 端：回到 $0$

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三、構件 $ABC$ 彎矩圖

$A$ 點為鉸支承，因此：

$$M_A=0$$

區段 $AB$

令 $x$ 自 $A$ 向右量，$0\le x\le5\,\mathrm m$：

$$M(x)=-50x\quad(\mathrm{kN\cdot m})$$

故：

$$M_B=-50(5)=-250\,\mathrm{kN\cdot m}$$

區段 $BC$

令 $x$ 自 $A$ 向右量，$5\le x\le10\,\mathrm m$：

$$M(x)=-50x+100(x-5)$$ $$M(x)=50x-500$$

在 $C$ 點：

$$M_C=50(10)-500=0$$

核心觀念

本題指定以傾角變位法分析，且忽略軸向變形，因此：

• $A$ 點為鉸支承，支承彎矩為零，但旋轉角 $\theta_A$ 未知。
• $E、F$ 為固定支承，旋轉角為零。
• 忽略軸向變形後，$B、C$ 點無垂直位移，構架亦無側移。
• $CD$ 為剛性構件，故其曲率為零，且 $\theta_D=\theta_C$ $\Delta_D=CD\cdot\theta_C$

取逆時針旋轉為正，向上位移為正。已知

$L=6\text{ m},\qquad h=12\text{ m},\qquad EI=5\times10^4\text{ kN-m}^2$

$w=20\text{ kN/m}$

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一、傾角變位方程式

令各點旋轉角為

$\theta_A=a,\qquad \theta_B=b,\qquad \theta_C=c$

固定端旋轉角為

$\theta_E=\theta_F=0$

取

$k=\frac{EI}{L}=\frac{5\times10^4}{6}=8333.33\text{ kN-m}$

1. 構件 $AB$

$AB$ 兩端之固定端彎矩為

$M_{AB}^{F}=-\frac{wL^2}{12}=-60\text{ kN-m}$

$M_{BA}^{F}=+\frac{wL^2}{12}=+60\text{ kN-m}$

$A$ 點為鉸支承，因此 $M_{AB}=0$：

$\frac{EI}{L}(4a+2b)-60=0$

$4a+2b=-0.0072$

2. $B$ 點彎矩平衡

$AB$、$BC$ 及柱 $BE$ 在 $B$ 點之彎矩平衡為

$$\frac{EI}{L}(2a+4b) +\frac{EI}{L}(4b+2c) +\frac{4EI}{12}b=0$$

除以 $EI/L$：

$2a+10b+2c=0$

3. $C$ 點彎矩平衡

對構件 $BC$：

$M_{CB}=\frac{EI}{L}(2b+4c)+60$

柱 $CF$ 於 $C$ 點之彎矩為

$M_{CF}=\frac{4EI}{12}c$

剛性構件 $CD$ 所承受之均布載重對 $C$ 點產生順時針力矩：

$\frac{wL^2}{2}=360\text{ kN-m}$

因此 $C$ 點平衡式為

$$\frac{EI}{L}(2b+4c)+60 +\frac{4EI}{12}c-360=0$$

化簡得

$2b+6c=-0.036$

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二、求各節點旋轉角

聯立

$4a+2b=-0.0072$

$2a+10b+2c=0$

$2b+6c=-0.036$

得

$\boxed{\theta_A=a=-0.002736\text{ rad}}$

$\boxed{\theta_B=b=+0.001872\text{ rad}}$

$\boxed{\theta_C=c=-0.006624\text{ rad}}$

負號代表順時針旋轉。

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三、支承反力

1. 構件端彎矩

由傾角變位式可得各構件對節點之端彎矩：

構件 $AB$

$M_{AB}=0$

$M_{BA}=-43.2\text{ kN-m}$

構件 $BC$

$M_{BC}=+12.0\text{ kN-m}$

$M_{CB}=-249.6\text{ kN-m}$

柱 $BE$

$M_{BE}=+\frac{4EI}{12}b=+31.2\text{ kN-m}$

固定端彎矩大小為

$M_{EB}=-\frac{2EI}{12}b=-15.6\text{ kN-m}$

柱 $CF$

$M_{CF}=\frac{4EI}{12}c=-110.4\text{ kN-m}$

固定端彎矩大小為

$M_{FC}=-\frac{2EI}{12}c=+55.2\text{ kN-m}$

因此固定支承反力矩為

$$\boxed{M_E=+15.6\text{ kN-m}}$$ $$\boxed{M_F=-55.2\text{ kN-m}}$$

即 $E$ 點反力矩為逆時針，$F$ 點反力矩為順時針。

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2. 垂直反力