108 高普考高考三級 土木工程 結構學 考古題詳解

核心觀念

桁架桿件軸力的影響線，表示單位垂直載重沿橋面移動時，該桿件軸力的變化。以桿件 $PE$ 所在跨間的剪力 $V$，可由桁架幾何關係求得：

其中斜桿 $PE$ 的水平投影為 $4\ \mathrm{m}$、垂直投影為 $3\ \mathrm{m}$，故其長度為 $5\ \mathrm{m}$，幾何比為 $5/3$。正值表示拉力，負值表示壓力。

（一）求影響線的 $a$ 與 $b$

橋梁全長 $40\ \mathrm{m}$，支承於 $A$、$K$。單位載重位於 $x$ 處時，支承反力為：

單位載重位於 $E$（$x=16\ \mathrm{m}$）時，左側剪力為：

因此：

故 $a=2/3$。

單位載重位於 $F$（$x=20\ \mathrm{m}$）時，$R_A=1/2$，因此：

故 $b=5/6$。

影響線關鍵點為：

各點間以直線連接。

（二）求大卡車通過時的最大張力與壓力

車輛軸距為 $4\ \mathrm{m}$，三軸荷載依車頭至車尾為 $60、180、120\ \mathrm{kN}$。任一車位的桿件軸力，等於各軸荷載乘上該軸所在位置的影響線縱距後加總。車輛移動時，合力函數在各軸通過影響線轉折點時改變斜率，因此只需比較這些臨界車位。

核心觀念

本題指定使用單位力法求梁端 $C$ 的垂直變位。於 $C$ 點施加向下單位力，分別求實際載重與單位力造成的彎矩，再依虛功積分：

取向下為正。實際載重造成的彎矩與向下單位力造成的彎矩方向相同，因此乘積 $Mm$ 為正。

解題方法

令 $x$ 自固定端 $A$ 起算，$B$ 點位於 $x=2L$，$C$ 點位於 $x=3L$。以彎矩大小表示：

• 在 $AB$ 段，截面右側有 $B$ 點集中力 $P$、全段均布載重及 $C$ 點順時針力矩 $PL$，故

此段剛度為 $2EI$。

• 在 $BC$ 段，截面右側有剩餘均布載重及 $C$ 點力矩 $PL$，故

此段剛度為 $EI$。

在 $C$ 點施加向下單位力後，單位力彎矩大小為

因此分段代入單位力公式：

核心觀念

本題以傾角變位法分析剛接構架，未知量為節點轉角及側移。取桿端順時針彎矩、轉角為正，並忽略桿件軸向變形；因此 $AB$ 的頂端與 $BC$ 的 $C$ 端具有相同水平側移 $\Delta$，而兩端垂直位移均為零。

$C$ 點為滾支承，故端彎矩為零；$B$ 點為剛接節點，兩桿在 $B$ 點的桿端彎矩代數和為零。圖示的水平力沿 $BC$ 軸向作用，$24\ \mathrm{kN}$ 經 $BC$ 傳至 $B$ 點；因此柱 $AB$ 所受的水平合力為 $12+24=36\ \mathrm{kN}$。

解題方法

傾角變位法基本式為

其中 $\psi_{ij}$ 為桿件弦轉角。令 $AB$ 側移向右為 $\Delta$，則 $\psi_{AB}=\Delta/10$；$BC$ 無弦轉角，故 $\psi_{BC}=0$。只有 $BC$ 承受均布載重，其固定端彎矩大小為

依順時針為正，$M_{BC}^{F}=-30\ \mathrm{kN\cdot m}$、$M_{CB}^{F}=+30\ \mathrm{kN\cdot m}$。

為簡化計算，令 $X=EI\theta_B$、$Y=EI\theta_C$、$Z=EI\Delta$。各桿端彎矩為

先用 $C$ 點端彎矩為零：

核心觀念

本題考彎矩分配法：先求各桿的固定端彎矩，再依各節點的分配因數平衡不平衡彎矩，並將一半傳遞至另一端。

以下以桿端順時針彎矩為正。節點 $B$ 連接兩根桿件，$A$ 固定；$C$ 雖為滾支承，但受外加順時針力矩，因此節點 $C$ 的平衡式須納入該外力矩。

解題方法

1. 固定端彎矩

桿件 $AB$ 長 $10\ \mathrm{m}$，中央受 $80\ \mathrm{kN}$ 集中力：

桿件 $BC$ 長 $10\ \mathrm{m}$，全跨受 $8\ \mathrm{kN/m}$ 均布載重：

2. 分配因數

節點 $B$ 分配時，兩根桿件的遠端均視為固定，故：

節點 $C$ 只有桿件 $CB$，故其不平衡彎矩全數分配給 $CB$。各桿件的傳遞因數為 $1/2$。

3. 進行彎矩分配

節點 $C$ 初始不平衡彎矩為桿端固定端彎矩加外加順時針力矩：

因此在 $C$ 分配 $-346.67\ \mathrm{kN\cdot m}$，傳遞至 $B$ 為 $-173.33\ \mathrm{kN\cdot m}$。

節點 $B$ 此時不平衡彎矩為：