108 年高普考高考三級土木工程考古題與詳解

Question 1

有一鋼筋混凝土梁如下圖所示，矩形斷面寬度 $b=30\ \mathrm{cm}$ ， $d=53\ \mathrm{cm}$ 。梁承受工作均佈靜載重（含自重） $2600\ \mathrm{kgf/m}$ ，活載重 $3500\ \mathrm{kgf/m}$ 。混凝土 $f'_c=210\ \mathrm{kgf/cm^2}$ ，鋼筋降伏強度 $f_y=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$ 。以單筋梁設計，計算 B 點所需最少的拉力鋼筋面積 $A_s$ 。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示：梁由 A 點至 D 點，全長分為三段，每段長度為 $3\ \mathrm{m}$ ；A 點及 C 點設支承，B 點位於 A、C 之間。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查連續梁含懸臂段時的靜力分析，以及依民國 108 年命題頁指定之《混凝土結構設計規範》進行單筋梁撓曲設計。B 點位於 A、C 兩支承之間，距 A 點 $3\ \mathrm{m}$；梁的 $CD$ 段為 $3\ \mathrm{m}$ 懸臂，均佈載重作用於全長 $9\ \mathrm{m}$。 撓曲設計須滿足 $\phi Mn\ge Mu$。矩形單筋梁的名義彎矩為 $$ Mn=As fy\left(d-\frac{a}{2}\right),\qquad a=\frac{As fy}{0.85f'c b} $$ 解題方法 先將靜載重與活載重組合為因數化載重： $$ wu=1.2(2600)+1.6(3500) =8720\ \mathrm{kgf/m} $$ 取 A 點為力矩中心，依全梁平衡求支承反力。全梁長 $9\ \mathrm{m}$，C 點距 A 點 $6\ \mathrm{m}$： $$ RC(6)=wu(9)(4.5) \quad\Rightarrow\quad RC=6.75wu $$ $$ RA=9wu-RC=2.25wu $$ 在 B 點截面取左側自由體，$xB=3\ \mathrm{m}$，因此 B 點因數化彎矩為 $$ Mu(B)=RA(3)-wu\frac{3^2}{2} =2.25wu =19{,}620\ \mathrm{kgf\cdot m} =1{,}962{,}000\ \mathrm{kgf\cdot cm} $$ B 點為正彎矩，故下緣為拉力側。令 $\phi Mn=Mu$，代入 $b=30\ \mathrm{cm}$、$d=53\ \mathrm{cm}$、

Question 2

有一矩形斷面之鋼筋混凝土簡支梁，跨度為 $6\ \mathrm{m}$。梁斷面寬度 $b=40\ \mathrm{cm}$，有效梁深 $d=63\ \mathrm{cm}$。簡支梁承受係數化均佈載重 $wu=8\ \mathrm{tf/m}$。使用 D10 矩形閉合鋼筋為剪力鋼筋，一支 D10 鋼筋之截面積為 $0.71\ \mathrm{cm^2}$。混凝土 $f'c=350\ \mathrm{kgf/cm^2}$，剪力鋼筋 $f{yt}=2800\ \mathrm{kgf/cm^2}$。試計算此梁於支承處之剪力鋼筋間距。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 圖示為矩形梁斷面，寬度 $40\ \mathrm{cm}$，有效深度 $63\ \mathrm{cm}$。

Accepted Answer

核心觀念 本題考鋼筋混凝土梁的剪力設計：先在支承面內側距離 $d$ 的設計截面計算係數化剪力 $Vu$，再比較混凝土剪力強度與所需箍筋量，最後取剪力需求、最小剪力鋼筋量及箍筋間距限制中最嚴格的要求。依命題頁所列內政部營建署《混凝土結構設計規範》，以民國 108 年規定為準。 矩形閉合箍筋有兩肢，因此一組 D10 箍筋的剪力鋼筋面積為 $$ Av=2(0.71)=1.42\ \mathrm{cm^2} $$ 解題方法 簡支梁承受均佈載重，支承反力為 $$ RA=RB=\frac{wuL}{2} =\frac{(8)(6)}{2}=24\ \mathrm{tf} $$ 剪力設計截面取距支承面 $d=0.63\ \mathrm{m}$ 處，因此 $$ Vu=RA-wud =24-(8)(0.63)=18.96\ \mathrm{tf} $$ 非預力梁混凝土剪力強度採 $$ Vc=0.53\sqrt{f'c}\,bwd $$ 代入 $f'c=350\ \mathrm{kgf/cm^2}$、$bw=40\ \mathrm{cm}$、$d=63\ \mathrm{cm}$： $$ Vc=0.53\sqrt{350}(40)(63) =24{,}995\ \mathrm{kgf} \approx 25.00\ \mathrm{tf} $$ 剪力強度折減係數取 $\phi=0.75$，故 $$ \phi Vc=0.75(25.00)=18.75\ \mathrm{tf} $$ 因 $Vu=18.96\ \mathrm{tf}\phi Vc$，按強度需求計算的箍筋剪力為 $$ Vs=\frac{Vu}{\phi}-Vc =\frac{18.96}{0.75}-25.00 \approx0.28\ \mathrm{tf} =280\ \mathrm{kgf} $$ 由 $Vs=Avf{yt}d/s$，強度需求所需的鋼筋量為

Question 3

有一懸臂鋼筋混凝土梁，梁長度 $3\ \mathrm{m}$。斷面如下圖所示，梁寬 $b=30\ \mathrm{cm}$，有效梁深 $d=53\ \mathrm{cm}$，梁總深度 $h=60\ \mathrm{cm}$。此梁承載工作均佈靜載重（含自重）$1.5\ \mathrm{tf/m}$、均佈活載重 $2.0\ \mathrm{tf/m}$。混凝土 $f'c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，鋼筋降伏強度 $fy=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$。一支 D29 鋼筋之截面積為 $6.47\ \mathrm{cm^2}$。試計算因活載重造成梁自由端之瞬時撓度。 參考公式：懸臂梁承載均佈載重時，梁自由端之撓度為 $$\Delta=\frac{wL^4}{8EI}$$ $$Ec=15{,}000\sqrt{f'c}$$ $$fr=2.0\sqrt{f'c}$$ $$Ie=\left(\frac{M{cr}}{Ma}\right)^3Ig+\left[1-\left(\frac{M{cr}}{Ma}\right)^3\right]I{cr}\leq Ig$$ 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 圖示：矩形斷面寬度 $30\ \mathrm{cm}$，總深度 $60\ \mathrm{cm}$，有效深度 $53\ \mathrm{cm}$，配置 3 支 D29 鋼筋。

Accepted Answer

核心觀念 本題考懸臂梁在均佈載重下的自由端瞬時撓度，並考慮混凝土梁開裂後的有效慣性矩。依題目所給公式，先以服務載重造成的最大彎矩求有效慣性矩 $Ie$，再用活載重代入撓度公式，求活載重造成的瞬時撓度。 懸臂梁最大彎矩發生在固定端，故以固定端彎矩計算 $Ma$。截面在固定端的拉力位於上側，圖示 3 支 D29 鋼筋提供抗拉鋼筋面積。 解題方法 取鋼筋彈性模數 $Es=2.0	imes10^6\ \mathrm{kgf/cm^2}$，故模數比 $$ n=\frac{Es}{Ec} $$ 先計算材料性質及截面參數： $$ Ec=15{,}000\sqrt{280}=250{,}998\ \mathrm{kgf/cm^2} $$ $$ fr=2.0\sqrt{280}=33.47\ \mathrm{kgf/cm^2} $$ $$ As=3(6.47)=19.41\ \mathrm{cm^2},\qquad Ig=\frac{bh^3}{12}=\frac{30(60)^3}{12}=540{,}000\ \mathrm{cm^4} $$ 毛截面中性軸至受拉邊距離 $yt=30\ \mathrm{cm}$，因此開裂彎矩為 $$ M{cr}=\frac{fr Ig}{yt} =\frac{33.47(540{,}000)}{30} =602{,}388\ \mathrm{kgf\cdot cm} =6.024\ \mathrm{tf\cdot m} $$ 服務載重總和為 $1.5+2.0=3.5\ \mathrm{tf/m}$，固定端最大彎矩為 $$ Ma=\frac{wL^2}{2} =\frac{3.5(3)^2}{2} =15.75\ \mathrm{tf\cdot m} $$ 接著求開裂截面中性軸深度 $c$。由受壓混凝土面積一次矩與換算鋼筋面積平衡： $$ \frac{bc^2}{2}=nAs(d-c) $$

Question 4

下圖為鋼筋混凝土橫箍柱斷面，配置 6 支 D29 鋼筋。混凝土 $f'c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，鋼筋降伏強度 $fy=4200\ \mathrm{kgf/cm^2}$。一支 D29 鋼筋之截面積為 $6.47\ \mathrm{cm^2}$。柱承受的軸壓力為沿 $x$ 軸偏心，試計算此柱於平衡應變狀況下的計算軸壓強度 $Pb$ 與計算彎矩強度 $Mb$。 🖼️【此處有附圖，請對照原卷】 圖示：柱斷面為寬度 $60\ \mathrm{cm}$、深度 $40\ \mathrm{cm}$ 的矩形，配置 6 支 D29 鋼筋；鋼筋中心距左右兩側各 $7\ \mathrm{cm}$。圖中標示 $x$ 軸為水平方向、$y$ 軸為垂直方向。

Accepted Answer

核心觀念 本題考單向偏心受壓柱在平衡應變狀況下的斷面分析。依平面斷面假設，應變沿斷面深度線性分布；平衡狀況是混凝土受壓邊應變達 $0.003$，同時最外側受拉鋼筋達降伏應變。 軸力偏心沿水平 $x$ 方向，因此應變與壓力沿 $x$ 方向變化，受壓區寬度取垂直於彎曲方向的 $40\ \mathrm{cm}$。柱為橫箍柱，計算強度採用強度折減係數 $\phi=0.65$。 解題方法 取左側為受壓邊，最外側受拉鋼筋距受壓邊 $d=60-7=53\ \mathrm{cm}$。鋼筋降伏應變為 $$ \varepsilony=\frac{fy}{Es} =\frac{4200}{2.0	imes10^6} =0.0021 $$ 由平衡應變條件求中性軸深度： $$ \frac{0.003}{cb} =\frac{0.003+\varepsilony}{d} \quad\Rightarrow\quad cb=\frac{0.003}{0.003+0.0021}(53) =31.18\ \mathrm{cm} $$ 採用等值矩形應力塊，因 $f'c=280\ \mathrm{kgf/cm^2}$，$\beta1=0.85$： $$ a=\beta1cb=0.85(31.18)=26.50\ \mathrm{cm} $$ 斷面左右各有一組 3 支鋼筋，每組面積為 $$ As=3(6.47)=19.41\ \mathrm{cm^2} $$ 壓側鋼筋距受壓邊 $7\ \mathrm{cm}$，其應變為 $$ \varepsilon's =0.003\frac{cb-7}{cb} =0.00233\varepsilony $$ 因此壓側與拉側鋼筋均降伏。混凝土應力塊合力為 $$ Cc=0.85f'cba =0.85(280)(40)(26.50) =252{,}280\ \mathrm{kgf} $$ 壓側鋼筋位於應力塊內，採淨鋼筋力計算，須扣除該鋼筋所占面積上的混凝土壓力： $$ C's=As(fy-0.85f'c) =19.41(4200-238) =76{,}902\ \mathrm{kgf} $$

108 高普考高考三級土木工程鋼筋混凝土學與設計考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

第三題25 分

第四題25 分

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