110 高普考高考三級 土木工程 結構學 考古題詳解

110 年・高普考・高考三級・土木工程
試題代碼 結構學

第 一 題20 分

圖一中有（1）、（2）、（3）、（4）四個平面結構，小圓符號代表鉸接或滾接，否則為剛接。請判定它們為不穩定結構或穩定結構？

若為不穩定結構，請說明不穩定原因；若為穩定結構，請判別其靜不定的次數 RR。（R=0R=0，即表示為靜定結構。）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

判斷平面結構時，先確認支承與構件配置能否阻止整體或局部運動，再計算靜不定次數。靜不定次數為零，不代表結構必然穩定；若幾何配置形成機構，仍是不穩定結構。

  • 平面剛架以內鉸切分成 bb 個剛體，若有 rr 個外部反力分量、hh 個內鉸，穩定時的靜不定次數為 R=r+2h−3bR=r+2h-3b
  • 平面桁架在確認穩定後，可用 R=m+r−2jR=m+r-2j 其中 mm 為桿件數、rr 為支承反力分量數、jj 為節點數。這個計數式不能取代穩定性檢查。

解題方法與各結構判斷

（1）穩定，R=2R=2

圖（1）有 5 個內鉸，將梁切成 b=6b=6 個剛體。支承由左至右為固定端型的鉸支承、滾支承、鉸支承、鉸支承、滾支承、鉸支承，反力分量數為

r=2+1+2+2+1+2=10r=2+1+2+2+1+2=10

代入剛架公式：

R=r+2h−3b=10+2(5)−3(6)=2R=r+2h-3b=10+2(5)-3(6)=2

各梁段均由支承與內鉸連接，沒有可使整體自由移動的機構，因此結構穩定，靜不定二次。

（2）不穩定：有機構

本圖有左、右兩個外部鉸支承、一個中央滾支承，以及頂部兩個內鉸。按剛體計數，r=5r=5、h=2h=2、b=3b=3，得到

R=5+2(2)−3(3)=0R=5+2(2)-3(3)=0

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 二 題25 分

圖二為一水平梁，此梁 ACAC 段及 BCBC 段之斷面性質不同，ACAC 段為 EIEI、BCBC 段則為剛性（EI=∞EI=\infty），相關尺寸配置如圖二所示。

若於梁的 AA 端施加一彎矩 MM，試以共軛梁法求解此梁最大之垂直位移及其與 AA 點的距離，另求解 AA 點之轉角。

（本題以其他方法求解，一律不予計分。）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

共軛梁法中，實梁的 M/EIM/EI 圖作為共軛梁的分布荷載；共軛梁的剪力對應實梁轉角，共軛梁的彎矩對應實梁垂直位移。實梁 BCBC 段剛性，因此該段曲率為零，共軛梁在 BCBC 段沒有分布荷載。

依圖示，AA 端施加順時針彎矩 MM。以下列位移與轉角的大小計算，並於答案標示方向。

解題方法

取 AA 為 x=0x=0，CC 為 x=Lx=L，BB 為 x=2Lx=2L。實梁的彎矩圖在 ACAC 段由 MM 線性變至 M/2M/2，故共軛梁在 ACAC 段的荷載大小為

q(x)=MEI(1−x2L),0≤x≤Lq(x)=\frac{M}{EI}\left(1-\frac{x}{2L}\right),\qquad 0\le x\le L

在 CBCB 段 q=0q=0。共軛梁兩端皆為簡支，對 AA 點取矩，可得共軛梁反力：

RB(2L)=∫0Lxq(x) dx=ML23EI⇒RB=ML6EIR_B(2L)=\int_0^L xq(x)\,dx =\frac{ML^2}{3EI} \quad\Rightarrow\quad R_B=\frac{ML}{6EI} RA=∫0Lq(x) dx−RB=3ML4EI−ML6EI=7ML12EIR_A=\int_0^L q(x)\,dx-R_B =\frac{3ML}{4EI}-\frac{ML}{6EI} =\frac{7ML}{12EI}

共軛梁 AA 端剪力對應實梁 AA 點轉角，因此

∣θA∣=RA=7ML12EI|\theta_A|=R_A=\frac{7ML}{12EI}

共軛梁在 ACAC 段的彎矩為

Mc(x)=RAx−∫0xq(s)(x−s) ds=MEI(7Lx12−x22+x312L)M_c(x)=R_Ax-\int_0^x q(s)(x-s)\,ds =\frac{M}{EI}\left(\frac{7Lx}{12}-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{12L}\right)
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 三 題30 分

圖三顯示一剛架結構，BB 點及 CC 點為剛接，剛架尺寸配置及各桿件斷面之 EIEI 值如圖所示。

若於 CDCD 桿件中點施加一集中載重 PP，忽略各桿件軸向變形，試用彎矩分配法求解 AA 點、BB 點、CC 點之端彎矩 MABM_{AB}、MBAM_{BA} 及 MBCM_{BC} 及 MCBM_{CB} 及 CC 點垂直位移 ΔC\Delta_C，並請繪製此剛架結構受力後之彈性變形圖。

（本題以其他方法求解，一律不予計分。）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考彎矩分配法處理「斜桿剛架、構件軸向變形忽略、接頭平移與轉動耦合」的能力。計算時須同時考慮：

  • 各接頭的轉動平衡。
  • 桿件弦轉角造成的側移彎矩。
  • CC 點受導向支承限制水平位移，但允許垂直位移。
  • DD 點為鉸支承，故 MDC=0M_{DC}=0。

以下取端彎矩順時針為正，CC 點垂直位移向上為正。

解題方法與計算

令 CC 點向上位移為 dd，各接頭順時針轉角為 θB,θC,θD\theta_B,\theta_C,\theta_D。

忽略桿件軸向變形後，幾何相容關係為：

uC=uD=0,vB=vC=d,45uB+35vB=0u_C=u_D=0,\qquad v_B=v_C=d,\qquad \frac45u_B+\frac35v_B=0

因此 uB=−3d/4u_B=-3d/4。由此可得：

  • ABAB 桿的橫向端位移為 5d/45d/4，弦轉角順時針為 −d/(4L)-d/(4L)。
  • BCBC 桿兩端橫向位移相同，弦轉角為 00。
  • CDCD 桿的弦轉角順時針為 d/(4L)d/(4L)。

各接頭的轉動分配因數，以遠端固定計算，BB 點的 BA、BCBA、BC 桿各為 1/21/2；CC 點的 CB、CDCB、CD 桿分別為 4/7、3/74/7、3/7。因架構會側移，分配時還須計入弦轉角所引起的側移彎矩。

CDCD 桿長為 4L4L，中點受向下集中力 PP；以順時針為正，其固定端彎矩為：

MCDF=−P(4L)8=−PL2,MDCF=+PL2M_{CD}^{F}=-\frac{P(4L)}8=-\frac{PL}{2}, \qquad M_{DC}^{F}=+\frac{PL}{2}

依彎矩分配法的斜率位移關係，各端彎矩可寫為：

MAB=2EIL(θB+3d4L),MBA=2EIL(2θB+3d4L),MBC=2EIL(2θB+θC),MCB=2EIL(θB+2θC),MCD=2EIL(2θC+θD−3d4L)−PL2,MDC=2EIL(2θD+θC+3d4L)+PL2.\begin{aligned} M_{AB}&=\frac{2EI}{L}\left(\theta_B+\frac{3d}{4L}\right),\\ M_{BA}&=\frac{2EI}{L}\left(2\theta_B+\frac{3d}{4L}\right),\\ M_{BC}&=\frac{2EI}{L}(2\theta_B+\theta_C),\\ M_{CB}&=\frac{2EI}{L}(\theta_B+2\theta_C),\\ M_{CD}&=\frac{2EI}{L}\left(2\theta_C+\theta_D-\frac{3d}{4L}\right)-\frac{PL}{2},\\ M_{DC}&=\frac{2EI}{L}\left(2\theta_D+\theta_C+\frac{3d}{4L}\right)+\frac{PL}{2}. \end{aligned}
🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

第 四 題25 分

圖四顯示一懸臂梁 ABAB 與二力桿 BCBC 於 BB 點鉸接處使用一螺旋彈簧連結，此彈簧勁度為 ksk_s，桿件 ABAB 之斷面性質為 EIEI、二力桿件 BCBC 為 EAEA。

已知 BB 點垂直位移及旋轉之自由度分別為 r1r_1 及 r2r_2，相應之垂直力 R1R_1 為 PP、彎矩 R2R_2 為 MM。

試依據圖中所示之自由度 r1r_1 及 r2r_2，以直接勁度法求此結構之勁度矩陣 [K]2×2[K]_{2\times 2}；若考慮 M=0M=0，試求僅有外力 PP 作用下之勁度矩陣 [K]1×1[K]_{1\times 1}，並請依照 [K]1×1[K]_{1\times 1} 求解 BB 點之垂直位移 ΔB\Delta_B。

已知： EAL=EIL3;ks=5EIL\frac{EA}{L}=\frac{EI}{L^3};\qquad k_s=\frac{5EI}{L}

（本題以其他方法求解，一律不予計分。）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

登入後即可作答並保存紀錄。

這一題的完整詳解

核心觀念

本題考懸臂梁、二力桿與轉動彈簧的直接勁度法組裝。依題圖取 BB 點向下位移 r1r_1、順時針轉角 r2r_2 為正；相應的廣義力為向下的 R1=PR_1=P 與順時針的 R2=MR_2=M。

整體勁度矩陣由三部分相加：懸臂梁 ABAB 的端點勁度、二力桿 BCBC 的軸向勁度，以及轉動彈簧的轉動勁度。題示 ks=5EI/Lk_s=5EI/L，其單位為力矩除以轉角，因此彈簧作用於轉角自由度。

解題方法

以 [r1,r2]T[r_1,r_2]^T 為自由度向量，懸臂梁 ABAB 固定端在 AA，端點勁度矩陣為

[K]AB=[12EIL3−6EIL2−6EIL24EIL].[K]_{AB} = \begin{bmatrix} \dfrac{12EI}{L^3} & -\dfrac{6EI}{L^2}\\[4pt] -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{4EI}{L} \end{bmatrix}.

二力桿 BCBC 僅提供 BB 點垂直方向的軸向勁度，因此

[K]BC=[EAL000].[K]_{BC} = \begin{bmatrix} \dfrac{EA}{L} & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}.

轉動彈簧只提供轉動勁度：

[K]s=[000ks]=[0005EIL].[K]_s = \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & k_s \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & \dfrac{5EI}{L} \end{bmatrix}.

三者組裝後，利用 EAL=EIL3\dfrac{EA}{L}=\dfrac{EI}{L^3}：

[K]2×2=[K]AB+[K]BC+[K]s=[13EIL3−6EIL2−6EIL29EIL].[K]_{2\times2} = [K]_{AB}+[K]_{BC}+[K]_s = \begin{bmatrix} \dfrac{13EI}{L^3} & -\dfrac{6EI}{L^2}\\[4pt] -\dfrac{6EI}{L^2} & \dfrac{9EI}{L} \end{bmatrix}.

令 M=0M=0，整體平衡方程式為

🔒

後續完整解題步驟與【答案】

免費註冊，享 3 天全站完整詳解閱覽。

免費註冊

其他考古題

土木工程《結構學》其他年度

114113112111109108