109 高普考高考三級 土木工程 結構學 考古題詳解

109 年・高普考・高考三級・土木工程
試題代碼 結構學

第 一 題25 分

如圖一所示結構，承受垂直集中載重 48 kN48\,\mathrm{kN}。aa 點及 dd 點為鉸支承，cc 點連接一軸力桿件 cdcd。桿件 cdcd 彈性模數 EE 與斷面積 AA 之乘積為 EA=62500 kNEA=62500\,\mathrm{kN}，而桿件 abab 及 bcbc 有相同之彈性模數 EE 與慣性矩 II，且 EI=318000 kN⋅m2EI=318000\,\mathrm{kN\cdot m^2}。

若不考慮桿件 abab 及 bcbc 的軸向變形，求支承 aa 點反力、cdcd 桿件軸力及 bb 點水平位移。

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核心觀念

本題是平面剛架與軸力桿共同作用的位移法問題。桿件 abab、bcbc 不考慮軸向變形，因此其軸向位移受限；桿件 cdcd 則以軸向彈簧剛度 EA/LEA/L 表示。剛架的彎曲變形以各節點位移與轉角描述。

依圖取座標 a=(0,0)a=(0,0)、b=(3,4)b=(3,4)、c=(9,4)c=(9,4)、d=(12,8)d=(12,8)，所以 ab=5 mab=5\,\mathrm m、bc=6 mbc=6\,\mathrm m、cd=5 mcd=5\,\mathrm m。

解題方法

令 ss 為節點 bb 沿 abab 桿件局部法線方向的位移，令 vcv_c 為 cc 點垂直位移。由 abab、bcbc 軸向不變形：

3ub+4vb=0,uc=ub3u_b+4v_b=0,\qquad u_c=u_b

因此

ub=uc=−45s,vb=35su_b=u_c=-\frac45s,\qquad v_b=\frac35s

桿件 cdcd 的軸向剛度為

kcd=EAL=625005=12500 kN/mk_{cd}=\frac{EA}{L}=\frac{62500}{5}=12500\ \mathrm{kN/m}

以 cc 點朝 dd 方向的位移分量表示彈簧變形座標：

δ=35uc+45vc=−1225s+45vc\delta=\frac35u_c+\frac45v_c =-\frac{12}{25}s+\frac45v_c

取廣義位移 q=[s,θb,vc,θc]Tq=[s,\theta_b,v_c,\theta_c]^T。將 abab、bcbc 的彎曲剛度、cdcd 軸向剛度，以及 bcbc 跨中向下 48 kN48\,\mathrm{kN} 集中力的等效節點力組合，可得：

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第 二 題25 分

如圖二所示剛架，aa 點及 dd 點為鉸支承，各桿件有相同之彈性模數 EE 值與慣性矩 II 值。abab 桿件承受水平均布載重 6 kN/m6\,\mathrm{kN/m}，cc 點承受垂直集中載重 16 kN16\,\mathrm{kN}。

不考慮各桿件的軸向變形，求各支承反力及 bcbc 桿件的端點彎矩。

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核心觀念

本題考剛架的位移法／矩陣剛度法，並利用「不考慮桿件軸向變形」建立幾何相容條件。各桿件的 EIEI 相同，因此求得的支承反力與端點彎矩不需要知道 EIEI 的數值。

取水平向右位移為正、轉角逆時針為正。由圖可讀得 ab=4 mab=4\,\mathrm m、bc=2 mbc=2\,\mathrm m，而 cdcd 為 3 ⁣− ⁣4 ⁣− ⁣53\!-\!4\!-\!5 桿件。

解題方法

令 bb 點水平位移為 δ\delta。因各桿件軸向不變形，幾何相容條件為

vb=0,uc=ub=δ,vc=34δ.v_b=0,\qquad u_c=u_b=\delta,\qquad v_c=\frac34\delta.

因此未知自由度可取為 δ,θb,θc\delta,\theta_b,\theta_c。a,da,d 為鉸支承，故兩端彎矩為零；將支承端轉角凝縮後，按各桿件彎曲剛度組裝，可得

EI[297320−1516−3940−15161141−39401135][δθbθc]=[3120].EI \begin{bmatrix} \frac{297}{320}&-\frac{15}{16}&-\frac{39}{40}\\ -\frac{15}{16}&\frac{11}{4}&1\\ -\frac{39}{40}&1&\frac{13}{5} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \delta\\ \theta_b\\ \theta_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\\12\\0 \end{bmatrix}.

右側荷載向量中，abab 桿均布載重對 δ\delta 的等效荷載為 15 kN15\,\mathrm{kN}；cc 點集中載重因 vc=34δv_c=\tfrac34\delta，對 δ\delta 的廣義荷載為 −16(34)=−12 kN-16(\tfrac34)=-12\,\mathrm{kN}，故合計為 3 kN3\,\mathrm{kN}。對 bb 點轉角的等效荷載為 12 kN m12\,\mathrm{kN\,m}。

解得

EIδ=13.6533,EIθb=8.32,EIθc=1.92.EI\delta=13.6533,\qquad EI\theta_b=8.32,\qquad EI\theta_c=1.92.

以 bcbc 桿端彎矩的節點作用矩為正，且逆時針為正。bcbc 長度為 2 m2\,\mathrm m，其端點彎矩為

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第 三 題25 分

如圖三所示之平面桁架結構，cc 點為鉸支承，ee 點為滾支承。各桿件都有相同之彈性模數 EE 值與斷面積 AA 值，且 EA=5250 kNEA=5250\,\mathrm{kN}。aa 點承受垂直集中載重 48 kN48\,\mathrm{kN}。

已知 bdbd 桿件為 3 kN3\,\mathrm{kN} 軸拉力、bebe 桿件及 dede 桿件軸力為零，求桁架其他桿件的軸力及 bb 點的垂直位移。

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核心觀念

本題先用各結點的平衡方程式求桿件軸力，再以軸向變形關係求位移：

ΔL=NLEA\Delta L=\frac{NL}{EA}

其中拉力取正、壓力取負。斜桿的伸長量等於桿件方向向量在兩端相對位移上的投影。

解題方法

取 xx 軸向右、yy 軸向上。幾何尺寸為 ac=bd=3 mac=bd=3\,\mathrm m、cd=ab=4 mcd=ab=4\,\mathrm m，斜桿長度為 5 m5\,\mathrm m。

由全桁架平衡，且 bebe、dede 軸力為零，可得 ee 點垂直反力為零；因此 cc 點反力為 Cx=0C_x=0、Cy=48 kNC_y=48\,\mathrm{kN}。

在 bb 點列平衡。已知 bdbd 為 3 kN3\,\mathrm{kN} 拉力，故其對 bb 點作用方向向下：

∑Fy=0:−35Nbc−3=0⇒Nbc=−5 kN\sum F_y=0:\quad -\frac{3}{5}N_{bc}-3=0 \quad\Rightarrow\quad N_{bc}=-5\,\mathrm{kN} ∑Fx=0:−Nab−45Nbc=0⇒Nab=4 kN\sum F_x=0:\quad -N_{ab}-\frac{4}{5}N_{bc}=0 \quad\Rightarrow\quad N_{ab}=4\,\mathrm{kN}

在 dd 點列平衡：

∑Fy=0:3+35Nad=0⇒Nad=−5 kN\sum F_y=0:\quad 3+\frac{3}{5}N_{ad}=0 \quad\Rightarrow\quad N_{ad}=-5\,\mathrm{kN} ∑Fx=0:−45Nad−Ncd=0⇒Ncd=4 kN\sum F_x=0:\quad -\frac{4}{5}N_{ad}-N_{cd}=0 \quad\Rightarrow\quad N_{cd}=4\,\mathrm{kN}

最後在 cc 點列垂直方向平衡：

Nac+35Nbc+48=0⇒Nac=−45 kNN_{ac}+\frac{3}{5}N_{bc}+48=0 \quad\Rightarrow\quad N_{ac}=-45\,\mathrm{kN}

因此其餘桿件軸力為：

桿件軸力
acac45 kN45\,\mathrm{kN} 壓力
abab4 kN4\,\mathrm{kN} 拉力
adad5 kN5\,\mathrm{kN} 壓力
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第 四 題25 分

如圖四所示之平面剛架結構，aa、cc、dd、ff 點為固定端，bb 點及 ee 點為剛性接頭。各桿件有相同之彈性模數 EE 與慣性矩 II，且 EI=4000 kN⋅m2EI=4000\,\mathrm{kN\cdot m^2}。

不考慮各桿件的軸向變形，求 bb 點轉角、abab 桿件的端點彎矩及 aa 點反力。

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核心觀念

本題用斜率位移法分析剛架。剛性接頭 bb、ee 的轉角未知；桿件端彎矩由斜率位移方程求得，再以接頭力矩平衡求轉角。題目指定忽略軸向變形，因此連接 bb、ee 的直桿不伸長；本題上下梁受力相同，兩節點的轉角與垂直位移相同，直桿不產生彎曲。

以下以順時針端彎矩及轉角為正。

解題方法

將上方梁分為 abab、bcbc 兩跨，各長 4 m4\,\mathrm m。abab 跨中央受向下 16 kN16\,\mathrm{kN}；bcbc 跨中央受向上 16 kN16\,\mathrm{kN}。固定端跨的固定端彎矩大小為

PL8=16(4)8=8 kN⋅m.\frac{PL}{8} =\frac{16(4)}{8} =8\,\mathrm{kN\cdot m}.

依順時針為正，兩跨固定端彎矩分別為

桿件左端固定端彎矩右端固定端彎矩ab−8+8bc+8−8(kN⋅m)\begin{array}{c|cc} \text{桿件} & \text{左端固定端彎矩} & \text{右端固定端彎矩}\\ \hline ab & -8 & +8\\ bc & +8 & -8 \end{array} \qquad(\mathrm{kN\cdot m})

令 bb 點轉角為 θb\theta_b。因兩端 aa、cc 固定，且節點沒有側移，斜率位移方程為

Mab=2EI4θb−8=EI2θb−8,Mba=2EI4(2θb)+8=EIθb+8,Mbc=2EI4(2θb)+8=EIθb+8,Mcb=2EI4θb−8=EI2θb−8.\begin{aligned} M_{ab}&=\frac{2EI}{4}\theta_b-8 =\frac{EI}{2}\theta_b-8,\\ M_{ba}&=\frac{2EI}{4}(2\theta_b)+8 =EI\theta_b+8,\\ M_{bc}&=\frac{2EI}{4}(2\theta_b)+8 =EI\theta_b+8,\\ M_{cb}&=\frac{2EI}{4}\theta_b-8 =\frac{EI}{2}\theta_b-8. \end{aligned}

直桿 bebe 不彎曲，因此其對 bb 點的端彎矩為零。對 bb 點列力矩平衡：

Mba+Mbc=0M_{ba}+M_{bc}=0
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