114 高普考高考三級 土木工程 材料力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查對稱二力桿系統之：

• 節點力平衡
• 桿件軸向應力與應變
• 胡克定律
• 軸向變形公式
• 對稱性與位移相容條件

桿件內力為軸力，軸向變形公式為

$$\delta=\frac{NL}{AE}$$

其中：

• $N$：桿件軸力
• $L$：桿長
• $A$：斷面積
• $E$：彈性模數

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解題方法

1. 由對稱性判斷

結構及載重左右對稱，因此

• $AC$ 與 $BC$ 的軸力大小相同
• $C$ 點僅產生鉛直位移
• 水平位移為零

兩桿與水平線夾角皆為 $30^\circ$。

2. 求兩桿軸力

設兩桿軸力皆為 $N$。在 $C$ 點取鉛直方向平衡：

$$2N\sin 30^\circ=100\ \mathrm{kN}$$

因此

$$N=\frac{100}{2\sin30^\circ} =100\ \mathrm{kN}$$

兩桿皆受拉力，故

$$\boxed{N_{AC}=N_{BC}=100\ \mathrm{kN}\quad\text{(拉力)}}$$

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3. 求桿件斷面積

圓桿半徑為

$$r=2\ \mathrm{cm}=0.02\ \mathrm{m}$$

斷面積為

$$A=\pi r^2 =\pi(0.02)^2 =1.2566\times10^{-3}\ \mathrm{m^2}$$

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4. 求兩桿軸向變形量

已知

$$L=1\ \mathrm{m}$$ $$E=200\ \mathrm{GPa} =200\times10^9\ \mathrm{Pa}$$

套用軸向變形公式：

$$\delta_{AC} =\frac{N_{AC}L}{AE}$$ $$\delta_{AC} = \frac{(100\times10^3)(1)} {\left[\pi(0.02)^2\right](200\times10^9)}$$ $$\delta_{AC}=3.979\times10^{-4}\ \mathrm{m} =0.398\ \mathrm{mm}$$

由對稱性，

$$\boxed{\delta_{AC}=\delta_{BC}=0.398\ \mathrm{mm}}$$

兩桿皆為拉力，因此皆為伸長。

核心觀念

本題考查：

1. 滑輪與繩索張力之受力分析。
2. 靜定梁支承反力。
3. 集中力造成剪力圖跳躍。
4. 集中力偶造成彎矩圖跳躍。
5. 彎曲正應力公式：

$$\sigma=\frac{Mc}{I}$$

依圖示，梁上各點座標取為：

$$A(0,0),\quad B(3,0),\quad C(6,0),\quad D(9,0)$$

且滑輪位置為：

$$E(6,4)$$

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一、繩索及滑輪受力

繩索張力為

$$T=500\ \text{N}$$

由 $B$ 至 $E$ 的繩段為 $3$-$4$-$5$ 三角形，因此在 $B$ 點，繩索對梁的作用力為

$$T_{Bx}=500\left(\frac{3}{5}\right)=300\ \text{N}$$ $$T_{By}=500\left(\frac{4}{5}\right)=400\ \text{N}$$

即 $B$ 點受向右 $300\ \text{N}$、向上 $400\ \text{N}$。

滑輪 $E$ 所受兩段繩索作用力為：

• 斜向左下：$(-300,-400)\ \text{N}$
• 水平向右：$(500,0)\ \text{N}$

所以滑輪對結構的合力為

$$\mathbf{F}_E=(200,-400)\ \text{N}$$

亦即在 $E$ 點作用向右 $200\ \text{N}$、向下 $400\ \text{N}$。

將 $E$ 點的力移至梁上的 $C$ 點時，產生集中力偶：

$$M_C=200(4)=800\ \text{N}\cdot\text{m}$$

方向為順時針。

因此梁的主要垂直及彎矩外力為：

• $B$ 點：向上 $400\ \text{N}$
• $C$ 點：向下 $400\ \text{N}$
• $C$ 點：順時針集中力偶 $800\ \text{N}\cdot\text{m}$

水平力只造成軸力，不影響剪力圖與彎矩圖。

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二、支承反力

設 $A$ 點垂直反力為 $A_y$，$D$ 點垂直反力為 $D_y$。

垂直方向平衡：

$$A_y+D_y+400-400=0$$ $$A_y+D_y=0$$

以 $A$ 點取力矩：

$$9D_y+400(3)-400(6)-800=0$$ $$9D_y+1200-2400-800=0$$ $$D_y=222.22\ \text{N}$$

因此

$$A_y=-222.22\ \text{N}$$

負號表示 $A$ 點實際為向下 $222.22\ \text{N}$。

水平方向：

$$A_x+300+200=0$$ $$A_x=-500\ \text{N}$$

即 $A$ 點水平反力向左 $500\ \text{N}$。

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三、剪力圖

採用圖 2(b) 的正剪力定義，正剪力在左側截面向下。

區間 $AB$：$0<x<3$

$$V=-222.22\ \text{N}$$

$B$ 點

$B$ 點有向上 $400\ \text{N}$ 集中力，剪力跳升：

$$-222.22+400=177.78\ \text{N}$$

區間 $BC$：$3<x<6$

$$V=177.78\ \text{N}$$

$C$ 點

$C$ 點有向下 $400\ \text{N}$ 集中力，剪力跳降：

$$177.78-400=-222.22\ \text{N}$$

區間 $CD$：$6<x<9$

$$V=-222.22\ \text{N}$$

$D$ 點

$D$ 點反力向上 $222.22\ \text{N}$，剪力回到零。

剪力圖關鍵數值為：

$$\boxed{ V_{AB}=-222.22\ \text{N},\quad V_{BC}=+177.78\ \text{N},\quad V_{CD}=-222.22\ \text{N} }$$

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四、彎矩圖

梁端點 $A,D$ 為鉸支承及滾支承，因此：

$$M_A=M_D=0$$

區間 $AB$

取距離 $A$ 點 $x$ 的截面：

$$M(x)=-222.22x$$

因此：

核心觀念

本題使用簡支梁的：

1. 靜力平衡方程式求支承反力。
2. 彎矩與曲率關係式 $EI\frac{d^2v}{dx^2}=M_b(x)$
3. 簡支梁邊界條件 $v(0)=0,\qquad v(L)=0$

依圖示座標，原點在 $A$ 點，$x$ 軸向右、$y$ 軸向上；集中彎矩於 $C$ 點為順時針方向。令 $v(x)$ 為梁的向上變形。

解題方法

梁長

$L=2\ \mathrm{m}$

外加順時針彎矩大小為 $M$。以 $A$ 點取力矩平衡：

$C_yL-M=0$

因此

$C_y=\frac{M}{L}$

再由垂直力平衡：

$A_y+C_y=0$

得

$A_y=-\frac{M}{L}$

取距離 $A$ 點為 $x$ 的截面，左側自由體彎矩為

$M_b(x)=A_yx=-\frac{M}{L}x$

因此梁的微分方程式為

$EI\frac{d^2v}{dx^2}=-\frac{M}{L}x$

積分兩次：

$\frac{dv}{dx}=-\frac{M}{2LEI}x^2+C_1$

$v(x)=-\frac{M}{6LEI}x^3+C_1x+C_2$

由 $A$ 點為支承點：

$v(0)=0\Rightarrow C_2=0$

由 $C$ 點為支承點：

$v(L)=0$

所以

$-\frac{ML^2}{6EI}+C_1L=0$

$C_1=\frac{ML}{6EI}$

故整根梁的變形方程式為

$\boxed{v(x)=\frac{M}{6LEI}\left(L^2x-x^3\right)},\qquad 0\le x\le L$

核心觀念

本題考查懸臂梁在均布載重與端部彈簧反力作用下的：

1. 梁端撓度與彈簧變形相容條件。
2. 彈簧勁度公式 $P=k\delta$。
3. 彎矩分布與彎曲正應力公式：

$$\sigma=\frac{Mc}{I}$$

其中 $M$ 為最大彎矩，$c$ 為中性軸至外緣距離，$I$ 為截面慣性矩。

一、求彈簧勁度 $k$

1. 截面性質

正方形截面邊長為：

$$b=h=0.1\ \mathrm{m}$$

截面慣性矩：

$$I=\frac{bh^3}{12} =\frac{(0.1)(0.1)^3}{12} =8.333\times10^{-6}\ \mathrm{m^4}$$

彈性模數：

$$E=200\ \mathrm{GPa}=200\times10^9\ \mathrm{N/m^2}$$

因此：

$$EI=(200\times10^9)(8.333\times10^{-6}) =1.667\times10^6\ \mathrm{N\,m^2}$$

2. B 端撓度

均布載重 $q$ 作用於固定端懸臂梁時，B 端向下撓度為：

$$\delta_q=\frac{qL^4}{8EI}$$

代入 $q=1000\ \mathrm{N/m}$、$L=2\ \mathrm{m}$：

$$\delta_q =\frac{(1000)(2)^4}{8(1.667\times10^6)} =0.0012\ \mathrm{m}$$

B 端彈簧產生 $250\ \mathrm{N}$ 向上反力，對梁造成向上撓度：

$$\delta_P=\frac{PL^3}{3EI}$$

其中 $P=250\ \mathrm{N}$，故：

$$\delta_P =\frac{(250)(2)^3}{3(1.667\times10^6)} =0.0004\ \mathrm{m}$$

梁端的實際向下撓度為：

$$\delta_B=\delta_q-\delta_P =0.0012-0.0004 =0.0008\ \mathrm{m}$$

彈簧的壓縮量等於 B 端向下位移，因此：

$$P=k\delta_B$$ $$k=\frac{P}{\delta_B} =\frac{250}{0.0008} =312500\ \mathrm{N/m}$$

所以：

$$\boxed{k=3.125\times10^5\ \mathrm{N/m}}$$

亦即：

$$\boxed{k=312.5\ \mathrm{kN/m}}$$