113 高普考高考三級 土木工程 材料力學 考古題詳解

113 年・高普考・高考三級・土木工程
試題代碼 材料力學

第 一 題25 分

參考（圖 1）之方向定義，試寫出梁的撓曲變形函數 u(x)u(x) 與分布載重 q(x)q(x) 之間的關係式，並列舉有關此式至少三個基本假設。

試以此關係式出發，推導圖 1 左端固定之懸臂梁撓曲變形函數，以及梁右端點 bb 之順時針旋轉傾斜角 θ\theta 與垂直向下位移 Δ\Delta。

令 EIEI 為此梁之撓曲剛度，q0q_0 為載重係數，兩者皆為常數。

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核心觀念

本題考的是 Euler–Bernoulli 梁的撓曲微分方程，以及利用懸臂梁的邊界條件求撓度與轉角。圖中取 xx 軸向右、撓度 u(x)u(x) 向上為正；分布載重 q(x)q(x) 的箭頭向下，因此以下將 q(x)q(x) 定義為向下載重的正值大小。

在小變形下，梁的曲率近似為 u′′(x)u''(x)。對 EIEI 為常數的梁，撓度與載重的關係式為

EId4udx4=−q(x).EI\frac{d^4u}{dx^4}=-q(x).

負號來自撓度向上為正、載重向下為正的方向定義。

基本假設

使用上述梁方程時，採用以下基本假設：

  1. 梁為細長梁，截面尺寸相較於梁長很小。
  2. 材料為線彈性材料，應力與應變符合 Hooke 定律。
  3. 梁的變形與轉角很小，曲率可近似為 u′′(x)u''(x)。
  4. 梁截面變形後仍保持平面，且垂直於中性軸，忽略剪切變形。
  5. 本題中 EIEI 為常數，並忽略軸向變形的影響。

解題方法

令固定端為 x=0x=0、自由端為 x=Lx=L，圖中載重為

q(x)=q0(xL)2.q(x)=q_0\left(\frac{x}{L}\right)^2.

代入微分方程：

EIu′′′′(x)=−q0x2L2.EIu''''(x)=-q_0\frac{x^2}{L^2}.

固定端不能轉動，也不能垂直位移；自由端沒有外加端彎矩與端剪力。因此邊界條件為

u(0)=0,u′(0)=0,u(0)=0,\qquad u'(0)=0, u′′(L)=0,u′′′(L)=0.u''(L)=0,\qquad u'''(L)=0.

其中自由端的彎矩與剪力分別正比於 u′′(L)u''(L)、u′′′(L)u'''(L)。

令 c=q0/(EIL2)c=q_0/(EI L^2)，逐次積分並套用自由端條件：

u′′′′=−cx2,u''''=-cx^2, u′′′=−cx33+C1,u′′′(L)=0⇒C1=cL33,u'''=-\frac{cx^3}{3}+C_1,\qquad u'''(L)=0 \quad\Rightarrow\quad C_1=\frac{cL^3}{3},
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第 二 題25 分

一根三夾板梁由兩種彈性材料組成，夾心層材料之彈性係數為 Es=200000 MPaE_s=200000\ \mathrm{MPa}，上下兩外層由材料 Ea=50000 MPaE_a=50000\ \mathrm{MPa} 所製成。

各層具有矩形斷面，且各層之斷面積相同，皆為 A=20 mm2A=20\ \mathrm{mm}^2，長度 L=1200 mmL=1200\ \mathrm{mm}。心層與外層之熱膨脹係數分別為 αs=1.0×10−5 (1/∘C)\alpha_s=1.0\times10^{-5}\ (1/^\circ\mathrm{C}) 與 αa=2.0×10−5 (1/∘C)\alpha_a=2.0\times10^{-5}\ (1/^\circ\mathrm{C})。

此梁將被安裝於兩剛性牆面之間，事先預留 δ=0.2 mm\delta=0.2\ \mathrm{mm} 之微小間隙使其暫不受力，如（圖 2）所示。此時若將溫度均勻提高 ΔT=20∘C\Delta T=20^\circ\mathrm{C}，試問升溫後組合梁內部所受之總軸力 FF 為何？

如果心層與外層之材料容許應力分別為 σs=10.0 MPa\sigma_s=10.0\ \mathrm{MPa} 和 σa=5.0 MPa\sigma_a=5.0\ \mathrm{MPa}，則升溫上限為何？

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核心觀念

本題考「不同材料組成的複合桿受均勻升溫，且受到間隙與剛性牆限制」：

  • 各層黏結，軸向應變相同。
  • 各層的應力由機械應變與自由熱應變之差決定： σi=Ei(ε−αiΔT)\sigma_i=E_i(\varepsilon-\alpha_i\Delta T)
  • 梁的總軸力為各層軸力總和： F=Aσs+2AσaF=A\sigma_s+2A\sigma_a
  • 尚未碰到牆時，梁可自由伸長，總軸力為零；碰到牆後，梁的總伸長受間隙限制，升溫造成的額外膨脹轉為壓縮力。

解題方法

先求複合梁未受牆限制時的自由熱應變。此時外力合力為零：

AEs(ε0−αsΔT)+2AEa(ε0−αaΔT)=0A E_s(\varepsilon_0-\alpha_s\Delta T)+2A E_a(\varepsilon_0-\alpha_a\Delta T)=0

因此複合梁的自由熱膨脹係數為

α等效=Esαs+2EaαaEs+2Ea=200000(1.0×10−5)+2(50000)(2.0×10−5)300000=1.3333×10−5/∘C\alpha_{\text{等效}}= \frac{E_s\alpha_s+2E_a\alpha_a}{E_s+2E_a} = \frac{200000(1.0\times10^{-5})+2(50000)(2.0\times10^{-5})}{300000} =1.3333\times10^{-5}/^\circ\mathrm C

碰到牆時的溫升為

ΔTc=δLα等效=0.21200(1.3333×10−5)=12.5∘C\Delta T_c=\frac{\delta}{L\alpha_{\text{等效}}} =\frac{0.2}{1200(1.3333\times10^{-5})} =12.5^\circ\mathrm C

題目升溫 20∘C20^\circ\mathrm C，已超過碰牆溫升，因此梁已接觸剛性牆。牆面間的總伸長受限為 δ\delta，故各層共同軸向應變為

ε=δL=0.21200=1.6667×10−4\varepsilon=\frac{\delta}{L}=\frac{0.2}{1200}=1.6667\times10^{-4}

代入各層應力式：

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第 三 題25 分

圓弧形彎梁左端固定於剛性牆面，座標與尺寸標示如（圖 3），梁斷面為均勻實心方形 20 mm×20 mm20\ \mathrm{mm}\times20\ \mathrm{mm} 斷面，材料彈性係數 E=200000 MPaE=200000\ \mathrm{MPa}，柏松比 ν=0.25\nu=0.25，剪力係數 G=80000 MPaG=80000\ \mathrm{MPa}。

現於梁之自由端施加一垂直於梁身之水平力 P=20 NP=20\ \mathrm{N}（xx-方向），試計算點 aa 處梁內最大法向應力 σxx\sigma_{xx} 與點 bb 處最大剪應力 τxy\tau_{xy}，以及絕對最大法向應變 εmax⁡\varepsilon_{\max} 與絕對最大剪應變 γmax⁡\gamma_{\max}。

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核心觀念

本題考圓弧形彎梁的內力分解、曲梁彎曲應力，以及平面應力下的應變與最大剪應變。

圖中梁為四分之一圓弧，中心線半徑 R=1 mR=1\,\mathrm{m}。截面徑向厚度與寬度均為 20 mm20\,\mathrm{mm}，因此內、外半徑為

ri=990 mm,ro=1010 mm,r_i=990\,\mathrm{mm},\qquad r_o=1010\,\mathrm{mm},

截面積 A=400 mm2A=400\,\mathrm{mm^2}。曲梁的彎曲應力沿半徑呈非線性分布，須使用曲梁公式；截面剪應力則以矩形截面的最大剪應力公式計算。

解題方法

先在截面 aa、bb 分別取自由體。截面 aa 的軸力為 N=P=20 NN=P=20\,\mathrm{N}，彎矩大小為

Ma=PR=20(1)=20 N m=20,000 N mm.M_a=PR=20(1)=20\,\mathrm{N\,m}=20{,}000\,\mathrm{N\,mm}.

在截面 bb，力 PP 垂直於梁軸，故剪力 Vb=20 NV_b=20\,\mathrm{N}，且端點沒有彎矩。

曲梁中性軸半徑為

rn=ro−riln⁡(ro/ri)=20ln⁡(1010/990)=999.9667 mm.r_n=\frac{r_o-r_i}{\ln(r_o/r_i)} =\frac{20}{\ln(1010/990)} =999.9667\,\mathrm{mm}.

截面形心半徑為 rˉ=1000 mm\bar r=1000\,\mathrm{mm}，故

e=rˉ−rn=0.03333 mm.e=\bar r-r_n=0.03333\,\mathrm{mm}.

點 aa 的最大法向應力

曲梁彎曲應力為

σθ(r)=MaAe(rnr−1),\sigma_{\theta}(r) =\frac{M_a}{Ae}\left(\frac{r_n}{r}-1\right),

並加上軸力造成的均勻拉應力

σN=NA=20400=0.05 MPa.\sigma_N=\frac{N}{A}=\frac{20}{400}=0.05\,\mathrm{MPa}.

內、外側纖維的應力如下：

σi=20,000400(0.03333)(999.9667990−1)+0.05=15.151 MPa,\sigma_i =\frac{20{,}000}{400(0.03333)} \left(\frac{999.9667}{990}-1\right)+0.05 =15.151\,\mathrm{MPa},
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第 四 題25 分

一水平梁承受若干垂直力與平面內力矩，梁斷面內正值之剪力與彎矩定義如（圖 4a），其剪力圖（單位 kN\mathrm{kN}）與彎矩圖（單位 kN⋅m\mathrm{kN}\cdot\mathrm{m}）示意如（圖 4b），試完成剪力圖並推估此梁之所有受力與力矩。

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核心觀念

剪力圖的縱座標是內剪力 VV，彎矩圖的縱座標是內彎矩 MM。依圖 4a 的正號定義，在各段沒有集中力矩的位置：

dMdx=V\frac{dM}{dx}=V

若把向下分布載重 ww 定為正，則：

dVdx=−w\frac{dV}{dx}=-w

因此，彎矩圖的斜率可用來求剪力；剪力圖的斜率則可用來求分布載重。剪力圖的垂直跳躍代表集中力，彎矩圖的垂直跳躍代表集中力矩。

解題方法

梁上標示的座標為 x=0, 2, 4, 8 mx=0,\ 2,\ 4,\ 8\ \mathrm{m}。由各段彎矩圖斜率求剪力：

  1. 0<x<2 m0<x<2\ \mathrm{m}

彎矩由 00 線性降至 −18 kN⋅m-18\ \mathrm{kN\cdot m}，故

V=−18−02=−9 kNV=\frac{-18-0}{2}=-9\ \mathrm{kN}
  1. x=2 mx=2\ \mathrm{m} 的集中力矩

彎矩由 −18-18 跳升至 +22 kN⋅m+22\ \mathrm{kN\cdot m}，跳躍量為

ΔM=22−(−18)=40 kN⋅m\Delta M=22-(-18)=40\ \mathrm{kN\cdot m}

此處剪力圖沒有垂直跳躍，所以沒有集中力；集中力矩只造成彎矩圖跳躍。依圖示內力正號，對應外加 順時針 40 kN⋅m40\ \mathrm{kN\cdot m} 力矩。

  1. 2<x<4 m2<x<4\ \mathrm{m}

彎矩由 +22+22 線性降至 −16 kN⋅m-16\ \mathrm{kN\cdot m}，故

V=−16−224−2=−19 kNV=\frac{-16-22}{4-2}=-19\ \mathrm{kN}
  1. 4<x<8 m4<x<8\ \mathrm{m}

彎矩由 −16-16 升至 0 kN⋅m0\ \mathrm{kN\cdot m}。依彎矩面積等於剪力圖面積，這段剪力圖為由 x=4x=4 的正值線性降至 x=8x=8 的零值；其三角形面積為 16 kN⋅m16\ \mathrm{kN\cdot m}，所以

12(8−4)V(4+)=16⟹V(4+)=8 kN\frac12(8-4)V(4^+)=16 \quad\Longrightarrow\quad V(4^+)=8\ \mathrm{kN}

剪力由 −19-19 跳至 +8 kN+8\ \mathrm{kN}，跳躍量為 27 kN27\ \mathrm{kN}，故 x=4 mx=4\ \mathrm{m} 處有 向上 27 kN27\ \mathrm{kN} 集中力。剪力在 44 至 8 m8\ \mathrm{m} 間由 88 線性降至 00，因此

dVdx=0−84=−2 kN/m\frac{dV}{dx}=\frac{0-8}{4}=-2\ \mathrm{kN/m}
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