113 高普考高考三級 土木工程 土壤力學 考古題詳解

113 年・高普考・高考三級・土木工程
試題代碼 土壤力學

第 一 題25 分

請解釋下列土壤力學領域的符號或名詞。每小題 5 分，共 25 分。

(一) D10D_{10}

(二) Relative density

(三) Critical hydraulic gradient

(四) Sand cone method

(五) Plasticity chart

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核心觀念

本題考查土壤分類與工程中常用的試驗名詞，包括粒徑分布、砂土密度狀態、滲流破壞、現地密度量測，以及細粒土塑性分類圖。作答時應掌握各名詞的定義、用途與關鍵公式。

（一）D10D_{10}

D10D_{10} 又稱有效粒徑，指土壤粒徑分布曲線上，累積通過百分率為 10%10\% 時所對應的粒徑。換言之，土樣中有 10%10\% 的重量由比 D10D_{10} 更細的顆粒組成。

D10D_{10} 常用於評估砂土的滲透特性，也用於均勻係數計算：

Cu=D60D10C_u=\frac{D_{60}}{D_{10}}

其中 D60D_{60} 為累積通過百分率 60%60\% 時的粒徑。D10D_{10} 越大，通常表示土壤顆粒較粗，滲透能力也較強。

（二）Relative density（相對密度）

相對密度 DrD_r 用來表示無黏性土（如砂土）目前密實程度，相較於其最鬆與最密狀態的位置。其定義為：

Dr=emax⁡−eemax⁡−emin⁡D_r=\frac{e_{\max}-e}{e_{\max}-e_{\min}}

其中 ee 為土壤目前孔隙比，emax⁡e_{\max} 為最鬆狀態孔隙比，emin⁡e_{\min} 為最密狀態孔隙比。若以百分率表示，公式結果乘以 100%100\%。

DrD_r 越大，砂土越密實；Dr=0D_r=0 代表處於最鬆狀態，Dr=1D_r=1（或 100%100\%）代表處於最密狀態。相對密度主要適用於砂、礫等無黏性土，不適合直接用來描述黏性土的軟硬程度。

（三）Critical hydraulic gradient（臨界水力坡降）

臨界水力坡降是向上滲流作用下，土中有效應力降至零、土粒失去接觸約束而發生浮動或沸騰現象時的水力坡降。對飽和土而言，臨界條件為向上滲流力等於土壤在水下的有效重量，因此：

ic=γ′γw=γsat−γwγw=Gs−11+ei_c=\frac{\gamma'}{\gamma_w} =\frac{\gamma_{\mathrm{sat}}-\gamma_w}{\gamma_w} =\frac{G_s-1}{1+e}

其中 γ′\gamma' 為浮重度、γw\gamma_w 為水單位重、γsat\gamma_{\mathrm{sat}} 為飽和單位重、GsG_s 為土粒比重、ee 為孔隙比。

當向上水力坡降達到或超過 ici_c，土體可能發生沸騰、流砂或管湧等滲流破壞。判斷時須注意方向：此式描述的是向上滲流抵銷有效重量的臨界狀況。

（四）Sand cone method（砂錐法）

砂錐法是測定現地土壤密度的試驗方法。先在試驗地面整平並放置底板，挖出一定體積的土樣並稱其濕重；再以已知單位重的標準砂填滿試坑及砂錐設備中的錐體空間，藉由砂的重量差求得試坑體積。

試坑體積為：

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第 二 題25 分

某土壤進行物理性質試驗，數據如下：

液性限度 LL=52%LL=52\%，塑性指數 PI=20%PI=20\%，54%54\% 通過 200 號篩，比重 GS=2.7G_S=2.7。

此土壤進行 Proctor Test，求得壓實後試體 XX 具有最大乾單位重 γdmax⁡=20.37 kN/cm3\gamma_{d\max}=20.37\ \mathrm{kN/cm^3} 及最佳含水量 OMC=10%OMC=10\%。

請問試體 XX 的飽和度是多少？

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核心觀念

本題考查土壤三相關係中乾單位重、孔隙比與飽和度的關係。乾單位重可用來求孔隙比，再以含水量求飽和度：

γd=Gsγw1+e,Sr=wGse\gamma_d=\frac{G_s\gamma_w}{1+e}, \qquad S_r=\frac{wG_s}{e}

其中，ee 為孔隙比、SrS_r 為飽和度、ww 為含水量、γw\gamma_w 為水的單位重。

解題方法

題目給出的 γdmax⁡=20.37 kN/cm3\gamma_{d\max}=20.37\ \mathrm{kN/cm^3} 在量級上不合理；乾單位重應以 kN/m3\mathrm{kN/m^3} 表示。以下依合理單位 γdmax⁡=20.37 kN/m3\gamma_{d\max}=20.37\ \mathrm{kN/m^3} 計算，並採用 γw=9.81 kN/m3\gamma_w=9.81\ \mathrm{kN/m^3}。

先由乾單位重公式求孔隙比：

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第 三 題25 分

請以 Terzaghi 單向度壓密理論回答下列問題：

某地層為厚度 10 m 之飽和正常壓密黏土層，上為砂土層，下為岩盤。在外加載重作用下，預估黏土層最終將產生 30 cm 之主要壓密沉陷量。現場觀測結果顯示，在外加載重作用 30 天後，此黏土層有 9 cm 的沉陷量。

【假設砂土層及岩盤的壓縮性可以忽略】

(一) Terzaghi 推導壓密方程式過程中做了那些假設？

(二) 黏土層達到 27 cm 的沉陷量需幾天？

(三) 求黏土層壓密係數。

【參考資料】

平均壓密度 Uˉ\bar{U} 與時間因數 TvT_v 之關係：

Tv=cvt(Hdr)2T_v=\frac{c_vt}{(H_{dr})^2}

當 U≤60%U\leq 60\% 時：

T=π4(U%100)2T=\frac{\pi}{4}\left(\frac{U\%}{100}\right)^2

當 U>60%U>60\% 時：

T=1.781−0.933log⁡(100−U%)T=1.781-0.933\log(100-U\%)

參考數值如下：

Uˉ\bar{U}0.10.30.50.60.70.80.90.951.0
TvT_v0.0080.0710.1970.2870.4030.5670.8481.163∞\infty
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考查 Terzaghi 一維壓密理論中的三個核心量：

  1. 平均壓密度 Uˉ=某時刻已完成之壓密沉陷量最終主要壓密沉陷量\bar U=\frac{\text{某時刻已完成之壓密沉陷量}}{\text{最終主要壓密沉陷量}}

  2. 時間因數 Tv=cvtHdr2T_v=\frac{c_vt}{H_{dr}^2}

  3. 壓密係數 cvc_v cv=TvHdr2tc_v=\frac{T_vH_{dr}^2}{t}

黏土層上方為砂土層，可排水；下方為岩盤，視為不透水，因此本題屬於「單面排水」。

(一) Terzaghi 推導壓密方程式的主要假設

Terzaghi 一維壓密理論通常採用下列假設：

  1. 黏土層為完全飽和土。
  2. 土層均質且各向同性，土壤性質在分析範圍內相同。
  3. 土層厚度相對於水平延伸範圍很小，可視為無限水平延伸。
  4. 壓密變形與孔隙水流動均限制在垂直方向，屬於一維壓密。
  5. 土粒與孔隙水均不可壓縮，土體體積減少完全由孔隙水排出造成。
  6. 孔隙水流動遵守 Darcy 定律。
  7. 壓密係數 cvc_v 在分析過程中視為常數，即滲透係數 kk 與體積壓縮係數 mvm_v 視為常數。
  8. 外加載重瞬間施加且均勻分布。
  9. 加載初期增加的應力全部由超額孔隙水壓承受，隨排水逐漸轉由土骨架承受。
  10. 壓密過程中不考慮次壓密或蠕變，只計算主要壓密。
  11. 土層上下邊界的排水條件已知，排水面之孔隙水壓為零。
  12. 土體變形量相對於土層厚度很小，可採用小變形假設。

本題另已指定砂土層與岩盤的壓縮性忽略，因此沉陷量全部由黏土層主要壓密所造成。

(二) 黏土層達到 27 cm 沉陷量所需時間

1. 求 30 天時的平均壓密度

最終主要壓密沉陷量為 30 cm30\text{ cm}，30 天後沉陷量為 9 cm9\text{ cm}：

Uˉ1=930=0.30\bar U_1=\frac{9}{30}=0.30

查表得：

Uˉ1=0.30⇒Tv1=0.071\bar U_1=0.30 \quad\Rightarrow\quad T_{v1}=0.071

2. 判定排水路徑

黏土層厚度為 10 m10\text{ m}：

  • 上方砂土層可排水；
  • 下方岩盤不透水。

因此為單面排水：

Hdr=10 mH_{dr}=10\text{ m}

3. 求 27 cm 沉陷量所代表的壓密度

Uˉ2=2730=0.90\bar U_2=\frac{27}{30}=0.90

查表得：

Uˉ2=0.90⇒Tv2=0.848\bar U_2=0.90 \quad\Rightarrow\quad T_{v2}=0.848

4. 利用時間因數比值求時間

因為同一黏土層的 cvc_v 與 HdrH_{dr} 不變，所以：

t2t1=Tv2Tv1\frac{t_2}{t_1}=\frac{T_{v2}}{T_{v1}}

代入 t1=30t_1=30 天：

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第 四 題25 分

下表為 CU 三軸試驗的數據，請求取 Mohr-Coulomb failure criterion 相關之剪力強度參數。

試體編號圍壓（kN/m2\mathrm{kN/m^2}）軸差應力（kN/m2\mathrm{kN/m^2}）破壞時孔隙壓力（kN/m2\mathrm{kN/m^2}）試驗結果應變（%）
#11003004010%
#21603607010%
🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

CU 三軸試驗可由破壞時孔隙水壓求取有效應力，進而建立 Mohr-Coulomb 有效應力破壞準則：

τf=c′+σn′tan⁡ϕ′\tau_f=c'+\sigma_n'\tan\phi'

三軸壓縮試驗中：

σ1′=σ1−u,σ3′=σ3−u\sigma_1'=\sigma_1-u,\qquad \sigma_3'=\sigma_3-u

其中：

  • c′c'：有效凝聚力
  • ϕ′\phi'：有效摩擦角
  • uu：破壞時孔隙水壓
  • σ1\sigma_1：破壞時最大主應力
  • σ3\sigma_3：圍壓

題目給的是軸差應力：

q=σ1−σ3q=\sigma_1-\sigma_3

因此：

σ1=σ3+q\sigma_1=\sigma_3+q

且因為孔隙水壓對兩個主應力均扣除相同數值，所以：

σ1′−σ3′=σ1−σ3=q\sigma_1'-\sigma_3'=\sigma_1-\sigma_3=q

解題方法

1. 計算各試體破壞時有效主應力

試體 #1

σ3′=100−40=60 kN/m2\sigma_3'=100-40=60\ \mathrm{kN/m^2} σ1′=σ3′+q=60+300=360 kN/m2\sigma_1'=\sigma_3'+q=60+300=360\ \mathrm{kN/m^2}

試體 #2

σ3′=160−70=90 kN/m2\sigma_3'=160-70=90\ \mathrm{kN/m^2} σ1′=σ3′+q=90+360=450 kN/m2\sigma_1'=\sigma_3'+q=90+360=450\ \mathrm{kN/m^2}

整理如下：

試體σ3′\sigma_3'σ1′\sigma_1'q=σ1′−σ3′q=\sigma_1'-\sigma_3'
#16060360360300300
#29090450450360360

2. 使用三軸壓縮之 Mohr-Coulomb 關係式

有效應力形式為：

σ1′=σ3′1+sin⁡ϕ′1−sin⁡ϕ′+2c′cos⁡ϕ′1−sin⁡ϕ′\sigma_1' = \sigma_3' \frac{1+\sin\phi'}{1-\sin\phi'} + \frac{2c'\cos\phi'}{1-\sin\phi'}

也可改寫成軸差應力形式：

q=2c′cos⁡ϕ′1−sin⁡ϕ′+σ3′2sin⁡ϕ′1−sin⁡ϕ′q = \frac{2c'\cos\phi'}{1-\sin\phi'} + \sigma_3' \frac{2\sin\phi'}{1-\sin\phi'}

令：

q=A+Bσ3′q=A+B\sigma_3'

由兩組資料求斜率 BB：

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