113 高普考高考三級 水利工程 土壤力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查砂土有效應力原理與液化判斷。有效應力為總應力扣除孔隙水壓：

$$\sigma'_v=\sigma_v-u$$

強震產生的超額孔隙水壓 $u_e$ 會降低土骨架承受的有效應力；當有效應力降至零，砂土失去粒間接觸所提供的抗剪能力，達到液化條件。

解題方法與計算

取水的單位重 $\gamma_w=9.81\,\mathrm{kN/m^3}$，地表下 $5\,\mathrm{m}$ 的 A 點位於地下水位下方 $3\,\mathrm{m}$。

（一）A 點初始有效應力

水位以上厚度為 $2\,\mathrm{m}$，已知飽和度 $S=0.80$。部分飽和土的濕單位重為

$$\gamma=\frac{G_s+Se}{1+e}\gamma_w$$

代入 $G_s=2.68$、$e=0.72$：

$$\gamma_{\text{水位以上}} =\frac{2.68+(0.80)(0.72)}{1+0.72}(9.81) =18.13\,\mathrm{kN/m^3}$$

水位以下土層視為飽和，其單位重為

$$\gamma_{\text{sat}} =\frac{G_s+e}{1+e}\gamma_w =\frac{2.68+0.72}{1+0.72}(9.81) =19.40\,\mathrm{kN/m^3}$$

A 點總垂直應力：

$$\sigma_v=(2)(18.13)+(3)(19.40) =94.47\,\mathrm{kPa}$$

靜水孔隙水壓：

$$u_0=\gamma_w(5-2)=(9.81)(3)=29.43\,\mathrm{kPa}$$

因此初始有效應力為

$$\sigma'_{v0}=\sigma_v-u_0 =94.47-29.43 =\boxed{65.04\,\mathrm{kPa}}$$

（二）發生液化所需的超額孔隙水壓

強震時 A 點孔隙水壓為 $u_0+u_e$，故震時有效應力為

核心觀念

本題考查 Terzaghi 單向度壓密理論、黏土壓密沉陷量，以及地盤下陷對樁基支承力的影響。正常壓密黏土受荷重增加時，超額孔隙水壓先承受新增應力；孔隙水逐漸排出後，應力轉移至土骨架，使有效應力增加、孔隙比減小，土層因而壓縮並造成地表下陷。

（一）地盤下陷成因

超抽地下水會降低地下水位及孔隙水壓。依有效應力原理，

$$\sigma'=\sigma-u$$

其中 $\sigma'$ 為有效應力、$\sigma$ 為總應力、$u$ 為孔隙水壓。抽水使孔隙水壓 $u$ 降低；在總應力大致不變時，土骨架承受的有效應力 $\sigma'$ 隨之增加。

對飽和黏土而言，水分排出需要時間。抽水初期，孔隙水壓變化尚未完全傳遞至土層內部，形成超額孔隙水壓；隨時間經過，孔隙水排出、超額孔隙水壓逐漸消散，新增應力由土骨架承擔。正常壓密黏土因此產生孔隙比減小與體積壓縮，最終表現為地表沉陷。

Terzaghi 單向度壓密理論假設土層側向變形受限，水分主要沿垂直方向排出；壓密速率受土壤壓縮性、滲透性及排水路徑長度控制。壓密度可用時間因子表示：

$$T_v=\frac{c_v t}{H_{dr}^{\,2}}$$

其中 $c_v$ 為壓密係數、$t$ 為時間、$H_{dr}$ 為最大排水路徑長度。抽水造成孔隙水壓降低，並不代表黏土立即完成沉陷；沉陷會隨壓密過程逐步發展。

（二）壓密沉陷量

已知黏土層厚度 $H=5\,\mathrm{m}$，初始孔隙比 $e_0=0.80$，最終孔隙比 $e_f=0.60$。採單向度壓密假設，土粒體積不變，沉陷量為：

$$S=H\frac{e_0-e_f}{1+e_0}$$

代入數值：

$$S=5\frac{0.80-0.60}{1+0.80} =5\frac{0.20}{1.80} =0.556\,\mathrm{m}$$

核心觀念

本題考查飽和土的有效應力、Mohr–Coulomb 抗剪強度，以及向上滲流時土體達到浮重度平衡的臨界水力坡降。

• 有效應力原理：$\sigma'=\sigma-u$
• 飽和土單位重：$\gamma_{\mathrm{sat}}=\dfrac{G_s+e}{1+e}\gamma_w$
• 浮單位重：$\gamma'=\gamma_{\mathrm{sat}}-\gamma_w=\dfrac{G_s-1}{1+e}\gamma_w$
• Mohr–Coulomb 破壞準則：$\tau_f=c'+\sigma_n'\tan\phi'$
• 向上滲流臨界坡降：$i_c=\dfrac{\gamma'}{\gamma_w}=\dfrac{G_s-1}{1+e}$

砂土視為無凝聚力土壤，故取 $c'=0$。採用 $\gamma_w=9.81\,\mathrm{kN/m^3}$。

（一）A 點有效應力

地下水位在地表，且砂土完全飽和。深度 $z=5\,\mathrm{m}$ 處的總垂直應力為

$$\sigma_v=\gamma_{\mathrm{sat}}z$$

飽和單位重：

$$\gamma_{\mathrm{sat}} =\frac{G_s+e}{1+e}\gamma_w =\frac{2.70+0.65}{1+0.65}(9.81) =19.92\,\mathrm{kN/m^3}$$

孔隙水壓力為

$$u=\gamma_w z=9.81(5)=49.05\,\mathrm{kPa}$$

因此，有效垂直應力為

$$\sigma_v'=\sigma_v-u =(\gamma_{\mathrm{sat}}-\gamma_w)z =\frac{G_s-1}{1+e}\gamma_w z$$

核心觀念

本題考查擋土牆的整體穩定檢核，以及懸臂式與蛇籠式擋土牆的結構特性和適用條件。評估時須區分牆體與基礎的外部穩定、牆身構件強度，以及牆後土體的整體穩定；不能只檢查牆體是否傾倒。

解題方法

（一）擋土牆牆體穩定性評估項目

擋土牆的主要作用是抵抗牆後土壓力及其他外力，並將荷重安全傳至地盤。通常檢核下列項目：

1. 抗滑動穩定 檢查牆體沿基底滑動的可能性。以基底摩擦力及可計入的被動土壓力抵抗水平作用力，例如：

$$FS_{\mathrm{滑}}= \frac{\text{基底抗滑力＋可計入之被動土壓力}} {\text{水平推力}}$$

設計時須依規範採用適當安全係數；若基礎前方土體容易被開挖或沖刷，不宜高估被動土壓力。

2. 抗傾覆穩定 以牆趾為力矩基準，檢查抵抗傾覆的力矩是否足以抵抗土壓力等造成的傾覆力矩：

$$FS_{\mathrm{傾覆}}= \frac{\text{抵抗力矩總和}} {\text{傾覆力矩總和}}$$

3. 基底承載力與偏心檢核 由垂直力與力矩求基底合力位置及偏心距，檢查最大基底壓力是否超過地盤容許承載力，並確認基底不致產生不適當的拉力或局部脫離。基底應力常以：

$$q_{\max,\min}=\frac{V}{B}\left(1\pm\frac{6e}{B}\right)$$

估算，其中 $V$ 為基底垂直合力、$B$ 為基底寬度、$e$ 為合力相對基底中心的偏心距。此式適用於合力位於基底中段、基底應力呈線性分布的情況。

4. 牆身及基礎構件強度 檢核牆身、底版及其連接處在彎矩、剪力等作用下的結構強度與必要配筋；對重力式牆則須檢查牆體材料及斷面是否足以承受作用力。

5. 整體穩定 檢查可能穿過擋土牆、基礎與牆後地盤的滑動破壞面，評估牆與周圍土體整體滑動的安全性。若地層軟弱、坡地地形或牆體較高，這項檢核尤為重要。

6. 沉陷與變形 評估地盤及牆體可能產生的總沉陷、差異沉陷與水平位移，確認不致影響牆體安全、使用功能或鄰近設施。