114 年高普考高考三級水利工程考古題與詳解

Question 1

某一河道旁之新鮮崩積土壤，濕土單位重為 $20\ \mathrm{kN/m^3}$ ，含水量 $18\%$ ，比重 $2.65$ 。經室內實驗求得 $PL=30$ ，最大乾密度為 $22\ \mathrm{kN/m^3}$ ，最小乾密度為 $14\ \mathrm{kN/m^3}$ 。請申論該土之：（每小題 5 分，共 15 分）

（一）乾土單位重 $\gamma_d$ 。

（二）飽和度。

（三）相對密度。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查土壤三相關係與相對密度的定義。乾土單位重由濕土單位重與含水量換算；飽和度由含水量、比重與孔隙比求得；相對密度則由土壤現地乾土單位重與最大、最小乾土單位重計算。

題目給的塑性限度 $PL$ 與本題三項計算無關，不需代入。

解題方法

（一）乾土單位重 $\gamma_d$

含水量定義為水重與乾土重之比，因此濕土單位重與乾土單位重的關係為：

\gamma=\gamma_d(1+w)

代入 $\gamma=20\ \mathrm{kN/m^3}$ 、 $w=18\%=0.18$ ：

\gamma_d=\frac{\gamma}{1+w} =\frac{20}{1.18} =16.95\ \mathrm{kN/m^3}

（二）飽和度 $S_r$

先由乾土單位重求孔隙比 $e$ 。土粒單位重為 $G_s\gamma_w$ ，而乾土單位重關係式為：

\gamma_d=\frac{G_s\gamma_w}{1+e}

故：

e=\frac{G_s\gamma_w}{\gamma_d}-1

取水單位重 $\gamma_w=9.81\ \mathrm{kN/m^3}$ ，代入 $G_s=2.65$ 及 $\gamma_d=16.95\ \mathrm{kN/m^3}$ ：

e=\frac{2.65(9.81)}{16.95}-1 \approx 0.534

含水量與飽和度的關係為：

w=\frac{S_r e}{G_s} \quad\Longrightarrow\quad S_r=\frac{wG_s}{e}

因此：

S_r=\frac{0.18(2.65)}{0.534} \approx 0.893

飽和度約為 $89.3\%$ 。

（三）相對密度 $D_r$

Question 2

一層狀土壤如下圖，試論述以下：

（一）何謂臨界水力坡降。（5 分）

（二）試說明適合用於量測土層 3 滲透係數 $k_3$ 之實驗名稱及理由。（10 分）

（三）試求水平及垂直等效滲透係數之比值 $k_{h(\mathrm{eq})}/k_{v(\mathrm{eq})}$ 。（10 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示資料：

土層 1 厚度： $2\ \mathrm{m}$ ， $k_1=3\times10^{-2}\ \mathrm{cm/sec}$ 。
土層 2 厚度： $4\ \mathrm{m}$ ， $k_2=2\times10^{-4}\ \mathrm{cm/sec}$ 。
土層 3 厚度： $6\ \mathrm{m}$ ， $k_3=1\times10^{-8}\ \mathrm{cm/sec}$ 。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 臨界水力坡降與管湧、流砂現象。 2. 不同滲透性土壤之滲透係數試驗選擇。 3. 層狀土壤之水平、垂直等效滲透係數。 三層土壤總厚度為： $$ H=H1+H2+H3=2+4+6=12\ 	ext{m} $$ --- （一）臨界水力坡降 土壤受向上滲流時，滲流水力所造成的滲流力為： $$ fs=i\gammaw $$ 其中 $i$ 為水力坡降，$\gammaw$ 為水的單位重。 當向上滲流力恰好等於土壤的浮重，即： $$ ic\gammaw=\gamma' $$ 此時土粒有效應力降為零，土體失去剪力強度，容易發生流砂或管湧，此一水力坡降稱為臨界水力坡降。 因此： $$ ic=\frac{\gamma'}{\gammaw} $$ 對飽和土而言： $$ \gamma'=\frac{(Gs-1)\gammaw}{1+e} $$ 所以： $$ \boxed{ic=\frac{Gs-1}{1+e}} $$ 其中： - $Gs$：土粒比重 - $e$：孔隙比 --- （二）量測土層 3 滲透係數之適用試驗 試驗名稱 土層 3 的滲透係數為： $$ k3=1	imes10^{-8}\ 	ext{cm/sec} $$ 數值極小，屬於極低滲透性土壤，適合採用： $$ \boxed{	ext{變水頭滲透試驗（falling-head permeability test）}} $$ 理由 變水頭試驗係利用細管中水位隨時間下降的變化，計算土壤滲透係數。其基本式為： $$ k=\frac{aL}{At}\ln\left(\frac{h1}{h2}ight) $$ 其中： - $a$：量水管截面積 - $A$：土樣截面積 - $L$：土樣長度 - $t$：水位由 $h1$ 降至 $h2$ 所需時間 - $h1,h2$：試驗前、後水頭差 土層 3 的 $k3$ 極小，流量非常低。若採定水頭試驗，在固定時間內流出的水量過少，不易精確量測；變水頭試驗則可藉由水頭下降所需時間累積量測效果，較適合低滲透性土壤。 解題技巧 - 粗砂、礫石等高滲透性土壤：通常採定水頭滲透試驗。 - 粉土、黏土等低滲透性土壤：通常採變水頭滲透試驗。 - 判斷關鍵在於滲透係數大小，而非土層厚度。 --- （三）水平及垂直等效滲透係數之比值 1. 水平等效滲透係數 水流沿土層水平方向流動時，各土層承受相同水力坡降，流量可相加，因此採厚度加權平均： $$ k{h(\mathrm{eq})} =\frac{\sum kiHi}{\sum Hi} $$ 代入數據：

Question 3

某南部地區之地層剖面如下圖所示，初始地下水位在地表下 $5\ \mathrm{m}$ 。黏土層之已知物性參數包括：液限 $LL=40$ 、塑性指數 $PI=20$ 、含水比 $w=30\%$ 、比重 $G_s=2.65$ 、飽和度 $S=100\%$ 。該黏土層之過壓密比 $OCR=1.05$ 。試申論以下：

（一）黏土層之飽和單位重？（5 分）

（二）若現場地下水位因抽水而下降至地表下 $25\ \mathrm{m}$ ，試求黏土層因地下水位下降而引起之壓密沉陷量？（提示：再壓指數 $C_r\cong0.1C_c$ ； $C_c$ 為壓縮指數。）（15 分）

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示資料：

砂土層厚度： $60\ \mathrm{m}$ 。
黏土層厚度： $6\ \mathrm{m}$ 。
砂土層上部單位重： $\gamma=1.7\ \mathrm{T/m^3}$ 。
砂土層飽和單位重： $\gamma_{\mathrm{sat}}=2.2\ \mathrm{T/m^3}$ 。
原地下水位：地表下 $5\ \mathrm{m}$ 。
降低後之地下水位：地表下 $25\ \mathrm{m}$ 。

Accepted Answer

核心觀念 本題考查： 1. 飽和黏土之孔隙比與飽和單位重。 2. 地下水位下降造成孔隙水壓降低，使黏土有效應力增加。 3. 黏土具有過壓密性時，沉陷須分為： - 再壓密階段：使用再壓指數 $Cr$。 - 正常壓密階段：使用壓縮指數 $Cc$。 由圖可知，砂土層厚度為 $60\ \mathrm{m}$，黏土層厚度為 $6\ \mathrm{m}$，故以黏土層中央深度 $63\ \mathrm{m}$ 代表黏土層平均應力。 --- （一）黏土層之飽和單位重 1. 求孔隙比 飽和度 $S=100\%=1$，土壤基本關係式為 $$ Se=wGs $$ 因此 $$ e=\frac{wGs}{S} =\frac{0.30(2.65)}{1} =0.795 $$ 2. 求飽和單位重 飽和單位重為 $$ \gamma{\mathrm{sat}} =\frac{Gs+e}{1+e}\gammaw $$ 取 $\gammaw=1.0\ \mathrm{T/m^3}$，得 $$ \gamma{\mathrm{sat}} =\frac{2.65+0.795}{1+0.795}(1.0) $$ $$ \gamma{\mathrm{sat}} =\frac{3.445}{1.795} =1.92\ \mathrm{T/m^3} $$ --- （二）地下水位下降引起之壓密沉陷 解題方法 地下水位由地表下 $5\ \mathrm{m}$ 降至地表下 $25\ \mathrm{m}$，下降水位差為 $$ \Delta h=25-5=20\ \mathrm{m} $$ 地下水位下降後，黏土層仍位於地下水位以下，因此黏土內孔隙水壓降低 $$ \Delta u=\gammaw\Delta h =1.0(20) =20\ \mathrm{T/m^2} $$ 總應力不變，所以黏土有效應力增加 $20\ \mathrm{T/m^2}$。 --- 1. 初始有效應力 黏土層中央深度為 $$ zm=60+\frac{6}{2}=63\ \mathrm{m} $$ 初始總應力為 $$ \sigma{v0} =5(1.7)+55(2.2)+3(1.92) $$ $$ \sigma{v0} =8.5+121+5.76 =135.26\ \mathrm{T/m^2} $$ 原地下水位在地表下 $5\ \mathrm{m}$，故黏土中央孔隙水壓為 $$ u0=(63-5)\gammaw =58(1.0) =58\ \mathrm{T/m^2} $$ 初始有效應力為 $$ \sigma'{v0} =\sigma{v0}-u0 =135.26-58 =77.26\ \mathrm{T/m^2} $$ --- 2. 初始超固結壓力 由 $$ OCR=\frac{\sigma'p}{\sigma'{v0}} $$ 得初始預壓…

Question 4

試申論結構物淺基礎埋置土壤深度（embedded depth）越深，其承載力（bearing capacity）越大之原因。（10 分）

Accepted Answer

核心觀念 淺基礎埋得越深，基礎底面上方的覆土重量越大，能提高基礎承受的極限承載力。埋置深度 $Df$ 主要透過承載力公式中的上覆壓力項發揮作用；深度增加也會影響破壞土體的拘束與側向支撐。 以 Terzaghi 一般承載力公式為例，條形基礎的極限承載力為 $$ qu=cNc+qNq+\frac{1}{2}\gamma BN\gamma $$ 其中 $c$ 為土壤凝聚力、$\gamma$ 為土壤單位重、$B$ 為基礎寬度，$Nc、Nq、N\gamma$ 為與土壤摩擦角 $\phi$ 有關的承載力因數；$q=\gamma Df$ 為基礎底面以上的有效上覆壓力（地下水位影響須以有效單位重修正）。式中的 $qNq$ 即埋置深度對承載力的直接貢獻。 解題方法與原因說明 1. 底面覆土增加，提升上覆壓力項。埋深增加 $\Delta Df$ 時，在均質土層且地下水位不變的簡化條件下，底面上覆壓力增加約 $\Delta q=\gamma\Delta Df$，因此極限承載力增加約 $$ \Delta qu=Nq\gamma\Delta Df $$ 若土壤具有凝聚力，$cNc$ 項仍存在；但在土性不變時，它不會因埋深增加而直接改變。

Question 5

一具有凝聚力及摩擦角之土層於設置擋土牆後之狀態如下圖，試申論：（每小題 10 分，共 30 分）

（一）擋土牆後方土壤受主動土壓及受被動土壓之牆體位移方式。

（二）以 Rankine 理論推導主動土壓力之表示式。

（三）以 Rankine 理論推導被動土壓力之表示式。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

圖示包含垂直應力 $\sigma_v$ 與水平應力 $\sigma_h$ 。

Accepted Answer

核心觀念與基本假設

本題考查 Rankine 土壓力理論中，具有黏聚力 $c$ 與摩擦角 $\phi$ 之 $c-\phi$ 土壤，在主動破壞與被動破壞狀態下的：

擋土牆必要位移方向。
垂直應力 $\sigma_v$ 與水平應力 $\sigma_h$ 的關係。
主動土壓力係數 $K_a$ 、被動土壓力係數 $K_p$ 。
黏聚力對土壓力的影響。

採用 Rankine 理論時，假設：

擋土牆牆背為垂直面。
牆背光滑，不考慮牆土摩擦。
填土表面水平。
土體為均質、均等向性之 $c-\phi$ 土壤。
$\sigma_v$ 與 $\sigma_h$ 為主應力。

（一）主動土壓與被動土壓時之牆體位移方式

1. 主動土壓狀態

擋土牆向背離填土方向移動，亦即牆體向外傾、向前移，使牆後土體產生伸張變形。

此時：

垂直應力 $\sigma_v$ 可視為最大主應力 $\sigma_1$ 。
水平應力 $\sigma_h$ 降低至最小主應力 $\sigma_3$ 。
土體達到主動破壞狀態。
牆後形成主動破壞楔體，破壞面通常由牆趾向上延伸至地表。

因此，主動土壓的牆體位移方向為：

\boxed{\text{擋土牆背離填土方向移動}}

2. 被動土壓狀態

擋土牆向填土方向移動，亦即牆體向後推擠土體，使牆後土體產生壓縮變形。

此時：

水平應力 $\sigma_h$ 增加至最大主應力 $\sigma_1$ 。
垂直應力 $\sigma_v$ 為最小主應力 $\sigma_3$ 。
土體達到被動破壞狀態。
形成被動破壞楔體。

因此，被動土壓的牆體位移方向為：

\boxed{\text{擋土牆朝向填土方向移動}}

判斷技巧

可記憶為：

主動土壓：牆往外移，土壓變小。
被動土壓：牆往內推，土壓變大。

若牆體完全不位移，土壓通常介於靜止土壓與主動、被動土壓之間。

（二）以 Rankine 理論推導主動土壓力表示式

1. Rankine 破壞條件

對具有黏聚力及摩擦角之土壤，Mohr-Coulomb 破壞條件為：

\tau_f=c+\sigma_n\tan\phi

由 Mohr 圓與破壞包絡線相切，可得破壞時最大、最小主應力之關係：

\sigma_1 = \sigma_3\tan^2\left(45^\circ+\frac{\phi}{2}\right) + 2c\tan\left(45^\circ+\frac{\phi}{2}\right)

定義被動土壓力係數：

K_p = \tan^2\left(45^\circ+\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1+\sin\phi}{1-\sin\phi}

且：

\sqrt{K_p} = \tan\left(45^\circ+\frac{\phi}{2}\right)

故破壞條件可寫成：

\sigma_1=K_p\sigma_3+2c\sqrt{K_p}

2. 主動狀態之應力關係

主動狀態時：

\sigma_1=\sigma_v,\qquad \sigma_3=\sigma_h

代入破壞條件：

\sigma_v=K_p\sigma_h+2c\sqrt{K_p}

整理得：

\sigma_h = \frac{\sigma_v}{K_p} - \frac{2c}{\sqrt{K_p}}

由於：

K_a=\frac{1}{K_p} = \tan^2\left(45^\circ-\frac{\phi}{2}\right) = \frac{1-\sin\phi}{1+\sin\phi}

且：

\sqrt{K_a}=\frac{1}{\sqrt{K_p}}

因此，主動水平土壓應力為：

\boxed{\sigma_{ha}=K_a\sigma_v-2c\sqrt{K_a}}

若土層位於地下水位以上，且單位重為 $\gamma$ ，深度為 $z$ ，則：

\sigma_v=\gamma z

故：

\boxed{\sigma_{ha}=K_a\gamma z-2c\sqrt{K_a}}

若以有效應力分析，則應使用：

\boxed{\sigma'_{ha}=K_a\sigma'_v-2c'\sqrt{K_a}}

3. 主動土壓合力

對深度 $H$ 之垂直填土，忽略張力裂縫內之負土壓，主動土壓合力為：

114 高普考高考三級 水利工程 土壤力學 考古題詳解

第 一 題15 分

核心觀念

解題方法

（一）乾土單位重 γd\gamma_dγd​

（二）飽和度 SrS_rSr​

（三）相對密度 DrD_rDr​

第 二 題25 分

核心觀念

（一）臨界水力坡降

（二）量測土層 3 滲透係數之適用試驗

試驗名稱

理由

解題技巧

（三）水平及垂直等效滲透係數之比值

1. 水平等效滲透係數

第 三 題20 分

核心觀念

（一）黏土層之飽和單位重

1. 求孔隙比

2. 求飽和單位重

（二）地下水位下降引起之壓密沉陷

解題方法

1. 初始有效應力

2. 初始超固結壓力

3. 地下水位下降後之有效應力

第 四 題10 分

第 五 題30 分

核心觀念與基本假設

（一）主動土壓與被動土壓時之牆體位移方式

1. 主動土壓狀態

2. 被動土壓狀態

判斷技巧

（二）以 Rankine 理論推導主動土壓力表示式

1. Rankine 破壞條件

2. 主動狀態之應力關係

3. 主動土壓合力

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114 高普考高考三級水利工程土壤力學考古題詳解

第一題15 分

（一）乾土單位重 $\gamma_d$

（二）飽和度 $S_r$

（三）相對密度 $D_r$

第二題25 分

第三題20 分

第四題10 分

第五題30 分