114 年高普考高考三級水利工程考古題與詳解

Question 1

(一) 何謂最佳水力斷面（best hydraulic efficiency）？

(二) 梯形渠道一邊為垂直邊壁，另一邊之側坡為 $1\ \mathrm{V}:2\ \mathrm{H}$ ，其曼寧 $n$ 值為 $0.014$ 。若流量為 $28.0\ \mathrm{m^3/s}$ ，流速為 $1.5\ \mathrm{m/s}$ ，求最佳水力斷面時之水深及坡度。

Accepted Answer

核心觀念 最佳水力斷面是指在斷面形狀及渠道材料等條件下，能以最小濕周輸送給定流量的斷面。由於水力半徑 $R=A/P$，其中 $A$ 為通水面積、$P$ 為濕周，因此最佳水力斷面也可視為給定通水面積時，濕周最小、水力半徑最大的斷面。 本題使用連續方程式及曼寧公式： $$ Q=AV,\qquad V=\frac{1}{n}R^{2/3}S^{1/2} $$ 其中 $Q$ 為流量、$V$ 為平均流速、$S$ 為渠道坡度。 解題方法 令水深為 $y$。題示一側垂直、另一側為 $1\mathrm{V}:2\mathrm{H}$，因此斜邊水平投影為 $2y$，斜邊長為 $\sqrt{y^2+(2y)^2}=\sqrt{5}\,y$。 通水面積與濕周分別為 $$ A= y(2y)+\frac{1}{2}(2y)y=3y^2 $$ $$ P=y+\sqrt{5}\,y=(1+\sqrt{5})y $$ 最佳水力斷面的條件，是在幾何比例固定時使 $R=A/P$ 最大。此斷面有 $A\propto y^2$、$P\propto y$，故 $R\propto y$；流量與流速已給定，連續方程式先決定面積，進而決定水深。 由連續方程式： $$ A=\frac{Q}{V}=\frac{28.0}{1.5}=18.6667\ \mathrm{m^2} $$

Question 2

矩形渠道寬 $4.0\ \mathrm{m}$，曼寧 $n$ 值為 $0.025$，但渠道的上游段和下游段具有不同的坡度 $S{01}$ 及 $S{02}$。若有一流量 $Q=6.0\ \mathrm{m^3/s}$ 的水流流過以下兩種不同的坡度： (一) 從 $S{01}=0.0004$ 到 $S{02}=0.005$。 (二) 從 $S{01}=0.015$ 到 $S{02}=0.0004$。 求此渠流正常水深（normal depth）及臨界水深（critical depth），並畫出緩變流（Gradually Varied Flow, GVF）曲線及其名稱。說明此時之轉折點對上游或下游何者為控制點。

Accepted Answer

核心觀念

本題考查矩形渠道的正常水深、臨界水深，以及渠道坡度變化時的緩變流（GVF）曲線判定。

正常水深 $y_n$ ：在渠道坡度、流量及斷面固定時，均勻流所需的水深。以曼寧公式求得。
臨界水深 $y_c$ ：比能最小時的水深。矩形渠道可由單位流量公式求得。
坡度分類：比較 $y_n$ 與 $y_c$ 。若 $y_n>y_c$ ，為緩坡（M）；若 $y_n<y_c$ ，為陡坡（S）。
GVF 曲線命名：以坡度類型及水深區帶命名，例如緩坡上 $y>y_n>y_c$ 為 M1 曲線。
控制點判斷：亞臨界流的水面線受下游條件控制；超臨界流受上游條件控制。

解題方法與計算

矩形渠道寬度 $b=4.0\ \mathrm{m}$ ，流量 $Q=6.0\ \mathrm{m^3/s}$ ，曼寧糙率 $n=0.025$ 。

1. 求臨界水深

單位流量為

q=\frac{Q}{b}=\frac{6.0}{4.0}=1.5\ \mathrm{m^2/s}

矩形渠道的臨界水深為

y_c=\left(\frac{q^2}{g}\right)^{1/3} =\left(\frac{1.5^2}{9.81}\right)^{1/3} =0.612\ \mathrm{m}

兩種坡度情況的臨界水深相同，因為它只由流量、渠道寬度及重力加速度決定。

2. 求各坡度的正常水深

矩形渠道的曼寧公式為

Q=\frac{1}{n}AR^{2/3}S_0^{1/2}

其中

A=by,\qquad R=\frac{A}{P}=\frac{by}{b+2y}

代入本題渠道條件：

6.0=\frac{1}{0.025}(4y) \left(\frac{4y}{4+2y}\right)^{2/3}S_0^{1/2}

以試算或數值求根，得到：

底床坡度 $S_0$	正常水深 $y_n$	與 $y_c=0.612\ \mathrm{m}$ 比較	坡度分類
$0.0004$	$1.906\ \mathrm{m}$	$y_n>y_c$	緩坡 M
$0.005$	$0.780\ \mathrm{m}$	$y_n>y_c$	緩坡 M
$0.015$	$0.541\ \mathrm{m}$	$y_n<y_c$	陡坡 S

Question 3

一矩形渠道寬 $15\ \mathrm{m}$，底床坡度為 $0.0005$。在未整治前之曼寧 $n=0.02$，正常水深（normal depth）為 $2.0\ \mathrm{m}$。整治後之曼寧 $n=0.014$，若正常水深仍維持為 $2.0\ \mathrm{m}$，請問可以增加多少流量？

Accepted Answer

核心觀念 矩形渠道的正常流量可用曼寧公式計算： $$ Q=\frac{1}{n}AR^{2/3}S0^{1/2} $$ 其中 $n$ 為曼寧粗糙係數、$A$ 為通水斷面積、$R$ 為水力半徑，$S0$ 為底床坡度。題目指定整治前後正常水深相同，且渠道寬度與坡度不變，因此 $A$、$R$、$S0$ 均不變，流量與曼寧係數成反比。 解題方法 矩形渠道寬 $b=15\ \mathrm{m}$、水深 $y=2.0\ \mathrm{m}$，通水斷面積為 $$ A=by=15	imes2=30\ \mathrm{m^2} $$ 濕周為 $$ P=b+2y=15+2(2)=19\ \mathrm{m} $$ 故水力半徑 $$ R=\frac{A}{P}=\frac{30}{19}=1.579\ \mathrm{m} $$ 坡度平方根為 $$ S0^{1/2}=\sqrt{0.0005}=0.02236 $$ 整治前 $n1=0.02$，流量為 $$ Q1=\frac{1}{0.02}(30)(1.579)^{2/3}\sqrt{0.0005} \approx 25.5\ \mathrm{m^3/s} $$

Question 4

有一艘船在一淺水湖中以 $20\ \mathrm{km/h}$ 的速度前進，並在未擾動的湖面上產生了 $35\ \mathrm{cm}$ 的波浪，請問此湖的水深。

Accepted Answer

核心觀念 船速與船行所產生波浪的傳播速度相同時，波浪處於臨界狀態。對淺水長波，波速為 $$ c=\sqrt{gh} $$ 其中 $c$ 為波速、$g$ 為重力加速度、$h$ 為水深。題目所稱的 $35\ \mathrm{cm}$ 波浪，視為波浪相對未擾動湖面的波高，即水面振幅；它不是水深，因此不直接代入波速公式。 解題方法 先將船速換算為 SI 單位： $$ V=20\ \mathrm{km/h} =20	imes\frac{1000}{3600} =5.56\ \mathrm{m/s} $$ 船在淺水湖面產生臨界長波時，令波速等於船速，即 $V=c$： $$ V=\sqrt{gh} $$

114 高普考高考三級水利工程渠道水力學考古題詳解

第一題25 分

第二題25 分

核心觀念

解題方法與計算

1. 求臨界水深

2. 求各坡度的正常水深

第三題25 分

核心觀念

解題方法

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解題方法

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