115 高普考高考三級 水利工程 渠道水力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查渠道水力學中的「比力」（Specific force），其本質為：

在固定流量及固定渠道斷面下，水流斷面所具有的動量函數。

比力由兩部分組成：

1. 水流動量項：$\dfrac{Q^2}{gA}$
2. 靜水壓力項：$A\bar{y}$

其中：

• $Q$：流量
• $A$：過水斷面積
• $g$：重力加速度
• $\bar{y}$：水面至斷面重心的垂直距離

因此，比力可表示為

$$M=\frac{Q^2}{gA}+A\bar{y}$$

比力與能量無關，主要由動量方程式推導而得。

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矩形渠道之比力公式

設矩形渠道寬度為 $b$，水深為 $y$。

矩形渠道的過水斷面積為

$$A=by$$

水面至斷面重心的距離為

$$\bar{y}=\frac{y}{2}$$

因此，

$$A\bar{y}=by\cdot \frac{y}{2} =\frac{by^2}{2}$$

代入比力一般式：

$$M(y)=\frac{Q^2}{gby}+\frac{by^2}{2}$$

若以單位渠道寬度之流量

$$q=\frac{Q}{b}$$

表示，則比力除以渠道寬度後，可寫成單位寬度比力：

$$m=\frac{M}{b}$$

因此，

$$\boxed{m(y)=\frac{q^2}{gy}+\frac{y^2}{2}}$$

其中：

• $\dfrac{q^2}{gy}$ 為動量項
• $\dfrac{y^2}{2}$ 為靜水壓力項

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解題方法：固定流量下尋找比力最小值

題目要求證明固定流量條件下，比力最小所對應的水深就是臨界水深，因此採用微分法。

固定流量時，$q$ 為常數，單位寬度比力為

$$m(y)=\frac{q^2}{gy}+\frac{y^2}{2}$$

對水深 $y$ 微分：

$$\frac{dm}{dy} =-\frac{q^2}{gy^2}+y$$

比力達到極小值的必要條件為

$$\frac{dm}{dy}=0$$

所以

$$-\frac{q^2}{gy^2}+y=0$$

整理得

$$y=\frac{q^2}{gy^2}$$ $$gy^3=q^2$$

因此，

$$\boxed{y_c=\left(\frac{q^2}{g}\right)^{1/3}}$$

此即矩形渠道的臨界水深公式。

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證明此極值為最小值

再對比力函數微分一次：

$$\frac{d^2m}{dy^2} =\frac{2q^2}{gy^3}+1$$

由於 $q^2>0$、$g>0$ 且 $y>0$，故

$$\frac{d^2m}{dy^2}>0$$

因此，當

$$y=y_c$$

時，比力函數為極小值，而非極大值。

故可證明：

$$\boxed{\text{固定流量時，比力最小所對應的水深即為臨界水深}}$$

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與佛祿數之關係

矩形渠道的平均流速為

$$V=\frac{Q}{A}=\frac{q}{y}$$

佛祿數定義為

$$Fr=\frac{V}{\sqrt{gy}}$$

平方後：

$$Fr^2=\frac{V^2}{gy} =\frac{q^2}{gy^3}$$

在比力最小條件下，由

$$q^2=gy_c^3$$

可得

$$Fr^2=1$$

因此，

$$\boxed{Fr=1}$$

所以臨界流的判斷條件為：

核心觀念

本題考查矩形渠道之：

1. 連續方程式；
2. 比能量（specific energy）；
3. 伯努力方程式與渠床高程變化；
4. 緩流通過渠床凹陷段時，水深、流速及水面線的變化。

假設渠道寬度固定、流量恒定、壓力分布為靜水壓，且忽略能量損失，總水頭保持不變。

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解題方法與計算

一、求流量與上游比能量

矩形渠道寬度：

$$b=10\ \mathrm{m}$$

位置 A 的水深與流速為：

$$y_A=1.5\ \mathrm{m},\qquad V_A=1.0\ \mathrm{m/s}$$

因此流量為：

$$Q=b y_A V_A =10(1.5)(1.0) =15\ \mathrm{m^3/s}$$

單位寬流量：

$$q=\frac{Q}{b} =\frac{15}{10} =1.5\ \mathrm{m^2/s}$$

位置 A 的比能量：

$$E_A=y_A+\frac{V_A^2}{2g}$$

取 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$：

$$E_A=1.5+\frac{1.0^2}{2(9.81)} =1.55097\ \mathrm{m}$$

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二、求凹陷段位置 C 的水深

渠床凹陷 $0.3\ \mathrm{m}$，因此位置 C 的渠床高程比位置 A 低 $0.3\ \mathrm{m}$。

由總水頭不變：

$$z_A+E_A=z_C+E_C$$

令 $z_A=0$、$z_C=-0.3\ \mathrm{m}$，則：

$$E_C=E_A+0.3 =1.55097+0.3 =1.85097\ \mathrm{m}$$

矩形渠道的比能量公式為：

$$E_C=y_C+\frac{q^2}{2g y_C^2}$$

代入 $q=1.5\ \mathrm{m^2/s}$：

$$1.85097 = y_C+\frac{1.5^2}{2(9.81)y_C^2}$$

即：

$$1.85097 = y_C+\frac{0.11468}{y_C^2}$$

解此方程式可得兩個可能水深：

$$y_C\approx 1.836\ \mathrm{m}$$

或

$$y_C\approx 0.344\ \mathrm{m}$$

原位置 A 的流況為緩流，因為：

$$Fr_A=\frac{V_A}{\sqrt{g y_A}} =\frac{1.0}{\sqrt{9.81(1.5)}} \approx 0.261<1$$

流況沿渠床凹陷段維持緩流時，應取與原水深連續的緩流水深，因此：

$$\boxed{y_C\approx 1.836\ \mathrm{m}}$$

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三、求位置 C 的流速

由連續方程式：

$$Q=b y_C V_C$$

因此：

$$V_C=\frac{Q}{b y_C} =\frac{15}{10(1.836)}$$ $$\boxed{V_C\approx 0.817\ \mathrm{m/s}}$$

亦可由單位寬流量計算：

$$V_C=\frac{q}{y_C} =\frac{1.5}{1.836} \approx 0.817\ \mathrm{m/s}$$

位置 C 的弗勞德數為：

$$Fr_C=\frac{0.817}{\sqrt{9.81(1.836)}} \approx 0.193<1$$

故仍為緩流。

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A 至 E 的水面線變化

核心觀念

本題考查渠道水工模型的福祿數相似律，以及如何把該相似律與曼寧流速公式結合，推求模型與實體的流速、曼寧粗糙係數比例。

福祿數為慣性力與重力效應的比值，定義為

$$Fr=\frac{V}{\sqrt{gD}}$$

其中 $V$ 為平均流速、$g$ 為重力加速度、$D$ 為水力深度。模型與實體採用同一重力場，並符合福祿數相似時：

$$Fr_m=Fr_p$$

下標 $m$ 代表模型，$p$ 代表實體。

曼寧流速公式為

$$V=\frac{1}{n}R^{2/3}S^{1/2}$$

其中 $n$ 為曼寧粗糙係數、$R$ 為水力半徑、$S$ 為渠床坡度。

解題方法

已知長度比為

$$\frac{L_m}{L_p}=\frac{1}{100}$$

幾何相似下，特徵長度與水力深度、水力半徑皆按相同比例縮放，因此

$$\frac{D_m}{D_p}=\frac{R_m}{R_p}=\frac{1}{100}$$

依福祿數相似律：

$$\frac{V_m}{\sqrt{gD_m}}=\frac{V_p}{\sqrt{gD_p}}$$

兩邊的 $g$ 相同，故

$$\frac{V_m}{V_p} =\sqrt{\frac{D_m}{D_p}} =\sqrt{\frac{1}{100}} =\frac{1}{10}$$

所以流速比例為

$$\boxed{\frac{V_m}{V_p}=\frac{1}{10}}$$

也就是實體流速為模型流速的 $10$ 倍。

接著使用曼寧公式求粗糙係數比例。題目指定模型與實體坡度相同，即 $S_m=S_p$。由曼寧公式可得：

核心觀念

本題考查寬渠道之：

1. 正常水深：由曼寧公式求得。
2. 臨界水深：由臨界流條件求得。
3. 梯形平台造成之水面控制：平台頂部為渠道局部隆起，流況受臨界控制。
4. 能量方程：忽略平台能量損失，平台前後總水頭相同。
5. 平台下游因水面快速下降，形成超臨界流，故水深方程須取淺水根。

因渠道寬度很大，以單位寬流量 $q=3.0\ \mathrm{m^3/s/m}$ 計算。

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一、正常水深 $h_n$

寬矩形渠道中，曼寧公式為

$$q=\frac{1}{n}R^{2/3}S_0^{1/2}$$

寬度很大時，水力半徑可取

$$R\approx h$$

因此

$$q=\frac{1}{n}h_n^{5/3}S_0^{1/2}$$

整理得

$$h_n= \left( \frac{qn}{\sqrt{S_0}} \right)^{3/5}$$

代入

$$h_n= \left( \frac{(3.0)(0.014)}{\sqrt{0.0009}} \right)^{3/5}$$ $$h_n=1.224\ \mathrm{m}$$

故

$$\boxed{h_n\approx 1.224\ \mathrm{m}}$$

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二、臨界水深 $h_c$

寬矩形渠道的臨界水深為

$$h_c=\left(\frac{q^2}{g}\right)^{1/3}$$

代入 $q=3.0\ \mathrm{m^3/s/m}$、$g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$：

$$h_c= \left( \frac{3.0^2}{9.81} \right)^{1/3}$$ $$\boxed{h_c=0.972\ \mathrm{m}}$$

臨界斷面的最小比能為

$$E_c=h_c+\frac{q^2}{2gh_c^2}$$

由臨界流條件可知

$$E_c=\frac{3}{2}h_c$$

因此

$$E_c=1.5(0.9717)=1.458\ \mathrm{m}$$

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三、平台上游水深 $h_1$

平台高度為 $0.8\ \mathrm{m}$。平台頂部為控制斷面，故平台頂部水深取臨界水深 $h_c$。

平台頂部相對於原渠床抬高 $0.8\ \mathrm{m}$，且忽略能量損失，因此平台上游斷面與平台頂部間的能量方程為