115 高普考高考三級 水利工程 水文學 考古題詳解

核心觀念

本題考查土壤三相組成及其對入滲的影響。土壤由固體土粒、水與空氣構成；孔隙可由水或空氣占據。孔隙率描述孔隙占土體總體積的比例，含水量描述水占土體或孔隙的比例，飽和度則描述孔隙被水占據的程度。

設：

• $V$：土體總體積
• $V_s$：土粒體積
• $V_v$：孔隙體積
• $V_w$：水的體積

且 $V=V_s+V_v$。

定義與公式

**孔隙率（porosity）**為孔隙體積占土體總體積的比例：

若以百分率表示，則為 $n\times100\%$。

**體積含水量（volumetric water content）**為水體積占土體總體積的比例：

土壤力學中也常以重量含水量表示：

其中 $W_w$ 為水的重量，$W_s$ 為土粒重量。題目未指定含水量種類時，宜註明所採定義；討論孔隙中水所占比例時，體積含水量較直接。

**飽和度（degree of saturation）**為孔隙中被水占據的體積比例：

因此，體積含水量、孔隙率與飽和度間有：

當 $S_r=0$ 時，孔隙中沒有水；當 $S_r=1$（或 $100\%$）時，孔隙全部被水占據，土壤達飽和。

核心觀念

本題考查相對濕度、水汽壓力與比濕度的定義與換算。

• 相對濕度 $RH$ 為實際水汽壓力 $e$ 與同溫度下飽和水汽壓力 $e_s$ 的比值： $RH=\frac{e}{e_s}\times 100\%$
• 比濕度 $q$ 為水汽質量與濕空氣總質量之比。以水汽壓力 $e$ 和總氣壓 $p$ 表示： $q=\frac{0.622e}{p-0.378e}$ 式中 $e$、$p$ 須使用相同壓力單位；$0.622$ 為水汽與乾空氣的分子量比值。

題目提供的露點溫度 $20^\circ\mathrm{C}$，表示空氣冷卻至該溫度時達飽和，因此它可用來對應露點時的飽和水汽壓力；但本題已直接給出目前大氣溫度 $25^\circ\mathrm{C}$ 下的飽和水汽壓力 $30\ \mathrm{mb}$，計算實際水汽壓力時應使用這個數值。

解題方法

一、求目前大氣溫度下的水汽壓力

依相對濕度定義，實際水汽壓力等於相對濕度乘以同溫度下的飽和水汽壓力：

因此，目前大氣溫度下的水汽壓力為 $24\ \mathrm{mb}$。

核心觀念

本題考查 Horton 入滲公式，以及如何由降雨、逕流體積估算暴雨期間的平均入滲率。Horton 公式為

其中 $f(t)$ 為降雨開始後 $t$ 小時的入滲率，$f_0$ 為初始入滲率，$f_c$ 為最終入滲率，$k$ 為衰減常數。

先以「總降雨量＝直接逕流深＋入滲損失深」求出 12 小時的總入滲量，再除以時間求平均入滲率。題目指出降雨損失僅考慮入滲，故不另計截留、蒸發等損失。

解題方法

集水區面積為 $10\ \mathrm{km^2}=10^7\ \mathrm{m^2}$，河川流量所給的體積為 $1\times10^6\ \mathrm{m^3}$。將逕流體積換算為集水區平均逕流深：

總降雨量為 $200\ \mathrm{mm}$，因此 12 小時的入滲總量換算成水深為

其平均入滲率為

對 Horton 公式在 $0$ 至 $12$ 小時積分，平均入滲率為

積分後得

核心觀念

本題考查單井穩定抽水時，地下水流場遇到不同邊界條件所產生的「映像井效應」。穩定抽水會使井周圍水位下降，形成降落漏斗；河川與不透水牆分別代表定水頭邊界與無流量邊界，因此對降落漏斗的影響相反。

• **河川：**若河川與含水層水力連通，河川水位可視為定水頭邊界。抽水造成地下水位下降時，河水補注含水層，降低河側的水位降深。
• **不透水牆：**牆面不允許地下水穿越，屬無流量邊界。水流受阻後，牆側等效為有另一口同抽水量的映像井，擴大牆側的水位降深。

以下以均質、等向、承壓含水層及穩定流為說明；圖中的水位變化為相對未抽水時的水位降深。

解題方法

以映像井法將邊界條件轉換成實際井與映像井的疊加：

• 對定水頭邊界，設置一口等距、等抽水量的補注映像井，使邊界上的水位降深互相抵消。
• 對無流量邊界，設置一口等距、同抽水量的抽水映像井，使流線垂直於牆面，亦即牆面無水流穿越。

承壓含水層的穩定抽水降深可用 Thiem 公式表示：

其中 $s$ 為降深、$Q$ 為抽水量、$T$ 為透水係數與含水層厚度之乘積、$r$ 為觀測點至井的距離，$R$ 為影響半徑。實際井與映像井的降深依疊加原理相加；補注映像井則以負降深計入。

1. 河川：定水頭邊界，河側降深減小

令實際抽水井距河岸為 $a$，映像補注井置於河岸另一側、與實際井對稱的位置。設觀測點位於實際井與河川之間，其至實際井、映像井的距離分別為 $r_1$、$r_2$，則：

補注映像井的作用抵銷部分抽水降深，因此河岸附近降深較小，抽水影響也較不易延伸至河川另一側。若河川補注能力充分，河岸處水位維持在河川水位。