112 高普考高考三級 水利工程 水文學 考古題詳解

核心觀念

本題考查：

1. 多年設計期間的洪水風險與年洪水發生機率之關係。
2. 洪水回歸期定義： $T=\frac{1}{p}$ 其中 $p$ 為一年內洪水發生的機率。
3. 常態分布之標準化： $z=\frac{X-\mu}{\sigma}$

假設每年洪水事件彼此獨立，且年洪水發生機率固定。

解題方法

（一）計算洪水回歸期

設一年內洪水發生機率為 $p$，則 30 年內至少發生一次洪水的風險為：

因此：

回歸期為：

因此可取：

（二）推估此回歸期下的洪水量

洪水量平均值為：

變異數為 $121\ (\mathrm{cms})^2$，故標準差為：

50 年回歸期代表年超越機率為：

所以洪水量不超越機率為：

核心觀念

本題考查水庫洪水演算的連續方程式：

其中：

• $S$：水庫蓄水量，單位為 $\mathrm{cms\text{-}hour}$
• $I$：入流量，單位為 $\mathrm{cms}$
• $Q$：出流量，單位為 $\mathrm{cms}$

水庫蓄水量與出流量關係為：

採用每小時為一演算時段，並以梯形法近似時段內平均入流量與出流量。

解題方法

對第 $n$ 至第 $n+1$ 小時：

因為 $\Delta t=1$ hour，整理得：

令：

因此每一時段均可由下式求得下一時刻的出流量：

初始條件為：

逐時段演算

核心觀念

本題考查 Horton 入滲公式：

其中：

• $f(t)$：$t$ 時刻的入滲率；
• $f_0$：初始入滲率；
• $f_c$：最終入滲率；
• $k$：入滲衰減常數。

當 $t\to\infty$ 時，$e^{-kt}\to 0$，因此：

解題方法

代入 $t=1$ 與 $t=2$ 的資料：

扣除最終入滲率 $f_c$：

兩式相除可消去 $f_0-0.5$：

因此：

在 $t=4$ 時：

利用 $t=1$ 時的關係 $(f_0-0.5)e^{-k}=2.87$，可得：

核心觀念

本題評量非拘限含水層（Unconfined Aquifer）之一維穩定地下水流分析，核心理論為杜卜依假設（Dupuit Assumption）與達西定律（Darcy's Law）：

1. 杜卜依假設（Dupuit Assumption）核心內涵：

• 地下水流線視為水平流線，忽略垂直速度分量。
• 水頭損失沿流向變化，同一垂直線上的等勢面（Equipotential lines）均為垂直平面，即同一垂直線上各點之水頭均相等，水頭高度即為受重力作用的自由水面（地下水位面）高程。
• 水力坡降等於自由水面之坡度，即 $i = -\frac{dh}{dx}$。

2. 非拘限含水層之一維杜卜依流動方程式： 由達西定律，單位寬度（$B = 1\ \mathrm{m}$）之流量 $q$ 表示為： $q = -K \cdot h \cdot \frac{dh}{dx}$ 其中 $K$ 為水力傳導係數（$\mathrm{m/s}$），$h(x)$ 為含水層水頭（水面至不透水底層之高度，$\mathrm{m}$）。
3. 水頭平方呈線性分佈特性： 在無補注的一維穩定流條件下，含水層水頭平方 $h^2(x)$ 隨流向距離 $x$ 呈線性遞減，此為求解兩井間任意位置水位與水頭的核心關係。

解題方法

步驟一：選定參考基準面與整理已知條件

以非拘限含水層底部之不透水層頂面為基準面（Datum, $z = 0$）。題述地表為水平且未抽水時地下水深度為 $40\ \mathrm{m}$，即未受擾動時之含水層總水頭為 $H = 40\ \mathrm{m}$。

設觀測井 A 位於 $x = 0$，觀測井 B 位於 $x = L = 100\ \mathrm{m}$：

• 水力傳導係數：$K = 2\times 10^{-5}\ \mathrm{m/s}$
• 觀測井間距：$L = 100\ \mathrm{m}$
• 觀測井 A 處：
• 水位洩降 $s_A = 4\ \mathrm{m}$
• 基準面上之水頭 $h_A = H - s_A = 40 - 4 = 36\ \mathrm{m}$
• 觀測井 B 處：
• 水位洩降 $s_B = 5\ \mathrm{m}$
• 基準面上之水頭 $h_B = H - s_B = 40 - 5 = 35\ \mathrm{m}$

步驟二：計算單位寬度流量（$\mathrm{cms/m}$）

根據杜卜依一維流動關係式： $q\,dx = -K h\,dh$

將邊界條件 $x = 0$ 至 $x = L$（對應水頭 $h_A$ 至 $h_B$）進行定積分： $\int_0^L q\,dx = -\int_{h_A}^{h_B} K h\,dh$ $q \cdot L = \frac{K}{2}\left(h_A^2 - h_B^2\right)$ $q = \frac{K\left(h_A^2 - h_B^2\right)}{2L}$

代入數值計算： $h_A^2 - h_B^2 = 36^2 - 35^2 = (36-35)(36+35) = 71\ \mathrm{m^2}$ $q = \frac{2\times 10^{-5}\ \mathrm{m/s} \times 71\ \mathrm{m^2}}{2 \times 100\ \mathrm{m}} = \frac{1.42\times 10^{-3}}{200} = 7.1 \times 10^{-6}\ \mathrm{m^3/(s\cdot m)}$

在水利工程中，$\mathrm{cms}$ 為立方公尺每秒（$\mathrm{m^3/s}$）之工程慣用簡稱，故單位寬度流量為： $q = 7.1 \times 10^{-6}\ \mathrm{cms/m}$