112 高普考高考三級 水利工程 渠道水力學 考古題詳解

核心觀念

本題考曼寧公式的因次分析、公制與英制公式的單位換算，以及以均勻管流的水頭損失公式推導 Darcy–Weisbach 摩擦係數 $f$ 與曼寧粗糙係數 $n$ 的關係。

曼寧公式可寫成：

其中 $V$ 為平均流速、$R$ 為水力半徑、$S$ 為能量坡度；均勻流時，能量坡度等於摩擦坡度。

一、曼寧係數 $n$ 的因次

由曼寧公式解出 $n$：

坡度 $S$ 是長度比，因次為 $1$；水力半徑 $R$ 的因次為 $L$，流速 $V$ 的因次為 $LT^{-1}$。因此：

故曼寧係數的因次為 $T L^{-1/3}$。若以量綱符號表示，亦即 $[n]=T L^{-1/3}$。

二、公制轉英制時係數成為 $1.49$ 的原因

以公制單位表示時，曼寧公式為：

換成英制時，$1\ \mathrm{m}=3.28\ \mathrm{ft}$，所以：

代入公制公式：

整理得：

四捨五入後，英制曼寧公式寫為：

因此，$1.49$ 是由英尺與公尺的長度換算及曼寧公式中的 $R^{2/3}$ 次方共同產生的換算係數，並非曼寧係數 $n$ 本身改變。

三、推導 Darcy–Weisbach 摩擦係數 $f$ 與曼寧 $n$ 的關係

核心觀念

本題考查三角形渠道的：

1. 臨界水深：由臨界流條件 $Fr=1$ 求得。
2. 正常水深：由曼寧公式求得。
3. 流況判斷：比較正常水深 $y_n$ 與臨界水深 $y_c$。

圖示渠道兩側與水平夾角均為 $45^\circ$，因此邊坡係數為

亦即為 $1：1$ 邊坡。

一、臨界水深

1. 三角形渠道幾何關係

水深為 $y$ 時：

其中：

• $A$：通水斷面積
• $T$：水面寬
• $z$：邊坡係數

本題 $z=1$，故

2. 臨界流條件

臨界流條件為

代入三角形渠道關係：

整理得：

因此

流量換算為：

代入 $g=9.81\ \text{m/s}^2$、$z=1$：

所以臨界水深為：

二、正常水深

正常流時使用曼寧公式：

1. 水力半徑

三角形渠道濕周為：

本題 $z=1$，故：

水力半徑：

2. 代入曼寧公式

已知：

核心觀念

本題考查潛勢流（勢能流）的流網（flow net）：

• 流線：流體質點瞬時速度方向的軌跡。
• 等勢能線：速度勢 $\phi$ 為常數之線。
• 在均勻、不可旋流的勢能流中，流線與等勢能線相交成直角。
• 良好的流網中，相鄰流線與相鄰等勢能線所形成的四邊形，應盡量接近正方形，即長寬相當。
• 閘門下方流速增大，流線集中，表示流通斷面縮小、流速提高。

解題方法與流網繪製

以水深方向取兩條等間隔流線，分別標為 $S_1$、$S_2$。流線須連貫上下游，其形狀如下：

上游 閘門 下游

水面 ───────────────────────┐
 │
S1 ───────────────╮ │ ╭────────────
 ╰───────┘ ╯
S2 ───────────────╮ │ ╭────────────
 ╰───────┘ ╯
底床 ───────────────────────────────────────────

實際繪製時應符合下列特徵：

1. 上游遠離閘門處，兩條流線近似水平且等間隔。
2. 接近閘門時，流線逐漸向閘門開口集中，不能在閘門尖角處突然折轉。
3. 通過閘門開口後，流線繼續向下游延伸，並在閘後形成束縮流。
4. 閘後流線間距先變小，在束縮斷面附近達到最小，再逐漸恢復。
5. 由於流線與等勢能線應正交，等勢能線應由上游向下游穿越流線，並在閘門附近隨流線彎曲。

示意流網如下：

上游 閘門 下游

等勢線 E1 E2 E3 │ E4 E5

 ────────┼────────╮ │ ╭───────┼──────
S1 │ ╰────┘ ╰──────│──────
 ────────┼────────╮ │ ╭───────┼──────
S2 │ ╰────┘ ╰──────│──────

 ────────┼────────╮ │ ╭───────┼──────
底床 ───────────────────────────────────────────

圖中：

核心觀念

本題考查渠道突變斷面中的「流線—等勢能線」流網，以及流線是否分離對能量損失的影響。

• 流線：任一點的切線方向與該點水流速度方向一致。
• 等勢能線：水力勢能相同的連線，與流線互相正交。
• 流線密集處，代表流速較大；流線疏開處，代表流速較小。
• 能量方程式為

兩斷面間的能量損失為

能量損失的主要來源，是流線分離、迴流、渦流及紊流混合作用。

解題方法

圖示左側寬度為 $B_1$，右側寬度為 $B_2$，且 $B_1\approx 3B_2$。

因此：

• 左向右流：寬渠進入窄渠，屬於渠寬突縮。
• 右向左流：窄渠進入寬渠，屬於渠寬突擴。

繪圖時掌握兩項原則：

1. 流線沿水流方向繪製，且必須與渠道邊界相切。
2. 等勢能線與流線正交。

（一）流線及等勢能線

1. 水流由左向右：渠寬突縮

水流由寬渠進入窄渠，流線逐漸向中央集中，流線間距變小，表示流速增加。等勢能線則與流線正交。

示意如下：

水流方向 →
┌──────────────────╲
│ │ │ │ ╲ │
│ │ │ │ ╲ │
│ │ │ │ ╲│
│ ───────
│ │ │ │ ╱│
│ │ │ │ ╱ │
│ │ │ │ ╱ │
└──────────────────╱

• 斜向、逐漸靠攏的線：流線。
• 與流線近似正交的線：等勢能線。
• 突縮處流線收斂，且流線間距變小。

渠寬突縮時，流線雖然收斂，但通常不會在上游側形成大範圍分離區。

2. 水流由右向左：渠寬突擴

水流由窄渠進入寬渠，流線離開窄渠後迅速向兩側擴散；由於慣性，主流無法立即貼附於突然擴大的邊界，兩側會形成分離及迴流區。

示意如下：

水流方向 ←
┌──────────────────╱
│ ↗│
│ ↺ ↗ │
│ ↗│
│─────── ───────
│ ↖│
│ ↻ ↖ │
│ ↖│
└──────────────────╲

• 中央由窄渠流出的部分：主流流線。
• 寬渠兩側的封閉或回捲區：分離流線及迴流區。
• 等勢能線仍須與流線正交，因此在分離區內會隨迴流流線排列。

突擴後，流線不能立刻充滿整個寬渠斷面，而會產生縮流、分離、迴流及紊流混合。

核心觀念

本題考查「移動湧浪（moving surge）」的控制體分析，採用：

1. 連續方程式：質量守恆。
2. 動量方程式：忽略底床摩擦力，對隨湧浪一起移動的控制體套用動量守恆。
3. 流量增加三倍：矩形渠道寬度不變，因此單位寬流量滿足 $q_1=3q_2.$

已知下游狀況為

$h_2=2\ \text{m},\qquad u_2=1\ \text{m/s}.$

故

$q_2=h_2u_2=2\ \text{m}^2/\text{s},$

$q_1=3q_2=6\ \text{m}^2/\text{s}.$

解題方法

設湧浪向下游傳遞速度為 $u_w$，上游水深、流速分別為 $h_1$、$u_1$。

取與湧浪同速向下游移動的控制體，則相對於湧浪的流速為：

$u_1-u_w,\qquad u_2-u_w.$

一、連續方程式

對移動控制體使用質量守恆：

$h_1(u_1-u_w)=h_2(u_2-u_w).$

代入 $h_2=2$、$u_2=1$：

另外，流量增加為原來三倍：

因此

二、動量方程式

矩形渠道之單位寬動量方程式為