111 高普考高考三級 水利工程 渠道水力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查開渠水力學（Open Channel Hydraulics）中最基礎且核心的兩大控制方程式與能量／動量原理：

1. 比能（Specific Energy, $E$）：

• 定義：以渠底為基準面，單位重量流體所具有之總能量（水頭），表示為： $E = y + \frac{V^2}{2g} = y + \frac{Q^2}{2gA^2}$ 式中，$y$ 為水深，$V$ 為斷面平均流速，$Q$ 為流量，$A$ 為通水斷面積，$g$ 為重力加速度。
• 臨界流條件：當福祿數 $Fr = \frac{V}{\sqrt{gD}} = 1$（$D = A/T$ 為水理水深，$T$ 為水面寬），即 $\frac{Q^2 T}{gA^3} = 1$ 時，水流處於臨界流狀態（Critical Flow），對應之水深即為臨界水深（Critical Depth, $y_c$）。

2. 比力（Specific Force / Momentum Function, $M$）：

• 定義：在定流量下，渠道任一斷面處，單位重量水流之動量通量與靜水壓力合力之和（以水頭或力除以單位容積重 $\gamma$ 表示），表示為： $M = \frac{Q^2}{gA} + \bar{y}A$ 式中，$\bar{y}$ 為斷面形心至水面之垂直距離，$\bar{y}A$ 為斷面積對水面之靜矩（第一階面積矩）。

3. 微積分幾何性質：

• 水深變化與斷面積變化關係：$dA = T \, dy$。
• 水深變化與形心靜矩變化關係：根據萊布尼茲積分法則（Leibniz Rule）或面積矩幾何性質，$\frac{d(\bar{y}A)}{dy} = A$。

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解題方法

(一) 比能曲線之定義與比能最小之證明

1. 比能曲線（Specific Energy Curve）之定義： 在給定固定流量 $Q$ 及特定斷面幾何形狀下，比能 $E$ 與水深 $y$ 之間的函數關係軌跡圖稱為比能曲線。

• 橫軸通常代表比能 $E$，縱軸代表水深 $y$。
• 曲線包含兩條漸近線：當水深 $y \to 0$ 時，流速水頭 $\frac{Q^2}{2gA^2} \to \infty$，故 $E \to \infty$；當水深 $y \to \infty$ 時，流速水頭趨近於 $0$，故 $E \to y$（即 $E = y$ 為 $45^\circ$ 漸近線）。
• 對任一高於最小比能之 $E$ 值，皆對應兩個不同水深，稱為交替水深（Alternate Depths），分別對應超臨界流（急流, $y < y_c$）與次臨界流（緩流, $y > y_c$）。

2. 證明比能最小時之相對應水深為臨界水深： 將比能方程式對水深 $y$ 微分： $E = y + \frac{Q^2}{2g} A^{-2}$ $\frac{dE}{dy} = 1 + \frac{Q^2}{2g} \left( -2 A^{-3} \frac{dA}{dy} \right) = 1 - \frac{Q^2}{gA^3} \frac{dA}{dy}$

因微小水深增加 $dy$ 所對應的微小斷面積增加量為 $dA = T \, dy$，故 $\frac{dA}{dy} = T$。代入上式得： $\frac{dE}{dy} = 1 - \frac{Q^2 T}{gA^3}$

求比能極值，令一階導數等於零（$\frac{dE}{dy} = 0$）： $1 - \frac{Q^2 T}{gA^3} = 0 \implies \frac{Q^2 T}{gA^3} = 1$

將 $Q = AV$ 與水理水深 $D = \frac{A}{T}$ 代入： $\frac{(AV)^2 T}{gA^3} = \frac{V^2 T}{gA} = \frac{V^2}{g(A/T)} = \frac{V^2}{gD} = 1$ $\implies \frac{V}{\sqrt{gD}} = Fr = 1$

由定義，福祿數 $Fr = 1$ 之水流狀態為臨界流，其對應水深即為臨界水深 $y_c$。又二階導數在該點滿足： $\frac{d^2E}{dy^2} = -\frac{d}{dy}\left(\frac{Q^2 T}{gA^3}\right) > 0$ 故極值為局部極小值（$E_{\min}$）。證明完畢。

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(二) 比力曲線之定義與最小比力之證明

1. 比力曲線（Specific Force Curve）之定義： 在給定固定流量 $Q$ 及特定斷面幾何形狀下，比力 $M$ 與水深 $y$ 之間的函數關係曲線稱為比力曲線。

• 橫軸代表比力 $M$，縱軸代表水深 $y$。
• 當 $y \to 0$ 時，動量項 $\frac{Q^2}{gA} \to \infty$，故 $M \to \infty$；當 $y \to \infty$ 時，靜壓力項 $\bar{y}A \to \infty$，故 $M \to \infty$。
• 因此曲線呈現凹向右側的單峰開口形狀，存在唯一的極小值 $M_{\min}$。

核心觀念

本題考查開放水路非恆定急變流（Unsteady Rapidly Varied Flow）中之向上游傳播的向上突波（Positive Surge moving upstream / Tidal Bore 湧潮）。

1. 坐標轉換（相對運動原理）： 突波屬於非恆定流，直接分析控制體積較繁瑣。若將參考坐標系固定於以波速 $c_w$ 向上游移動的波前（Wave Front）上，對隨波移動的觀察者而言，波前形狀固定不變，非恆定流問題即可簡化為**恆定流之水躍（Hydraulic Jump）**問題。
2. 共軛水深與動量方程式： 在隨波移動之相對坐標系下，斷面 1（波前未擾動區）與斷面 2（波後增高區）滿足矩形渠道水躍動量守恆式（Bélanger 公式變形）： $v_{r1} = \sqrt{\frac{g y_2}{2 y_1}(y_1 + y_2)}$
3. 連續方程式（質量守恆）： 在相對坐標系下，單位寬度流量守恆： $v_{r1} y_1 = v_{r2} y_2$
4. 絕對流速與相對流速關係： 設水流流向出海口（下游方向）為正向（$+x$），波前逆流向上游傳播，波速向量為 $\vec{V}_w = -c_w$（$c_w > 0$ 為傳播速率）： $v_r = V - \vec{V}_w = V + c_w$

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解題方法

符號與已知條件設定

• 渠道型態：矩形渠道。
• 座標定義：以順水流方向（下游／流向出海口）為正向。
• 暴潮前（斷面 1，上游側未擾動水流）：
• 起始水深 $y_1 = 2.4\ \mathrm{m}$
• 起始流速 $V_1 = +1.0\ \mathrm{m/s}$
• 暴潮後（斷面 2，下游側暴潮通過後）：
• 水深突增為 $y_2 = 3.6\ \mathrm{m}$
• 通過後流速為 $V_2$
• 暴潮傳播：往上游傳播，設其絕對速率為 $c_w$（向量速度為 $-c_w$）。
• 重力加速度取 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$。

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(一) 求此暴潮往上游傳播之速度

1. 轉換為相對恆定流： 將坐標軸固定於以速度 $c_w$ 往上游傳播之波前，未受擾動之水流（斷面 1）流向波前的相對速度大小為： $v_{r1} = V_1 - (-c_w) = V_1 + c_w$

2. 利用水躍動量守恆推求相對流速 $v_{r1}$： 對波前兩側之相對流動列出動量方程式（等同於矩形水躍）： $v_{r1} = \sqrt{\frac{g y_2}{2 y_1}(y_1 + y_2)}$ 將數值代入： $v_{r1} = \sqrt{\frac{9.81 \times 3.6}{2 \times 2.4} \times (2.4 + 3.6)} = \sqrt{\frac{35.316}{4.8} \times 6.0} = \sqrt{7.3575 \times 6.0} = \sqrt{44.145} \approx 6.644\ \mathrm{m/s}$

核心觀念 本題考查非定常非均勻明渠流（Unsteady Non-uniform Open Channel Flow）之控制方程式——**一維聖維南方程式（de Saint-Venant Equations，又稱淺水波方程式 Shallow-Water Equations）**之物理假設、控制體積推導及各物理項意涵。

核心理論依據為連續體力學之兩大守恆定律：

1. 質量守恆定律（Conservation of Mass）：推導出明渠流一維連續方程式。
2. 動量守恆定律（Conservation of Momentum / Newton's Second Law）：推導出一維動量方程式。

在推導前必須界定以下基本假設：

1. 長波（淺水波）假設：波長遠大於水深，水流垂向加速度甚小，垂直方向之壓力分佈滿足靜水壓分佈（Hydrostatic pressure distribution）。
2. 一維流動假設：流速與水深僅沿流向座標 $x$ 及時間 $t$ 變化，橫斷面上水面為水平，斷面流速分佈均勻（動量修正係數 $\beta \approx 1.0$）。
3. 小底坡假設：渠道底坡 $S_0$ 甚小，渠道傾角 $\theta \ll 1$，滿足 $\sin\theta \approx \tan\theta \approx S_0$ 且 $\cos\theta \approx 1$。
4. 定床條件（Fixed Bed）：渠底高程不隨時間沖淤變化，即 $\frac{\partial z_b}{\partial t} = 0$。
5. 阻力公式外推：非定常流之流體邊界剪應力阻力，可借用定常均勻流公式（如 Manning 公式）之摩擦坡降 $S_f$ 進行估算。
6. 流體不可壓縮：流體密度 $\rho$ 為常數，且無側向入匯流（$q_L = 0$）。

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解題方法

(一) 一維定床明渠流淺水波方程式之推導

取沿水流方向長度為 $\Delta x$ 之固定微分控制體積（Control Volume, CV），設流向座標為 $x$、時間為 $t$。定義渠道橫斷面積為 $A(x, t)$、流量為 $Q(x, t)$、斷面平均流速為 $V(x, t) = Q/A$、水深為 $y(x, t)$、渠底高程為 $z_b(x)$。

1. 連續方程式（質量守恆）

根據雷諾傳輸定理（Reynolds Transport Theorem），控制體積內流體質量增加率等於流入與流出之淨質量通量： $\frac{\partial}{\partial t}\int_{\text{CV}} \rho\, d\mathcal{V} + \int_{\text{CS}} \rho (\mathbf{V} \cdot \mathbf{n})\, dA_{\text{flow}} = 0$

• 控制體積內質量隨時間之儲存變化率： $\frac{\partial}{\partial t}(\rho A \Delta x) = \rho \frac{\partial A}{\partial t} \Delta x$
• 控制面流向淨流出質量率： $\left[ \rho Q + \frac{\partial (\rho Q)}{\partial x}\Delta x \right] - \rho Q = \rho \frac{\partial Q}{\partial x} \Delta x$

兩者相加為零，且流體不可壓縮（$\rho = \text{常數}$），同除以 $\rho \Delta x$： $\frac{\partial A}{\partial t} + \frac{\partial Q}{\partial x} = 0$

若以平均流速 $V$ 與斷面積 $A$ 表示，展開後為： $\frac{\partial A}{\partial t} + A \frac{\partial V}{\partial x} + V \frac{\partial A}{\partial x} = 0$

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2. 動量方程式（動量守恆）

根據動量守恆定律，控制體積所受之外力總和等於控制體積內動量時變率與穿越邊界之淨動量通量之和： $\sum F_x = \frac{\partial}{\partial t}\int_{\text{CV}} \rho V\, d\mathcal{V} + \int_{\text{CS}} \rho V (\mathbf{V} \cdot \mathbf{n})\, dA_{\text{flow}}$

(1) 動量變化項（慣性項）

• 控制體積內動量隨時間變化率： $\frac{\partial}{\partial t}(\rho Q \Delta x) = \rho \frac{\partial Q}{\partial t} \Delta x$
• 流進與流出之淨動量通量（取動量修正係數 $\beta = 1$）： $\frac{\partial}{\partial x}(\rho \beta V Q)\Delta x = \rho \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{Q^2}{A}\right)\Delta x$

(2) 作用於控制體積之外力分析 $\sum F_x$ 作用於控制體積的外力包括靜水壓力、重力分力與底面摩擦剪應力：

• 靜水壓力差（$F_p$）： 上游斷面靜水壓力合力為 $P_1 = \rho g \bar{h} A$（$\bar{h}$ 為斷面形心至水面之深度），下游斷面靜水壓力為 $P_2 = P_1 + \frac{\partial P}{\partial x}\Delta x$。 在定床與稜柱形渠道假設下，淨靜水壓力為： $\sum F_{\text{pressure}} = P_1 - P_2 = -\frac{\partial (\rho g \bar{h} A)}{\partial x}\Delta x = -\rho g A \frac{\partial y}{\partial x}\Delta x$
• 重力沿渠底之分力（$F_g$）： 控制體積內水體總重 $W = \rho g A \Delta x$，沿流向之分力為： $\sum F_{\text{gravity}} = W \sin\theta \approx \rho g A \Delta x \cdot S_0$ （其中 $S_0 = -\frac{\partial z_b}{\partial x}$ 為渠底坡度）
• 底面剪應力摩擦阻力（$F_f$）： 周波阻力 $\tau_0 P_{\text{wet}} \Delta x = \rho g A S_f \Delta x$（依摩擦坡降定義 $S_f = \frac{\tau_0}{\rho g R}$）： $\sum F_{\text{friction}} = -\tau_0 P_{\text{wet}} \Delta x = -\rho g A S_f \Delta x$

(3) 動量平衡式組合 將外力項與動量變化項組合：

核心觀念

本題為明渠漸變流（Gradually Varied Flow, GVF）經典題型，評量重點涵蓋以下四項核心觀念：

1. 矩形渠道之臨界水深（$y_c$）： 在矩形斷面中，臨界水深僅取決於單位寬度流量 $q$ 與重力加速度 $g$，與底坡及糙度無關： $y_c = \sqrt[3]{\frac{q^2}{g}} = \sqrt[3]{\frac{(Q/b)^2}{g}}$

2. 等速流之正常水深（$y_n$）： 依據曼寧公式（Manning's formula），當水流達均勻流狀態時： $Q = \frac{1}{n} A R^{2/3} S_0^{1/2}$ 其中 $A = b y_n$ 為通水斷面積，$P = b + 2y_n$ 為潤周，$R = A/P$ 為水力半徑。

3. 渠道坡度性質判別：

• 若 $y_n > y_c$（或底坡 $S_0 < S_c$），為緩坡（Mild slope, 代號 $M$）。
• 若 $y_n < y_c$（或底坡 $S_0 > S_c$），為陡坡（Steep slope, 代號 $S$）。

4. 控制斷面（Control Section）與水面線銜接： 由「緩坡」進入「陡坡」之折坡處，水流由亞臨界流（Subcritical flow）加速轉變為超臨界流（Supercritical flow），折坡交界斷面即為水力控制斷面，該處水深必通過臨界水深（$y \approx y_c$）。

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解題方法

步驟一：計算各渠段之臨界水深 $y_c$

渠道寬度 $b = 6\ \mathrm{m}$，設計流量 $Q = 100\ \mathrm{m^3/s}$，重力加速度採 $g = 9.81\ \mathrm{m/s^2}$。 單位寬度流量： $q = \frac{Q}{b} = \frac{100}{6} = \frac{50}{3} \approx 16.667\ \mathrm{m^2/s}$

因上、下游渠段之渠寬與流量相同，故兩渠段之臨界水深相同： $y_{c1} = y_{c2} = y_c = \sqrt[3]{\frac{q^2}{g}} = \sqrt[3]{\frac{(16.667)^2}{9.81}} = \sqrt[3]{\frac{277.78}{9.81}} = \sqrt[3]{28.316} \approx 3.05\ \mathrm{m}$

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步驟二：計算上游渠段正常水深 $y_{n1}$ 並判別坡度

上游坡降 $S_{01} = 0.003$，糙度 $n = 0.015$。由曼寧公式整理通水斷面幾何關係： $A R^{2/3} = \frac{n Q}{S_{01}^{1/2}} = \frac{0.015 \times 100}{\sqrt{0.003}} = \frac{1.5}{0.05477} \approx 27.386$

將矩形斷面幾何性質代入： $A = 6 y_{n1},\quad P = 6 + 2 y_{n1},\quad R = \frac{6 y_{n1}}{6 + 2 y_{n1}}$ $(6 y_{n1}) \left( \frac{6 y_{n1}}{6 + 2 y_{n1}} \right)^{2/3} = 27.386$

採用數值試誤法（Trial and Error）：

• 當 $y_{n1} = 3.30\ \mathrm{m}$ 時：$A = 19.80$，$P = 12.60$，$R = 1.5714$，$A R^{2/3} = 19.80 \times (1.5714)^{2/3} \approx 26.77$
• 當 $y_{n1} = 3.36\ \mathrm{m}$ 時：$A = 20.16$，$P = 12.72$，$R = 1.5849$，$A R^{2/3} = 20.16 \times (1.5849)^{2/3} \approx 27.41 \approx 27.39$

得上游渠段正常水深 $y_{n1} \approx 3.36\ \mathrm{m}$。 判別坡度：$y_{n1} (3.36\ \mathrm{m}) > y_c (3.05\ \mathrm{m})$，故上游段為緩坡（Mild Slope）。

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步驟三：計算下游渠段正常水深 $y_{n2}$ 並判別坡度

下游坡降 $S_{02} = 0.01$。由曼寧公式得： $A R^{2/3} = \frac{n Q}{S_{02}^{1/2}} = \frac{0.015 \times 100}{\sqrt{0.01}} = \frac{1.5}{0.1} = 15.000$

代入斷面幾何： $(6 y_{n2}) \left( \frac{6 y_{n2}}{6 + 2 y_{n2}} \right)^{2/3} = 15.000$

採用數值試誤法：

• 當 $y_{n2} = 2.10\ \mathrm{m}$ 時：$A = 12.60$，$P = 10.20$，$R = 1.2353$，$A R^{2/3} = 12.60 \times (1.2353)^{2/3} \approx 14.51$
• 當 $y_{n2} = 2.15\ \mathrm{m}$ 時：$A = 12.90$，$P = 10.30$，$R = 1.2524$，$A R^{2/3} = 12.90 \times (1.2524)^{2/3} \approx 14.99 \approx 15.00$