111 高普考高考三級 水利工程 流體力學 考古題詳解

核心觀念

本題評量重點為**牛頓黏性定律（Newton's law of viscosity）之物理定義與因次分析（Dimensional Analysis）**之基本推導。

1. 牛頓系統流體定義： 理想的牛頓流體在單向剪切流場中，剪應力（$\tau$）與流體微元的角變形率（剪應變率 $\dot{\gamma} = \frac{d\theta}{dt}$，亦即速度梯度 $\frac{du}{dy}$）成正比，比例常數即為動力黏滯係數（Dynamic Viscosity） $\mu$： $\tau = \mu \frac{d\theta}{dt} = \mu \frac{du}{dy}$
2. 運動黏滯係數定義： 運動黏滯係數（Kinematic Viscosity） $\nu$ 定義為動力黏滯係數與流體密度（$\rho$）之比值： $\nu \equiv \frac{\mu}{\rho}$
3. 因次系統： 因次分析常採用兩大基本因次系統：

• $M-L-T$ 系統：質量（$M$）、長度（$L$）、時間（$T$）
• $F-L-T$ 系統：力（$F$）、長度（$L$）、時間（$T$） 兩者透過牛頓第二運動定律轉換：$[F] = [M \cdot a] = M L T^{-2}$，反之 $[M] = F L^{-1} T^2$。

解題方法

步驟一：建立構成方程式與各物理量之因次

依題意，牛頓流體之剪應力與角變化率呈線性關係： $\tau = \mu \left( \frac{d\theta}{dt} \right)$

各項物理量之物理意涵與基礎因次如下：

1. 剪應力 $\tau$：單位接觸面積所承受之切向剪力（$\tau = \frac{dF}{dA}$）

• $F-L-T$ 系統： $[\tau] = \frac{[F]}{[A]} = \frac{F}{L^2} = F L^{-2}$
• $M-L-T$ 系統（將 $[F] = M L T^{-2}$ 代入）： $[\tau] = \frac{M L T^{-2}}{L^2} = M L^{-1} T^{-2}$

2. 角變化率 $\frac{d\theta}{dt}$（或速度梯度 $\frac{du}{dy}$）： 角度 $\theta$ 以弧度（$\text{rad}$）計為無因次量（$[1]$），故角變化率之因次為時間的倒數： $\left[ \frac{d\theta}{dt} \right] = \frac{[1]}{[t]} = T^{-1}$ （若以速度梯度表示：$\left[ \frac{du}{dy} \right] = \frac{L T^{-1}}{L} = T^{-1}$，兩者因次完全一致）

步驟二：推導動力黏滯係數 $\mu$ 之因次

依牛頓黏性定律移項： $\mu = \frac{\tau}{\frac{d\theta}{dt}}$

根據因次同次性原理（Principle of Dimensional Homogeneity）：

1. 在 $F-L-T$ 系統中：

核心觀念

1. 系統（System）與控制容積（Control Volume, CV）的轉換： 古典力學的物理守恆定律（如質量守恆、牛頓第二運動定律、熱力學第一與第二定律）最初皆針對特定「物質系統」（Lagrangian 視角，質量固定且隨流體運動）建立；然而在流體力學的實際工程應用中，追蹤單一流體團極為困難，實務上多鎖定空間中特定區域進行分析（Eulerian 視角）。
2. 雷諾傳輸定理（Reynolds Transport Theorem, R.T.T.）： 此定理是連結「系統（Lagrangian）」與「控制容積（Eulerian）」的數學橋樑，將任意廣義外延性質（Extensive property）隨系統時間的變化率，轉化為控制容積內的蓄積變化率與通過控制表面（Control Surface, CS）的對流淨通量。

解題方法

一、雷諾傳輸定理之數學式

設 $B$ 為系統之任意廣義外延性質（Extensive property，例如質量 $m$、動量 $m\vec{V}$、能量 $E$），而 $\beta$ 為對應之內含性質（Intensive property，即單位質量所具有之外延性質：$\beta = \frac{dB}{dm}$）。

對於空間中任意選定之控制容積（CV）及其邊界控制表面（CS），雷諾傳輸定理之一般通式為：

$\frac{d B_{\text{sys}}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{\text{CV}} \rho \beta \, dV + \int_{\text{CS}} \rho \beta (\vec{V}_{\text{rel}} \cdot \hat{n}) \, dA$

若控制容積為固定不動且不變形（Fixed and non-deforming CV），則相對速度 $\vec{V}_{\text{rel}}$ 即為流體之絕對速度 $\vec{V}$，通式簡化為：

$\frac{d B_{\text{sys}}}{dt} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{\text{CV}} \rho \beta \, dV + \int_{\text{CS}} \rho \beta (\vec{V} \cdot \hat{n}) \, dA$

符號定義說明：

• $B_{\text{sys}}$：系統的外延性質總量。
• $t$：時間。
• $\rho$：流體密度。
• $\beta$：單位質量之外延性質（$\beta = dB/dm$）。
• $V$：控制容積（CV）之體積大小。
• $A$：控制表面（CS）之表面積。
• $\hat{n}$：控制表面（CS）朝外之單位法向量（Outward unit normal vector）。
• $\vec{V}_{\text{rel}}$：流體相對於控制表面之相對速度向量（$\vec{V}_{\text{rel}} = \vec{V} - \vec{V}_{\text{cv}}$）。

二、各項之物理意義解釋

整條方程式可直觀描述為「系統變化率 ＝ 容積內部蓄積率 ＋ 表面淨流出率」，各項細部分析如下：

1. 左式：$\frac{d B_{\text{sys}}}{dt}$（系統性質隨時間之總變化率項）

• 物理意義：追蹤特定的流體系統（System）時，該系統所擁有的外延性質 $B$ 隨時間的總變化率（拉格朗日觀點）。
• 工程意涵：基礎物理定律（如質量守恆 $\frac{dm}{dt}=0$、牛頓第二定律 $\frac{d(m\vec{V})}{dt}=\sum \vec{F}$、能量守恆 $\frac{dE}{dt}=\dot{Q}-\dot{W}$）直接套用於此項。

核心觀念

汽車加速時，固定在車內的 U 型管可視為處於相對平衡。車內液體除受重力外，也受與汽車加速度方向相反的慣性力，因此液面會傾斜。兩側自由液面高差 $h$ 與水平距離 $L$ 的關係為

其中 $a$ 是汽車加速度，$g$ 是重力加速度。

解題方法

圖中兩側垂直管均與大氣相通，兩側液面所受壓力相同。取左側液面為 $A$、右側液面為 $B$，令水平方向向右為正。車向右加速時，液面在左側較高，與圖示方向一致。

在車內座標系中，液體的壓力梯度為

由左側液面移至右側液面，水平距離為 $L$，高程差為 $z_B-z_A$。兩液面壓力皆為大氣壓，故壓力變化為零：

核心觀念

本題考查**明渠層流（Laminar Falling Film）**之速度分佈積分與流動特性，核心觀念包含：

1. 單位寬度體積流率（Volume flow rate per unit width）之定義： $q = \int_0^d u(y) \, dy$
2. 斷面平均速度（Average velocity）之定義： $\overline{V} = \frac{q}{d}$
3. 最大速度（Maximum velocity）之判別： 流體在固體坡面（$y = 0$）滿足無滑動條件（No-slip condition, $u = 0$）；而在自由液面（$y = d$）處，剪應力為零（Zero shear stress, $\tau = \mu \frac{du}{dy} = 0$），因此最大速度必發生於自由液面 $y = d$。

解題方法

（一）求單位寬度之體積流率 $q$

將題目給定之速度分佈展開： $u(y) = \frac{\rho g \sin\theta}{\mu} \left( dy - \frac{y^2}{2} \right)$

單位寬度體積流率 $q$ 為沿水深 $y$ 從 $0$ 到 $d$ 積分： $q = \int_0^d u(y) \, dy = \frac{\rho g \sin\theta}{\mu} \int_0^d \left( dy - \frac{y^2}{2} \right) dy$

逐項進行定積分： $q = \frac{\rho g \sin\theta}{\mu} \left[ \frac{d \cdot y^2}{2} - \frac{y^3}{6} \right]_0^d$

代入上下限（$y = d$ 與 $y = 0$）： $q = \frac{\rho g \sin\theta}{\mu} \left( \frac{d \cdot d^2}{2} - \frac{d^3}{6} \right) = \frac{\rho g \sin\theta}{\mu} \left( \frac{d^3}{2} - \frac{d^3}{6} \right)$

通分計算括號內項數： $\frac{d^3}{2} - \frac{d^3}{6} = \frac{3d^3 - d^3}{6} = \frac{2d^3}{6} = \frac{d^3}{3}$

因此，單位寬度之體積流率為： $q = \frac{\rho g d^3 \sin\theta}{3\mu}$

（二）求平均速度 $\overline{V}$ 和最大速度 $u_{\max}$ 之比值 $\frac{\overline{V}}{u_{\max}}$

Step 1：求斷面平均速度 $\overline{V}$ 由平均速度定義 $\overline{V} = \frac{q}{d}$，將第（一）小題結果代入：

核心觀念

本題評量流體運動學中「位流理論（Potential Flow Theory）」的基本定義與不可壓縮流場的質量守恆條件：

1. 速度勢能函數（Velocity Potential Function, $\phi$）： 若流場為無旋流（Irrotational Flow, $\nabla \times \vec{V} = 0$），則必存在純量函數 $\phi$，其梯度定義為流場之速度向量： $\vec{V} = \nabla \phi$ 在二維笛卡兒坐標系下，速度分量定義為： $u = \frac{\partial \phi}{\partial x}, \quad v = \frac{\partial \phi}{\partial y}$

2. 不可壓縮連續方程式（Incompressible Continuity Equation）： 二維不可壓縮流體滿足質量守恆之微分形式為： $\nabla \cdot \vec{V} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$

3. 拉普拉斯方程式（Laplace's Equation）： 將速度分量代入連續方程式，可得速度勢能函數必須滿足拉普拉斯方程式： $\nabla^2 \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = 0$

解題方法

（一）求速度分量 $u$ 及 $v$

依據二維速度勢能函數之標準定義，將 $\phi(x,y)$ 分別對空間坐標 $x$ 與 $y$ 取一階偏微分：

1. $x$ 方向速度分量 $u$： $u = \frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f \right)$ $u = 2ax + by + d$

2. $y$ 方向速度分量 $v$： $v = \frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f \right)$ $v = bx + 2cy + e$

（二）求滿足連續方程式之條件