114 高普考高考三級 水利工程 流體力學 考古題詳解

核心觀念

流線在每一點都與該點的瞬時速度方向相切。對二維穩定流，若速度分量為 $u(x,y)$、$v(x,y)$，流線可由下式求得：

題給速度場為

因此 $u=-\dfrac{V_0}{\ell}x$、$v=\dfrac{V_0}{\ell}y$。

解題方法

代入流線微分式：

共同因子 $V_0/\ell$ 約去，整理並分離變數：

核心觀念

本題是「皮托管（停滯管）＋差壓液柱」測量管內流速，再由

$Q=VA$

求流量。

皮托管入口處流速為零，故可在皮托管停滯點與管內靜壓點間套用伯努力方程式。圖中：

• 管內流體為油，$SG_o=0.83$
• 壓差計液體為水，$SG_w=1$
• 水柱液面高差：$h=0.1\ \text{m}$
• 管徑：$D=0.1\ \text{m}$
• 忽略黏滯效應及能量損失

解題方法

設皮托管入口為點 $A$，管壁靜壓取壓點為點 $B$。由差壓計的靜水壓關係，兩點的「壓力水頭加高程水頭」差為

其中

因此

在 $A$、$B$ 兩點間套用伯努力方程式。因為 $A$ 為停滯點，$V_A=0$；管內速度為 $V_B=V$，所以

故

核心觀念

本題考查：

• 速度勢函數與速度的關係： $\vec V=\nabla\phi$
• 極座標下，若 $\phi=\phi(r)$，則只有徑向速度： $V_r=\frac{\partial\phi}{\partial r}$
• 同一流場中的無黏性、穩定流動，且點 $A、B$ 位於同一高程，可使用伯努力方程式： $\frac{p}{\rho}+\frac{V^2}{2}+gz=\text{常數}$

解題方法

由題給速度勢：

$\phi=-2\ln r$

在極座標下：

負號代表流速方向朝向楔形壁的頂點；計算壓力時使用速度大小：

$V=\left|V_r\right|=\frac{2}{r}$

由圖可知，頂點至點 $A$ 的距離為：

$r_A=0.5\ \mathrm{m}$

點 $A$ 至點 $B$ 的距離為 $1.0\ \mathrm{m}$，因此：

$r_B=0.5+1.0=1.5\ \mathrm{m}$

所以兩點流速大小為：

$V_A=\frac{2}{0.5}=4\ \mathrm{m/s}$

$V_B=\frac{2}{1.5}=\frac{4}{3}\ \mathrm{m/s}$

因 $A、B$ 位於同一水平面，$z_A=z_B$。套用伯努力方程式：

核心觀念

本題應用控制體線性動量方程式：

其中：

• 噴流入口速度為 $V$，方向向右。
• 分流後兩股射流速度大小仍為 $V$。
• 每股射流與水平夾角為 $60^\circ$。
• 上、下兩股射流的垂直動量互相抵消，只需分析水平方向。
• 空氣自由噴流前後皆為大氣壓，壓力作用可相互抵消。

解題方法

噴流入口的水平速度分量為：

分流後兩股射流的水平速度分量皆為：

因此，空氣在水平方向的動量變化率為：

支撐力對裝置作用方向向左，大小為 $22\ \mathrm{N}$。裝置對空氣的作用力也向左，因此：

又因為：

且噴嘴流率與速度關係為：

噴嘴截面積：

代入動量方程式：

核心觀念

二維定常速度場的加速度由物質導數計算。即使速度不隨時間變化，流體微粒移動時速度仍可能隨位置改變，因此仍有對流加速度：

題目給定的速度場不含時間，因此 $\partial u/\partial t=\partial v/\partial t=0$。

解題方法

先整理速度分量：

計算空間偏導數：

代入物質導數，令 $q=\dfrac{b}{x^2y^2}$，則 $u=x(a+q)$、$v=y(a+q)$。因此