115 高普考高考三級 水利工程 流體力學 考古題詳解

115 年・高普考・高考三級・水利工程
試題代碼 流體力學

第 一 題20 分

有一非黏滯性流體之流場速度勢函數表示如下：

ϕ=−(3x2y−y3)\phi=-(3x^2y-y^3)

其中，xx 與 yy 的單位為 m\mathrm{m}，ϕ\phi 的單位為 m2/s\mathrm{m^2/s}。此流體為水，假設此流場並無高程的改變，計算本流場中兩個位置(x,y)(x,y)：(1,2)(1,2)與(4,4)(4,4)之間的水壓差。

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核心觀念

本題考查由速度勢函數求速度，再利用伯努力方程求兩點間的壓力差。對不可壓縮、非黏滯且無高程變化的流體，沿同一流線有

pρ+V22+gz=常數\frac{p}{\rho}+\frac{V^2}{2}+gz=\text{常數}

題目未給流體密度數值，按水的密度取 ρ=1000 kg/m3\rho=1000\ \mathrm{kg/m^3}。兩點高程相同，故重力位能項相消。

解題方法

速度勢函數 ϕ\phi 的梯度就是速度向量：

V=∇ϕ=(∂ϕ∂x,∂ϕ∂y)\mathbf{V}=\nabla\phi =\left(\frac{\partial\phi}{\partial x},\frac{\partial\phi}{\partial y}\right)

已知

ϕ=−(3x2y−y3)=−3x2y+y3\phi=-(3x^2y-y^3)=-3x^2y+y^3

因此

u=∂ϕ∂x=−6xy,v=∂ϕ∂y=−3x2+3y2u=\frac{\partial\phi}{\partial x}=-6xy,\qquad v=\frac{\partial\phi}{\partial y}=-3x^2+3y^2

在 (1,2)(1,2) 點：

u1=−6(1)(2)=−12 m/s,v1=−3(1)2+3(2)2=9 m/su_1=-6(1)(2)=-12\ \mathrm{m/s},\qquad v_1=-3(1)^2+3(2)^2=9\ \mathrm{m/s}
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第 二 題20 分

水在圓管中的流動若發展為完全的層流（fully developed laminar flow）系統，管壁剪應力為90.85 N/m290.85\ \mathrm{N/m^2}，圓管直徑DD為0.3 m0.3\ \mathrm{m}。可以使用 Poiseuille’s law 計算圓管內的水壓梯度：

dpdx=ΔpL\frac{dp}{dx}=\frac{\Delta p}{L}

其中，xx為沿水流方向的座標；Δp\Delta p為管長LL的壓力差。在下列情況下，可獲得的Δp/L\Delta p/L為何？（每小題10分，共20分）

(一) 水平流動。

(二) 垂直向上流動。

提示：水平流動 Poiseuille’s law：

Q=πD4128μΔpLQ=\frac{\pi D^4}{128\mu}\frac{\Delta p}{L}

其中，μ\mu為黏滯係數；QQ為管內體積流率。

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核心觀念

本題考完全發展層流圓管流中的剪應力、壓力梯度與高程變化。取 xx 軸沿水流方向，Poiseuille’s law 中的 Δp/L\Delta p/L 為沿管流方向的壓力降率，不是任意兩點的絕對壓力差。

完全發展層流圓管的管壁剪應力大小與壓力梯度關係為

τw=D4∣dpdx∣\tau_w=\frac{D}{4}\left|\frac{dp}{dx}\right|

因此，本題已知 τw\tau_w 和 DD，可先求水平流動所需的壓力梯度。垂直向上流動時，還須克服水柱的重力，故壓力降率會比水平流動大。

解題方法

已知

τw=90.85 N/m2,D=0.3 m\tau_w=90.85\ \mathrm{N/m^2},\qquad D=0.3\ \mathrm{m}

沿流向的壓力降率大小為

G=4τwD=4(90.85)0.3=1211.33 Pa/mG=\frac{4\tau_w}{D} =\frac{4(90.85)}{0.3} =1211.33\ \mathrm{Pa/m}

（一）水平流動

水平管沒有沿流向的高程變化，壓力降率全部用來克服黏滯阻力。因此

ΔpL=G=1211.33 Pa/m\frac{\Delta p}{L}=G =\boxed{1211.33\ \mathrm{Pa/m}}

也可由動量平衡理解：管壁剪力作用於管周，壓力力作用於管截面，平衡後得到 τw=(D/4)(Δp/L)\tau_w=(D/4)(\Delta p/L)。

（二）垂直向上流動

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第 三 題20 分

水平方向管道中流動的空氣通過噴嘴後撞擊其正面垂直向的一個木板，如圖一所示。空氣流過管道與噴嘴的截面積分別為A1=0.01 m2A_1=0.01\ \mathrm{m^2}、A2=0.003 m2A_2=0.003\ \mathrm{m^2}。

若此平板需要以12 N12\ \mathrm{N}的水平方向作用力FF維持於原位置，說明與計算圖中管道上之壓力計的測壓（gage pressure）為何？假設此流場為不可壓縮流與可忽略摩擦作用力。空氣密度為1.23 kg/m31.23\ \mathrm{kg/m^3}。

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核心觀念

本題考查：

  1. 連續方程式：不可壓縮流體流量守恆。
  2. 動量方程式：利用噴流撞擊平板所造成的動量變化，求噴嘴出口速度。
  3. 伯努力方程式：由管道截面與噴嘴出口間的速度變化，求管道內壓力。
  4. 噴嘴出口與外界相通，因此出口壓力為大氣壓，出口測壓為零。

已知：

A1=0.01 m2,A2=0.003 m2A_1=0.01\ \mathrm{m^2},\qquad A_2=0.003\ \mathrm{m^2} F=12 N,ρ=1.23 kg/m3F=12\ \mathrm{N},\qquad \rho=1.23\ \mathrm{kg/m^3}

解題方法

一、由平板受力求噴嘴出口速度

噴流以水平方向速度 V2V_2 撞擊垂直平板後，水平方向速度降為零。

對噴流與平板作用區域使用水平方向動量方程式：

F=m˙V2F=\dot{m}V_2

其中質量流率為

m˙=ρQ=ρA2V2\dot{m}=\rho Q=\rho A_2V_2

因此：

F=ρA2V22F=\rho A_2V_2^2

代入數值：

12=(1.23)(0.003)V2212=(1.23)(0.003)V_2^2 V2=121.23×0.003=57.03 m/sV_2=\sqrt{\frac{12}{1.23\times0.003}} =57.03\ \mathrm{m/s}

所以噴嘴出口速度為：

V2≈57.0 m/s\boxed{V_2\approx57.0\ \mathrm{m/s}}

二、利用連續方程式求管道內速度

不可壓縮流動滿足：

A1V1=A2V2A_1V_1=A_2V_2

因此：

V1=A2A1V2V_1=\frac{A_2}{A_1}V_2
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第 四 題20 分

圖二為河川在某地點河段的斷面量測結果。某天在無風情況下，丟入河中的浮球於1010分鐘內隨著河水往下游移動11公里的距離，同時測量出浮球下降0.10.1公尺的高程，假設河水為穩態等速流：

(一) 使用曼寧方程式（Manning equation）推估此河段的曼寧nn值。（15分）

(二) 說明此曼寧nn值的單位。（5分）

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核心觀念

本題利用浮球資料估算：

  1. 河水平均流速 VV
  2. 河床縱坡 SS
  3. 由圖二估算過水斷面積 AA 與濕周 PP
  4. 計算水力半徑 R=A/PR=A/P
  5. 代入曼寧方程式求曼寧粗糙係數 nn

曼寧方程式為

V=1nR2/3S1/2V=\frac{1}{n}R^{2/3}S^{1/2}

其中：

  • VV：平均流速
  • nn：曼寧粗糙係數
  • RR：水力半徑
  • SS：能量坡度；本題為穩態等速流，可取河床坡度

解題方法

1. 計算河水流速

浮球於 1010 分鐘內移動 11 公里，因此

V=100010×60=1.667 m/sV=\frac{1000}{10\times 60} =1.667\ \text{m/s}

題目未提供表面流速修正係數，故將浮球速度視為河水平均流速。

2. 計算河床坡度

浮球沿河道前進 10001000 公尺時下降 0.10.1 公尺，因此

S=ΔzL=0.11000=1.0×10−4S=\frac{\Delta z}{L} =\frac{0.1}{1000} =1.0\times 10^{-4}

3. 由圖二估算過水斷面積與濕周

依圖二之比例尺讀取水面寬度及河床剖面，水面高程約為 11∼1211\sim12 公尺。以梯形法估算河床曲線下方之過水面積，可得

A≈2.85×103 m2A\approx 2.85\times 10^3\ \text{m}^2

沿水面以下之河床邊界估算濕周，約為

P≈4.50×102 mP\approx 4.50\times 10^2\ \text{m}

因此水力半徑為

R=AP=2.85×1034.50×102≈6.33 mR=\frac{A}{P} =\frac{2.85\times 10^3}{4.50\times 10^2} \approx 6.33\ \text{m}

4. 求曼寧 nn 值

由曼寧方程式整理：

n=R2/3S1/2Vn=\frac{R^{2/3}S^{1/2}}{V}

代入數值：

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第 五 題20 分

儲水槽的水需要經由兩個幫浦自管線抽出使用，如圖三所示。抽出的流速VV為8 m/s8\ \mathrm{m/s}，由於原本管線中第一個幫浦（pump #1）所提供1 kW1\ \mathrm{kW}的功率無法獲得所需要的流速（=8 m/s=8\ \mathrm{m/s}），故使用第二個幫浦（pump #2），以達到上述的流速，故 pump #2 需要的功率為何？

此管線的水頭損失hLh_L與體積流率QQ的關係為：

hL=250Q2h_L=250Q^2

其中，hLh_L及QQ的單位分別為m\mathrm{m}及m3/s\mathrm{m^3/s}。圖中管線與噴嘴截面積（AA和aa）分別為0.02 m20.02\ \mathrm{m^2}及0.01 m20.01\ \mathrm{m^2}，z=2 mz=2\ \mathrm{m}。

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核心觀念

本題考查儲水槽至噴嘴出口的伯努力方程式，以及幫浦所提供的水力功率。

由儲水槽自由液面至噴嘴出口，兩處皆為大氣壓，且儲水槽液面流速可視為零，因此：

Hp1+Hp2=z+V22g+hLH_{p1}+H_{p2} = z+\frac{V^2}{2g}+h_L

其中：

  • Hp1,Hp2H_{p1},H_{p2}：兩台幫浦提供的水頭
  • z=2 mz=2\ \mathrm{m}：噴嘴出口相對於水面之高程
  • V=8 m/sV=8\ \mathrm{m/s}：噴嘴出口流速
  • hLh_L：管線水頭損失

水力功率與水頭的關係為：

P=ρgQHP=\rho g QH

解題方法

1. 求體積流率

噴嘴截面積為 a=0.01 m2a=0.01\ \mathrm{m^2}，因此：

Q=aVQ=aV Q=(0.01)(8)=0.08 m3/sQ=(0.01)(8)=0.08\ \mathrm{m^3/s}

管線截面積 A=0.02 m2A=0.02\ \mathrm{m^2} 所對應的管內流速為：

Vpipe=QA=0.080.02=4 m/sV_{\text{pipe}}=\frac{Q}{A} =\frac{0.08}{0.02} =4\ \mathrm{m/s}

但題目已直接給定水頭損失與 QQ 的關係，因此計算 hLh_L 時直接使用 QQ 即可。

2. 求管線水頭損失

hL=250Q2h_L=250Q^2 hL=250(0.08)2=250(0.0064)=1.6 mh_L=250(0.08)^2 =250(0.0064) =1.6\ \mathrm{m}

3. 求兩台幫浦所需提供的總水頭

噴嘴出口速度水頭為：

V22g=822(9.81)=3.262 m\frac{V^2}{2g} = \frac{8^2}{2(9.81)} = 3.262\ \mathrm{m}

因此：

Hp1+Hp2=z+V22g+hLH_{p1}+H_{p2} = z+\frac{V^2}{2g}+h_L
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