113 高普考高考三級 水利工程 流體力學 考古題詳解

113 年・高普考・高考三級・水利工程
試題代碼 流體力學

第 一 題25 分

請寫出 MLTMLT（MM：質量；LL：長度；TT：時間）因次系統中以下物理量的因次：（每小題 5 分，共 25 分）

(一) 體積 VV

(二) 加速度 aa

(三) 動量 PP（momentum）

(四) 功 WW（work）

(五) 剪力 τ\tau（shear stress）

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核心觀念

本題考查 MLTMLT 因次系統，將物理量表示成質量 MM、長度 LL 與時間 TT 的冪次乘積：

[X]=MαLβTγ[X]=M^\alpha L^\beta T^\gamma

推導時依各物理量的定義與基本公式，將所涉及量的因次相乘或相除。

解題方法

(一) 體積 VV

體積是三個長度相乘：

[V]=L×L×L=L3[V]=L\times L\times L=L^3

(二) 加速度 aa

加速度是速度對時間的變化率。速度因次為 LT−1LT^{-1}，再除以時間：

[a]=LT−1T=LT−2[a]=\frac{LT^{-1}}{T}=LT^{-2}

(三) 動量 PP

動量等於質量乘以速度：

[P]=M⋅LT−1=MLT−1[P]=M\cdot LT^{-1}=MLT^{-1}

(四) 功 WW

功等於力乘以位移。力等於質量乘以加速度，故：

[F]=M⋅LT−2=MLT−2[F]=M\cdot LT^{-2}=MLT^{-2}

因此：

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第 二 題20 分

流體的速度場為

V=(5z−3)i+(x+4)j+4yk m/s\boldsymbol{V}=(5z-3)\boldsymbol{i}+(x+4)\boldsymbol{j}+4y\boldsymbol{k}\ \mathrm{m/s}

其中，xx、yy 和 zz 的單位是公尺。確定以下位置的流速：（每小題 10 分，共 20 分）

(一) 在原點（x=y=z=0x=y=z=0）。

(二) 在（x=2x=2；y=z=0y=z=0）。

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核心觀念

速度場 V(x,y,z)\boldsymbol{V}(x,y,z) 描述流體在空間各位置的速度向量。題目給定

V=(5z−3)i+(x+4)j+4yk m/s,\boldsymbol{V}=(5z-3)\boldsymbol{i}+(x+4)\boldsymbol{j}+4y\boldsymbol{k}\ \mathrm{m/s},

其中 i\boldsymbol{i}、j\boldsymbol{j}、k\boldsymbol{k} 分別代表 xx、yy、zz 方向的單位向量。求指定位置的流速向量，只要將該位置的座標代入各速度分量。

解題方法

速度場的三個分量為

u=5z−3,v=x+4,w=4y,u=5z-3,\qquad v=x+4,\qquad w=4y,

因此

V(x,y,z)=ui+vj+wk.\boldsymbol{V}(x,y,z)=u\boldsymbol{i}+v\boldsymbol{j}+w\boldsymbol{k}.

（一）原點 (x,y,z)=(0,0,0)(x,y,z)=(0,0,0)

代入各分量：

u=5(0)−3=−3,v=0+4=4,w=4(0)=0.u=5(0)-3=-3,\qquad v=0+4=4,\qquad w=4(0)=0.

所以原點的速度向量為

V(0,0,0)=−3i+4j+0k m/s.\boldsymbol{V}(0,0,0)=-3\boldsymbol{i}+4\boldsymbol{j}+0\boldsymbol{k}\ \mathrm{m/s}.
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第 三 題20 分

將不可壓縮黏性流體置於兩個大平行板之間，如下圖所示。底板固定，上板以恆定速度 UU 移動。

流速分布為

u=Uybu=U\frac{y}{b}

並有

ωz=12(∂v∂x−∂u∂y)\omega_z=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

試求流體在兩大平行板間的：（每小題 10 分，共 20 分）

(一) 體積膨脹率。

(二) 旋轉向量 ωz\omega_z（rotation vector）。

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核心觀念

本題考查：

  1. 體積膨脹率：速度場的散度
∇⋅V=∂u∂x+∂v∂y+∂w∂z\nabla\cdot\mathbf{V} =\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial v}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial z}
  1. 流體微元的旋轉向量：
ωz=12(∂v∂x−∂u∂y)\omega_z=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x} -\frac{\partial u}{\partial y}\right)

平行板間為簡單剪切流，速度僅沿 xx 方向，且隨 yy 線性增加。

解題方法

由題意，

u=Uyb,v=0,w=0u=U\frac{y}{b},\qquad v=0,\qquad w=0

其中 UU 與 bb 均為常數。

（一）體積膨脹率

計算速度場的散度：

∇⋅V=∂u∂x+∂v∂y+∂w∂z\nabla\cdot\mathbf{V} = \frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial v}{\partial y} +\frac{\partial w}{\partial z}

因為 uu 僅為 yy 的函數，且 v=w=0v=w=0，所以

∂u∂x=0,∂v∂y=0,∂w∂z=0\frac{\partial u}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial v}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial w}{\partial z}=0

因此體積膨脹率為

∇⋅V=0\boxed{\nabla\cdot\mathbf{V}=0}

此結果也符合不可壓縮流體的條件：流體微元雖然產生剪切變形，但體積不發生變化。

（二）旋轉向量 ωz\omega_z

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第 四 題20 分

直徑為 DD 且密度為 ρs\rho_s 的球體穩定下落時，其通過密度為 ρ\rho 且黏度為 μ\mu 的液體的速度。假設雷諾數（Reynolds number）

Re=ρDUμ<1Re=\frac{\rho DU}{\mu}<1

其中 UU 為終端速度（terminal velocity），拖曳力係數

CD=24ReC_D=\frac{24}{Re}

則可以根據以下公式：

Dg+FB=WD_g+F_B=W

式中 DgD_g 為曳引力（Drag force），FBF_B 為浮力，WW 為自重。

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

試證流體黏滯係數為

μ=gD2(ρs−ρ)18U\mu=\frac{gD^2(\rho_s-\rho)}{18U}

（20 分）

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核心觀念

本題考查低雷諾數下球體的終端沉降速度，使用以下關係：

  1. 終端速度時，球體合力為零： Dg+FB=WD_g+F_B=W

  2. 球體曳引力： Dg=12CDρU2AD_g=\frac{1}{2}C_D\rho U^2 A

  3. 球體迎風投影面積： A=πD24A=\frac{\pi D^2}{4}

  4. 低雷諾數下的曳力係數： CD=24Re,Re=ρDUμC_D=\frac{24}{Re},\qquad Re=\frac{\rho DU}{\mu}

  5. 球體重量與浮力： W=ρsVg,FB=ρVgW=\rho_s Vg,\qquad F_B=\rho Vg

其中球體體積為

V=πD36V=\frac{\pi D^3}{6}

由於球體向下沉降，曳引力與浮力均向上，自重向下。

解題方法與推導

一、整理曳引力

將

CD=24ReC_D=\frac{24}{Re}

及

Re=ρDUμRe=\frac{\rho DU}{\mu}

代入，可得

CD=24μρDUC_D=\frac{24\mu}{\rho DU}

因此曳引力為

Dg=12CDρU2A=12(24μρDU)ρU2(πD24)\begin{aligned} D_g &=\frac{1}{2}C_D\rho U^2 A\\ &=\frac{1}{2} \left(\frac{24\mu}{\rho DU}\right) \rho U^2 \left(\frac{\pi D^2}{4}\right) \end{aligned}

約去 ρ\rho 並整理：

Dg=3πμDUD_g =3\pi\mu DU

此結果即為球體在低雷諾數下的 Stokes 曳力。

二、列出重量與浮力

球體自重為

W=ρs(πD36)gW=\rho_s\left(\frac{\pi D^3}{6}\right)g

浮力為

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第 五 題15 分

如下圖所示，0.1 m3/s0.1\ \mathrm{m^3/s} 的水和 0.3 m3/s0.3\ \mathrm{m^3/s} 的酒精（SG=0.8\mathrm{SG}=0.8）在 YY 型管道中混合。假設水與酒精都不可壓縮，試求酒精和水的混合物的平均密度是多少？

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

（15 分）

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核心觀念

混合物的平均密度定義為

ρmix=總質量總體積\rho_{\text{mix}}=\frac{\text{總質量}}{\text{總體積}}

由於水與酒精皆不可壓縮，混合後體積可直接相加：

Qmix=Qw+QaQ_{\text{mix}}=Q_w+Q_a

其中水的密度取 ρw=1000 kg/m3\rho_w=1000\ \mathrm{kg/m^3}，酒精的比重為 SG=0.8\mathrm{SG}=0.8，因此

ρa=SG⋅ρw=0.8(1000)=800 kg/m3\rho_a=\mathrm{SG}\cdot \rho_w =0.8(1000) =800\ \mathrm{kg/m^3}

解題方法

以單位時間的質量守恆計算混合物平均密度。

水的質量流率為

m˙w=ρwQw=(1000)(0.1)=100 kg/s\dot m_w=\rho_w Q_w =(1000)(0.1) =100\ \mathrm{kg/s}

酒精的質量流率為

m˙a=ρaQa=(800)(0.3)=240 kg/s\dot m_a=\rho_a Q_a =(800)(0.3) =240\ \mathrm{kg/s}

所以混合物總質量流率為

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