113 高普考高考三級 水利工程 渠道水力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查渠道水力學中的基本名詞：流速分布不均造成的能量修正、斷面幾何與輸水效率、緩變流水面線、量水設施，以及非恆定流中的湧浪。作答時應先說明名詞定義，再交代其用途或主要特性。

解題方法

（一）能量修正係數（Energy correction factor）

實際渠道斷面上的流速並非均勻分布，因此以平均流速計算單位重量動能時，需要用能量修正係數 $\alpha$ 修正。其定義為實際動能通量與以平均流速計算之動能通量的比值：

其中 $v$ 為各點流速、$A$ 為過水斷面積，$\bar V=Q/A$ 為斷面平均流速。故能量方程中的速度水頭為 $\alpha\bar V^2/(2g)$。

流速分布均勻時 $\alpha=1$；一般渠道因底床及側壁摩擦使流速分布不均，$\alpha$ 通常大於 1。不可將其與動量修正係數 $\beta$ 混淆：$\alpha$ 對應動能通量中的 $v^3$，$\beta$ 對應動量通量中的 $v^2$。

（二）最佳水力斷面（Best hydraulic section）

在流量、坡度及糙率等條件相同時，能以較小過水面積輸送較大流量的渠道斷面，稱為最佳水力斷面。對固定過水面積而言，等價的判準是濕周最小，亦即水力半徑 $R=A/P$ 最大，其中 $P$ 為濕周。

依曼寧公式，

在 $A$、$n$、$S$ 相同時，$R$ 越大，輸水能力越大。此處的「最佳」是水力效率觀點，不必然代表工程造價、用地或施工條件下的整體最適方案。對梯形斷面，最佳水力條件可寫為水深等於半頂寬，即 $y=T/2$；若邊坡水平與垂直比為 $z:1$，則 $T=b+2zy$，故亦有 $b+2zy=2y$。

（三）緩變流（Gradually varied flow）

緩變流是指明渠水流的水深沿渠道縱向緩慢改變，水面線在相當距離內平順變化的非均勻流。其縱向水深變化率小，流線近似平行，通常可採靜水壓分布，並以各斷面的平均流速代表流況；但水深仍會隨位置改變，因此不是均勻流。

漸變流水面線常用下式分析：

核心觀念

本題考查矩形渠道束縮時的：

• 比能守恆
• 連續方程式
• 矩形渠道水流福祿數
• 束縮造成的水面降落現象

渠道坡度很緩，可視為水平渠道，且題目指定不計能量損失，因此束縮前後比能相等：

矩形渠道的比能為：

其中 $V=Q/A$。矩形渠道中，水流福祿數為：

解題方法

（一）求束縮後水深 $y_2$

1. 束縮前流況

束縮前：

過水斷面積：

平均流速：

因此束縮前比能為：

2. 束縮後流速

束縮後寬度：

束縮後單位寬流量：

束縮後平均流速為：

由比能守恆：

代入 $V_2=1.818/y_2$：

整理得：

或：

此方程有兩個正根，約為：

及

束縮前為緩流，且束縮過程沒有水躍或其他流況轉換，因此應取與上游緩流相連續的緩流水深：

另一個根 $y_2\approx0.568\ \mathrm{m}$ 為同一比能下的超臨界交替水深，本題流況不取此根。

（二）求束縮前後福祿數

1. 束縮前福祿數

核心觀念

本題考查梯形渠道的幾何量、臨界流條件、Manning 均勻流公式，以及水力深度與福祿數的定義。

渠岸邊坡為 $45^\circ$，水平與垂直分量相等，因此邊坡係數 $z=1$，也就是每上升 $1$ 單位高度，水平增加 $1$ 單位。水深為 $y$ 時：

其中 $A$ 為通水斷面積、$T$ 為水面寬、$P$ 為濕周、$R$ 為水力半徑。

解題方法與計算

（一）臨界水深 $y_c$

梯形渠道的臨界流條件為：

代入 $Q=2.0\ \mathrm{m^3/s}$、$g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$，以及 $A=y(1+y)$、$T=1+2y$：

解此方程得：

（二）正常水深 $y_0$

正常水深為均勻流水深，使用 Manning 公式：

代入 $Q=2.0$、$n=0.016$、$S_0=0.0004$：

因為 $\sqrt{0.0004}=0.02$，所以：

其中：

將幾何式代入並解方程，得：

（三）正常水深下的水力半徑 $R$

取 $y_0=1.109\ \mathrm{m}$：

核心觀念

本題考查矩形水平渠道中的水躍分析，主要使用：

• 水躍前後的動量守恆，求共軛水深關係。
• 矩形渠道福祿數定義： $Fr=\frac{V}{\sqrt{gD}}$ 矩形渠道之水力深度 $D=A/T=y$，因此： $Fr=\frac{V}{\sqrt{gy}}=\frac{Q/b}{y\sqrt{gy}}$
• 水躍前後能量差，即水躍能量損失。

取重力加速度 $g=9.81\ \mathrm{m/s^2}$，並假設水躍區內壓力分布為靜水壓、渠道水平且忽略水躍控制體外之摩擦損失。

（一）水躍共軛水深關係式

矩形渠道單位寬度流量記為：

$q=\frac{Q}{b}$

矩形渠道之比能為：

水躍分析應使用動量函數：

$M=\frac{y^2}{2}+\frac{q^2}{gy}$

水躍前後動量相等，因此：

整理得：

又因為：

$Fr_1=\frac{q}{y_1\sqrt{gy_1}}$

可得矩形渠道水躍共軛水深公式：

亦可寫成：

本題中：

$\frac{y_2}{y_1}=\frac{1.0}{0.2}=5$

（二）推求水躍前後福祿數

由共軛水深關係：

代入 $y_1=0.2\ \mathrm{m}$、$y_2=1.0\ \mathrm{m}$：

$Fr_1^2=2.5(6)=15$

所以：

$\boxed{Fr_1=\sqrt{15}=3.873}$

水躍後的福祿數可由動量關係求得。因為：

且：

$Fr_2^2=\frac{q^2}{gy_2^3}$

因此：

代入數值：

故：

$\boxed{Fr_2=\sqrt{0.12}=0.346}$