110 高普考高考三級 水利工程 渠道水力學 考古題詳解

核心觀念

本題考查比能與臨界水深。矩形渠道的比能為

其中 $y$ 為水深、$V$ 為平均流速、$b$ 為渠寬。固定流量與渠寬時，比能有最小值；此時水流為臨界流，矩形渠道的臨界水深與最小比能分別為

渠底抬高會減少可供水流使用的比能；渠寬縮小則會增加單位寬度流量 $q$，使臨界水深與最小比能提高。

解題方法

先算上游斷面的比能，再扣除渠底抬高量，求出窄渠段可用的比能，最後與窄渠段的最小比能比較。

上游渠寬 $b_1=2\ \mathrm{m}$、水深 $y_1=1\ \mathrm{m}$，故流速為

上游比能為

漸變段渠底抬高 $0.2\ \mathrm{m}$，且題目假設能量損失可忽略，因此窄渠段相對於新渠底的可用比能為

核心觀念

閘門瞬間完全拉起後，水由上游靜水區流向下游乾床，形成向下游傳播的非定常淺水波。此題使用無摩擦淺水流方程，求閘門位置在波流動後的水深與流速，再以 $q=yu$ 求單寬流量。

令 $x$ 軸由上游指向下游，$y$ 為水深，$u$ 為平均流速，並令波速 $c=\sqrt{gy}$。上游初始狀態為 $u_0=0$、$c_0=\sqrt{gy_0}$。

解題方法

無摩擦、水平矩形渠道的淺水流方程，其特徵速度為 $u\pm c$，相應的黎曼不變量為 $u\pm 2c$。閘門開啟後，向下游傳播的是稀疏波；在此波扇內有

波扇內各狀態的相似座標為 $x/t=u-c$。在閘門位置 $x=0$，有 $u-c=0$，因此

代入不變量關係：

由 $c^2=gy$ 得閘門處水深

核心觀念

本題考梯形渠道的共軛水深與臨界水深。共軛水深是水躍前後具有相同動量函數的水深；臨界水深則是比能最小、弗勞德數為 $1$ 時的水深。兩者使用的條件不同，不能混用。

設渠底寬 $b=2\ \mathrm{m}$，邊坡係數 $z=2$（水平：垂直），流量 $Q=20\ \mathrm{m^3/s}$，已知水深 $y_1=0.8\ \mathrm{m}$。梯形渠道在水深 $y$ 時：

其中 $A$ 為通水斷面積，$T$ 為水面寬。

解題方法

一、求共軛水深

定義動量函數：

其中 $\bar y$ 是水面至斷面形心的垂直距離。對梯形斷面，取渠底為基準，斷面形心高程為

因此水面至形心距離為

先計算已知水深 $y_1=0.8\ \mathrm{m}$ 的斷面積與形心距：

核心觀念

側溢流段屬於沿程流量逐漸減少的空間變量流：主渠道流量 $Q$ 沿流向 $x$ 遞減，溢出的水量則由側堰排出。題目假設渠道底床水平、斷面為矩形，且摩擦損失可忽略，因此側堰段主流的總能量水頭維持不變。

令渠道寬度為 $B$、水深為 $y$，則矩形渠道的單位寬流量為 $q=Q/B$，比能為

弗勞德數平方為

比能不變時，微分得

因此

由於有水溢出，$\frac{dQ}{dx}<0$。水面沿程升降方向便由 $Fr$ 與 1 的大小決定。

解題方法與各種水面線

以「側堰段起點至終點」為流向，依流況分成亞臨界與超臨界兩種情形。判斷關鍵是上式的分母 $1-Fr^2$。

一、亞臨界流：水面沿程上升

當 $Fr<1$，有 $1-Fr^2>0$；又因 $\frac{dQ}{dx}<0$，所以

核心觀念

本題考查斜水躍的波鋒條件。將流速分解為波鋒線的切向與法向分量：

• 波鋒線切向沒有外加衝量，因此跨越波鋒線的切向流速分量相等。
• 穩定流通過波鋒線時，法向流量守恆。

依題意，$\beta$ 是波鋒線與上游岸壁的夾角，$\theta$ 是下游岸壁及下游流向相對上游方向的轉角，因此下游流向與波鋒線的夾角為 $\beta-\theta$。

解題方法

令上、下游流速分別為 $v_1$、$v_2$，水深分別為 $y_1$、$y_2$。

波鋒線切向的流速分量相等：

因此：

再對波鋒線法向套用連續方程。單位波鋒長度的法向流量相等：

整理水深比：