110 高普考高考三級 水利工程 水資源工程學 考古題詳解

110 年・高普考・高考三級・水利工程
試題代碼 水資源工程學

第 一 題25 分

試以達西定律（Darcy’s Law）推導拘限含水層（confined aquifer）之穩定水流量方程式，何謂滲透係數（coefficient of permeability & transmissibility）？如何推求拘限含水層之滲透係數？

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核心觀念

本題考查達西定律在拘限含水層徑向穩定流的應用，以及滲透係數與導水係數（transmissivity）的定義和求法。含水層厚度均勻、完全拘限，且流動穩定、呈水平徑向流時，任一半徑處的流量相同。

解題方法：由達西定律推導穩定流量式

達西定律表示流量等於水力傳導能力乘以水力坡降：

Q=KiAQ=KiA

其中 KK 為滲透係數，ii 為水力坡降，AA 為垂直於流向的過水面積。

對井周半徑 rr 處的水平徑向流，過水面積為圓柱側面積 A=2πrbA=2\pi rb，其中 bb 是拘限含水層厚度。水力坡降為水頭對半徑的變化率之絕對值：

i=∣dhdr∣i=\left|\frac{dh}{dr}\right|

因此：

Q=2πrbK∣dhdr∣Q=2\pi r bK\left|\frac{dh}{dr}\right|

穩定流時 QQ 不隨半徑改變。令井半徑為 rwr_w、井內水頭為 hwh_w；觀測井半徑為 ror_o、該處水頭為 hoh_o。若水由觀測井附近流向抽水井，沿半徑方向積分得：

Q∫rwrodrr=2πKb∫hwhodhQ\int_{r_w}^{r_o}\frac{dr}{r} =2\pi Kb\int_{h_w}^{h_o}dh

整理為：

Q=2πKb(ho−hw)ln⁡(ro/rw)\boxed{ Q=\frac{2\pi Kb(h_o-h_w)} {\ln(r_o/r_w)} }

以常用對數表示：

Q=2.73Kb(ho−hw)log⁡10(ro/rw)\boxed{ Q=\frac{2.73Kb(h_o-h_w)} {\log_{10}(r_o/r_w)} }

若以影響半徑 RR 處的水頭 HH 表示，則寫成：

Q=2πKb(H−hw)ln⁡(R/rw)\boxed{ Q=\frac{2\pi Kb(H-h_w)} {\ln(R/r_w)} }

此式為拘限含水層穩定徑向流的 Thiem 方程式。若有兩口觀測井，分別位於 r1,r2r_1,r_2，水頭為 h1,h2h_1,h_2，則：

Q=2πKb(h2−h1)ln⁡(r2/r1)\boxed{ Q=\frac{2\pi Kb(h_2-h_1)} {\ln(r_2/r_1)} }

其中 r2>r1r_2>r_1，且正常抽水情形下 h2>h1h_2>h_1。

滲透係數與導水係數

  • 滲透係數 KK（coefficient of permeability）：表示多孔介質傳導水的能力。由達西定律可知，當水力坡降為 11 時，單位面積的達西流量等於 KK。其量綱為長度／時間，常用單位為 m/s\mathrm{m/s} 或 m/day\mathrm{m/day}。KK 受土層孔隙與粒徑等介質性質影響，也與流體性質有關。
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第 二 題25 分

建造一個高爾夫球場，需要維護草地之水資源，有三種替代方案，三種方案皆有管線與抽水機設計，其中管線壽命 30 年，抽水機 10 年，抽水機可經由替換使得方案壽命可延長為 30 年。三種替代方案所需的花費列於下表：

方案ABC
初始抽水機成本150,000300,000600,000
初始管線建造成本300,000300,000450,000
年維護費120,00090,00060,000
抽水成本／立方公尺251915

單位：元。

最佳化替代方案主要係根據每年灌溉高爾夫球場的抽水量而定。利率為 6%6\%。試以抽水量範圍決定那個替代方案為經濟最佳方案。

🖼️ 本題原卷含圖表。基於試題來源之版權考量，本站不轉載原卷影像； 題目文字已完整轉錄，圖表請自行參閱考選部公告之試題原檔。

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核心觀念

本題考比較方案的全生命週期等值年成本。管線使用 30 年；抽水機每 10 年更換一次，因此計入第 0、10、20 年的抽水機成本。以 6% 利率將初期與更換成本折算為 30 年等值年成本，再加上年維護費及年抽水成本。

設每年抽水量為 QQ 立方公尺，假設每年抽水量相同，且不計殘值與物價變動。

解題方法

30 年資本回收因子為：

(A/P,6%,30)=0.06(1.06)30(1.06)30−1≈0.072649(A/P,6\%,30) =\frac{0.06(1.06)^{30}}{(1.06)^{30}-1} \approx 0.072649

抽水機初始購置與第 10、20 年更換的現值為：

P抽水機=Cp[1+(P/F,6%,10)+(P/F,6%,20)]P_{\text{抽水機}} =C_p\left[1+(P/F,6\%,10)+(P/F,6\%,20)\right]

其中：

(P/F,6%,10)+(P/F,6%,20)=11.0610+11.0620≈0.870200(P/F,6\%,10)+(P/F,6\%,20) =\frac{1}{1.06^{10}}+\frac{1}{1.06^{20}} \approx 0.870200

因此抽水機成本的等值年成本為：

0.072649×1.870200 Cp≈0.135868 Cp0.072649 \times 1.870200\,C_p \approx 0.135868\,C_p

各方案等值年成本如下。表中的固定年成本包含管線、抽水機及年維護費；抽水成本則為「單位抽水成本 ×Q\times Q」。

方案固定年成本（元／年）總等值年成本（元／年）
A300,000(0.072649)+150,000(0.135868)+120,000≈162,175300{,}000(0.072649)+150{,}000(0.135868)+120{,}000 \approx 162{,}175162,175+25Q162{,}175+25Q
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第 三 題25 分

流入工業水處理廠的流量隨時間 tt 變化（其中 tt 以天為單位），如下式所示：

Qin=2+sin⁡(2π⋅t) Mgal/dayQ_{in}=2+\sin(2\pi\cdot t)\ \text{Mgal/day}

試求每天處理的廢水總量。廢水以 2 Mgal/day2\ \text{Mgal/day} 的恆定速率進行處理，所有的廢水將在每天被清除。試建立一個以 tt 作為控制變量的數學模型，並求儲水槽的尺寸。

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核心觀念

本題考查水槽的質量平衡與日內流量變化的累積。水槽蓄水量變化率等於流入率減去流出率：

dSdt=Qin−Qout\frac{dS}{dt}=Q_{\mathrm{in}}-Q_{\mathrm{out}}

其中 S(t)S(t) 為儲水量，單位為 Mgal。流量單位為 Mgal/day，因此 tt 以天計時，積分所得的儲量單位為 Mgal。

解題方法

流入量為

Qin(t)=2+sin⁡(2πt)Q_{\mathrm{in}}(t)=2+\sin(2\pi t)

處理速率為定值

Qout=2 Mgal/dayQ_{\mathrm{out}}=2\ \text{Mgal/day}

因此水槽的控制方程為

dSdt=2+sin⁡(2πt)−2=sin⁡(2πt)\frac{dS}{dt} =2+\sin(2\pi t)-2 =\sin(2\pi t)

積分得到儲量模型：

S(t)=S(0)+∫0tsin⁡(2πτ) dτ=S(0)+1−cos⁡(2πt)2πS(t)=S(0)+\int_0^t\sin(2\pi \tau)\,d\tau =S(0)+\frac{1-\cos(2\pi t)}{2\pi}

每一天的總流入量為一個週期的積分：

Vin=∫01[2+sin⁡(2πt)]dt=2 MgalV_{\mathrm{in}} =\int_0^1\left[2+\sin(2\pi t)\right]dt =2\ \text{Mgal}

每日處理量則為

Vout=2×1=2 Mgal/dayV_{\mathrm{out}}=2\times1=2\ \text{Mgal/day}

故每日流入總量與處理總量相同，水槽每天結束時回到與開始時相同的蓄水量。

儲水槽尺寸

水槽所需有效容量由一天內蓄水量的最大變化範圍決定。由儲量模型可知：

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第 四 題25 分

鑄鐵之配水系統中含有配水管，某一段分為兩平行管（如下圖），直徑均為 50 cm50\ \text{cm}，管 1 長度（L1L_1）為 1200 m1200\ \text{m}，管 2 長度（L2L_2）為 2200 m2200\ \text{m}；管 1 與管 2 分別有不同控制流量開關閥（gate valve）之損失係數（loss coefficient）分別為 2 與 10。假設水密度為 1000 kg/m31000\ \text{kg/m}^3、動黏滯係數（dynamic viscosity）為 1.138×10−3 kg/(m\cdots)1.138\times10^{-3}\ \text{kg/(m\cdot s)}、鑄鐵管糙度（roughness）ε\varepsilon 為 0.26 mm0.26\ \text{mm}。

若管流為完全紊流（fully turbulent flow），則摩擦因子（friction factor）ff 為：

1f=−2log⁡(ε/D3.7+2.51Ref)\frac{1}{\sqrt{f}}=-2\log\left(\frac{\varepsilon/D}{3.7}+\frac{2.51}{Re\sqrt{f}}\right)

若管流為層流（laminar flow），則：

f=64Ref=\frac{64}{Re}

試問管 1 的流量為 0.8 m3/s0.8\ \text{m}^3/\text{s}，管 2 的流量為何？試問此配水系統每小時可輸送多少水量？

🖼️【此處有附圖，請對照原卷】

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核心觀念

兩支管由同一分流點連接至同一匯流點，因此兩支管的起、終點水頭相同，沿程損失加閥件局部損失也必須相等：

hL1=hL2h_{L1}=h_{L2}

每支管的總損失以 Darcy–Weisbach 式計算，並將閘閥損失係數 KK 納入：

hL=(fLD+K)V22gh_L=\left(f\frac{L}{D}+K\right)\frac{V^2}{2g}

兩管直徑相同，截面積均為 A=πD2/4A=\pi D^2/4，但流量不同，因此流速、雷諾數與摩擦因子也不同。題目是計算題，沒有選項可逐一分析。

解題方法

先由已知管 1 流量求流速及雷諾數。題目給的是動黏滯係數 μ\mu，須先換算動黏滯度 ν=μ/ρ\nu=\mu/\rho：

A=π(0.5)24=0.19635 m2A=\frac{\pi(0.5)^2}{4}=0.19635\ \text{m}^2 ν=μρ=1.138×10−31000=1.138×10−6 m2/s\nu=\frac{\mu}{\rho} =\frac{1.138\times10^{-3}}{1000} =1.138\times10^{-6}\ \text{m}^2/\text{s} V1=Q1A=0.80.19635=4.0744 m/sV_1=\frac{Q_1}{A} =\frac{0.8}{0.19635} =4.0744\ \text{m/s} Re1=V1Dν=4.0744(0.5)1.138×10−6≈1.790×106Re_1=\frac{V_1D}{\nu} =\frac{4.0744(0.5)}{1.138\times10^{-6}} \approx1.790\times10^6

此流況為紊流。將 Re1Re_1 與 ε/D=0.00026/0.5=0.00052\varepsilon/D=0.00026/0.5=0.00052 代入題目所給摩擦因子式，以迭代方式求得：

f1≈0.01713f_1\approx0.01713

管 1 的損失係數項為：

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