110 高普考高考三級 水利工程 水文學 考古題詳解

110 年・高普考・高考三級・水利工程
試題代碼 水文學

第 一 題25 分

有一拘限含水層，其水力傳導係數（hydraulic conductivity）KK 在 xx 方向具有下列空間分布函數：

K(x)=0.01(x+100)−1 cm/secK(x)=0.01(x+100)^{-1}\ \text{cm/sec}

其中，xx 的單位為 m\text{m}。

在一個一維穩態（one-dimensional, steady-state），且無源流（source flow）和無滲流（sink flow）的地下水流場中，該含水層在 x=0 mx=0\ \text{m} 和 x=2 mx=2\ \text{m} 位置測得其水力水頭（hydraulic head）各分別為 h=10 mh=10\ \text{m} 和 h=100 mh=100\ \text{m}。

試計算水力水頭在 xx 方向的空間分布函數為何？

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核心觀念

本題考查一維穩態地下水流的達西定律，以及水力傳導係數隨位置改變時，如何由邊界水頭求水頭分布。

沿 xx 方向的一維地下水流，達西定律可寫為

qx=−K(x)dhdxq_x=-K(x)\frac{dh}{dx}

其中 qxq_x 為單位面積流量。穩態且沒有源流或滲流時，流量不隨 xx 改變，因此

ddx(K(x)dhdx)=0\frac{d}{dx}\left(K(x)\frac{dh}{dx}\right)=0

也就是 K(x)dhdxK(x)\dfrac{dh}{dx} 為常數。

解題方法

題目給定

K(x)=0.01(x+100)−1K(x)=0.01(x+100)^{-1}

由穩態控制方程積分一次，可得

K(x)dhdx=CK(x)\frac{dh}{dx}=C

其中 CC 為常數。因此

dhdx=CK(x)=C0.01(x+100)\frac{dh}{dx}=\frac{C}{K(x)} =\frac{C}{0.01}(x+100)

將常數合併為 AA，再對 xx 積分：

h(x)=A(x22+100x)+Bh(x)=A\left(\frac{x^2}{2}+100x\right)+B

利用 h(0)=10h(0)=10，得到 B=10B=10。再利用 h(2)=100h(2)=100：

100=A(222+100×2)+10100=A\left(\frac{2^2}{2}+100\times2\right)+10
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第 二 題25 分

某一集水區其過去八年的年平均雨量記錄如下：

年12345678
雨量（mm）450250430580440560220280

試計算符合 Gumbel 分布（極端值第一類分布），其重現期距（return period）為 25 年的雨量值。

KT=−6π[0.5772+ln⁡(ln⁡TT−1)]K_T=-\frac{\sqrt{6}}{\pi} \left[ 0.5772+\ln\left(\ln\frac{T}{T-1}\right) \right]
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核心觀念

本題考 Gumbel 極端值第一類分布的頻率分析。重現期距 TT 對應的降雨量可用頻率因子法估算：

XT=Xˉ+KTsX_T=\bar X+K_Ts

其中 Xˉ\bar X 為樣本平均雨量，ss 為樣本標準差；題目已給定計算頻率因子 KTK_T 的公式。重現期距 T=25T=25 年代表年超越機率為 1/251/25。

解題方法

先計算八年雨量的平均值：

Xˉ=450+250+430+580+440+560+220+2808=32108=401.25 mm\bar X=\frac{450+250+430+580+440+560+220+280}{8} =\frac{3210}{8}=401.25\text{ mm}

再計算樣本標準差。八筆資料對平均值的離差平方和為 132287.5 mm2132287.5\text{ mm}^2，因此：

s=∑i=18(Xi−Xˉ)28−1=132287.57≈137.47 mms=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{8}(X_i-\bar X)^2}{8-1}} =\sqrt{\frac{132287.5}{7}} \approx137.47\text{ mm}
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第 三 題25 分

有一面積 50 km250\ \text{km}^2 的新市鎮開發，其包括住宅區、商業區及綠地使用，所占的面積比率及逕流係數如下：

住宅區商業區綠地
面積比率35%35\%50%50\%15%15\%
逕流係數0.40.40.80.80.10.1

假設該市鎮最上游處至水流出口處的長度為 L=20 mL=20\ \text{m}，最上游處至水流出口處的標高差值為 H=5 mH=5\ \text{m}。該市鎮的集流時間可由下列公式推估：

tc=(0.87L3H)0.385 mint_c=\left(\frac{0.87L^3}{H}\right)^{0.385}\ \text{min}

其中，LL 和 HH 的單位為 m\text{m}。

其降雨強度與集流時間的關係為：

I=2000(tc+20)0.8I=\frac{2000}{(t_c+20)^{0.8}}

其中，II 的單位為 mm/hr\text{mm/hr}，tct_c 的單位為 min\text{min}。

試計算該市鎮出口處之尖峰流量（cms）為何？

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核心觀念

本題使用合理化公式估算集水區出口的尖峰流量：

Qp=CwIAQ_p=C_wIA

其中 CwC_w 為依土地使用面積加權的逕流係數，II 為集流時間 tct_c 對應的降雨強度，AA 為集水區面積。若 II 以 mm/hr\text{mm/hr}、AA 以 km2\text{km}^2 表示，單位換算後為：

Qp=CwIA3.6(m3/s)Q_p=\frac{C_wIA}{3.6}\quad(\text{m}^3/\text{s})

解題方法

先計算加權逕流係數：

Cw=(0.35)(0.4)+(0.50)(0.8)+(0.15)(0.1)=0.555C_w=(0.35)(0.4)+(0.50)(0.8)+(0.15)(0.1)=0.555

再依題目給定的集流時間公式，代入 L=20 mL=20\ \text{m}、H=5 mH=5\ \text{m}：

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第 四 題25 分

某一雨量觀測站 XX 在一場暴雨事件中，因雨量測機器故障而發生該筆雨量資料的缺漏。在該雨量觀測站附近有較接近之三個雨量站，其資料完整。

試以正常比法（normal ratio method）敘述如何以鄰近三個雨量站之資料，作為觀測站 XX 在該場暴雨之點雨量的資料補遺？

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核心觀念

本題考查以鄰近雨量站推估缺漏雨量的正常比法（normal ratio method）。此法先用各站的「正常年雨量」調整鄰站的暴雨雨量，再取平均，以反映各站長期降雨量的差異。

令：

  • PXP_X：待補的 X 站該場暴雨點雨量。
  • PiP_i：第 ii 個鄰站在同一場暴雨的實測雨量。
  • NXN_X：X 站的正常年雨量。
  • NiN_i：第 ii 個鄰站的正常年雨量。

正常年雨量通常指足夠長期觀測資料的年平均雨量。

解題方法

先取得 X 站與三個鄰站的正常年雨量，再使用三站該場暴雨的實測雨量，代入正常比法公式：

PX=NX3(P1N1+P2N2+P3N3)P_X=\frac{N_X}{3}\left(\frac{P_1}{N_1}+\frac{P_2}{N_2}+\frac{P_3}{N_3}\right)

計算時，分別將鄰站暴雨雨量除以該站正常年雨量，乘上 X 站的正常年雨量，再將三站結果取平均，即得 X 站該場暴雨的估計點雨量。

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