111 年高普考高考三級水利工程考古題與詳解

Question 1

已知我國某地下水分區於沿海一帶過去 15 年的年最低地下水水位（相對平均海平面高程）紀錄如下：

年	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
年最低地下水水位（m）	1.55	3.63	3.13	3.85	4.67	6.22	0.31	4.11	9.2	1.2	6.34	5.69	2.81	6.89	5.56

倘若此地下水分區的年最低地下水水位符合 Gumbel 分布（極端值分布第三類第一型），試推導重現期距為 30 年的年最低地下水水位。假設你是當地方政府地下水權核發人員，且已知該地下水分區的年最低地下水水位需維持在 1 m 以上，才不會影響該地下水分區的水文地質環境，請問你推導出的重現期距在 30 年的年最低地下水水位是否會影響你的轄區地下水文環境，若是會影響，你有何建議作法？

相關公式如下：

$D_T=\beta e^{\lambda_1 y'}$

$\beta=\frac{\overline{x}}{\Gamma(1+\lambda_1)}$

$C_v=\frac{s}{\overline{x}}=\frac{1}{B(\lambda_1)\Gamma(1+\lambda_1)}$

$B(\lambda_1)=\left[\Gamma(1+2\lambda_1)-\Gamma^2(1+\lambda_1)\right]^{-1/2}$

$y'=\ln\left[\ln\left(\frac{T(x)}{T(x)-1}\right)\right]$

上述 $D_T$ 為重現期距為 $T$ 年之年最低地下水水位， $x$ 為變化變量（reduced variate）， $\beta$ 為特徵年最低地下水水位， $\lambda_1$ 為待定常數（為年最低地下水水位為 0 時之 $\lambda_1$ 值）， $\overline{x}$ 為紀錄年最低地下水水位之平均數， $s$ 為紀錄年最低地下水水位之標準偏差， $C_v$ 為紀錄年最低地下水水位之變異係數， $\Gamma(1+\lambda_1)$ 與 $\Gamma(1+2\lambda_1)$ 為伽瑪函數， $y'$ 為年最低地下水水位頻率之改變變量。

附表： $\lambda_1$ 、 $\Gamma(1+\lambda_1)$ 與 $\Gamma(1+2\lambda_1)$ 關係函數值表。

🖼️【此處有附表，請對照原卷】

Accepted Answer

核心觀念 本題考年最低地下水位的 Gumbel 頻率分析：先用 15 年紀錄計算平均數、標準偏差及變異係數，再由變異係數查得參數 $\lambda1$，最後代入 30 年重現期距公式估算年最低水位。 因題目已給定計算公式與參數關係，本題依所列公式計算；不是選擇題，沒有選項分析。 解題方法與計算 15 筆資料總和為 $65.16$，平方離差和為 $79.56276$。以樣本標準偏差計算： $$ \overline{x}=\frac{65.16}{15}=4.344\ 	ext{m} $$ $$ s=\sqrt{\frac{79.56276}{15-1}}=2.384\ 	ext{m} $$ 因此變異係數為： $$ Cv=\frac{s}{\overline{x}} =\frac{2.384}{4.344} =0.5488 $$ 由題目附表的 $\lambda1$ 與伽瑪函數關係，對應的參數約為 $\lambda1=0.528$，且 $\Gamma(1+\lambda1)\approx0.8874$。特徵水位為： $$ \beta=\frac{\overline{x}}{\Gamma(1+\lambda1)} =\frac{4.344}{0.8874} \approx4.895\ 	ext{m} $$

Question 2

已知濁水溪某個水文站觀測洪水事件的發生間隔呈現指數分布（Exponent Distribution），若該水文站過去長年觀測的洪水事件間隔為：

$0.8$ 、 $3.6$ 、 $5.1$ 、 $7.5$ 、 $18.9$ 、 $3.2$ 、 $5.3$ 、 $30.5$ 、 $6.2$ 、 $45.2$ 、 $1.1$ 、 $2.3$ 、 $27.3$ 、 $4.6$ 、 $8.7$ 、 $16.4$ 、 $20.3$ 、 $15.2$ 、 $13.6$ 、 $9.7$ 天，

試求該水文站觀測洪水事件發生間隔時間大於 21 天的機率。

指數分布的機率密度函數為：

$f(y)=\lambda e^{-\lambda y}$

其中 $y$ 為事件的發生間隔時間， $\lambda$ 為參數。

Accepted Answer

核心觀念 1. 指數分布（Exponential Distribution）之基本性質： - 機率密度函數（PDF）： $$f(y) = \lambda e^{-\lambda y}, \quad y \ge 0, \ \lambda 0$$ - 累積分布函數（CDF）： $$F(y) = P(Y \le y) = \int0^y \lambda e^{-\lambda t} dt = 1 - e^{-\lambda y}$$ - 超越機率（Exceedance Probability / 生存函數）： $$P(Y y) = 1 - F(y) = \inty^\infty \lambda e^{-\lambda t} dt = e^{-\lambda y}$$ - 理論期望值： $$E[Y] = \frac{1}{\lambda}$$ 2. 參數估計（Parameter Estimation）： - 不論採用動差法（Method of Moments）或最大概似估計法（Maximum Likelihood Estimation, MLE），指數分布母體平均值之不偏估計量皆為樣本平均值 $\bar{y}$： $$E[Y] = \bar{y} \implies \hat{\lambda} = \frac{1}{\bar{y}}$$ - 此處 $\lambda$ 代表單位時間內洪水事件發生的平均頻率（Rate parameter），而其倒數 $\frac{1}{\lambda}$ 則為事件發生的平均間隔時間（Mean Inter-arrival Time）。 --- 解題方法 步驟一：計算樣本平均間隔時間 $\bar{y}$ 題目給定觀測樣本數 $n = 20$，各筆洪水事件發生間隔時間數據如下： $$0.8,\ 3.6,\ 5.1,\ 7.5,\ 18.9,\ 3.2,\ 5.3,\ 30.5,\ 6.2,\ 45.2,\ 1.1,\ 2.3,\ 27.3,\ 4.6,\ 8.7,\ 16.4,\ 20.3,\ 15.2,\ 13.6,\ 9.7	ext{（天）}$$ 計算樣本總和 $\sum{i=1}^{n} yi$： $$\sum{i=1}^{20} yi = (0.8 + 3.6 + 5.1 + 7.5 + 18.9) + (3.2 + 5.3 + 30.5 + 6.2 + 45.2) + (1.1 + 2.3 + 27.3 + 4.6 + 8.7) + (16.4 + 20.3 + 15.2 + 13.6 + 9.7)$$ $$\sum{i=1}^{20} yi = 35.9 + 90.4 + 44.0 + 75.2 = 245.5	ext{ 天}$$ 計算樣本平均值 $\bar{y}$： $$\bar{y} = \frac{\sum{i=1}^{2…

Question 3

已知南投縣埔里鎮一座農場的面積為 $1.5\ \mathrm{km}^2$，在 111 年 6 月份的一場梅雨降下的雨量紀錄，總逕流量及基流量如下表所示。 | 時間（hr） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:| | 降雨量（mm/hr） | 27 | 37 | 30 | 14 | 2 | | | | | | | | | 總逕流量（CMS） | 4.501 | 8.431 | 11.000 | 11.291 | 9.570 | 6.630 | 5.391 | 4.191 | 3.151 | 2.431 | 2.080 | 2.000 | | 基流量（CMS） | 3.000 | 3.000 | 3.000 | 3.000 | 3.000 | 2.000 | 2.000 | 2.000 | 2.000 | 2.000 | 2.000 | 2.000 | （一）由表中的總逕流量及基流量資料，試求農場最低點出流口的直接逕流歷線。（10 分） （二）試求 $\phi$ 指數。（10 分） （三）試求農場的 1 小時有效降雨延時的單位歷線（1 cm 水深）。（20 分） （四）假設該農場的入滲率符合 Horton 入滲率公式，且在此次降雨的損失雨量以入滲為最大，其餘的損失可以忽略，且 Horton 公式的最終入滲容量（final infiltration capacity）為 $1\ \mathrm{mm/hr}$，其時間常數（time constant）（或經驗常數、empirical constant）為 $1.35\ \mathrm{hr}^{-1}$。試求 Horton 入滲率公式…

Accepted Answer

核心觀念 本題考查基流分離、$\phi$ 指數、單位歷線的離散卷積，以及 Horton 入滲公式。先由總逕流量扣除基流量求直接逕流歷線，再將直接逕流體積換算成逕流深，以求有效雨量與單位歷線；最後由總損失雨量反算 Horton 公式的起始入滲容量。 解題方法 （一）直接逕流歷線 逐時扣除基流量： $$ Qd=Q{	ext{總}}-Q{	ext{基}} $$ | 時間（hr） | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | |---|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:|---:| | 直接逕流量（CMS） | 1.501 | 5.431 | 8.000 | 8.291 | 6.570 | 4.630 | 3.391 | 2.191 | 1.151 | 0.431 | 0.080 | 0 | （二）$\phi$ 指數 農場面積為 $1.5	imes10^6\ \mathrm{m^2}$，每 $1\ \mathrm{CMS\cdot hr}$ 對應的逕流深為： $$ \frac{3600\ \mathrm{m^3}}{1.5	imes10^6\ \mathrm{m^2}} =0.0024\ \mathrm{m}=2.4\ \mathrm{mm} $$ 直接逕流量總和為： $$ \sum Qd=41.667\ \mathrm{CMS\cdot hr} $$ 因此直接逕流深為： $$ R=41.667	imes2.4=100\ \mathrm{mm} $$ 總降雨量為 $27+37+30+14+2=110\ \mathrm{mm}$。令各時段有效雨量總和等於直接逕流深： $$ (27-\phi)+(37-\phi)+(30-\phi)+(14-\phi)+(2-\phi)=100 $$ 解得： $$ \phi=\frac{110-100}{5}=2\ \mathrm{mm/hr} $$ 這個結果符合各時段雨量皆不小於 $2\ \mathrm{mm/hr}$；第五時段有效雨量為零。有效雨量依序為 $25、35、28、12、0\ \mathrm{mm}$，即 $2.5、3.5、2.8、1.2、0\ \mathrm{cm}$。 （三）1 小時有效降雨延時、1 cm 單位歷線 令單位歷線各時刻流量為 $U1,U2,\ldots$，單位為 $\mathrm{CMS/cm}$。離散卷積關係為： $$ Q{d,n}=2.5Un+3.5U{n-1}+2.8U{n-2}+1.2U{n-3} $$ 超出歷線起始時段的 $U$ 值視為零。例如： $$ U1=\frac{1.501}{2.5}=0.6004 $$ $$ U2=\frac{5.431-3.…

111 高普考高考三級水利工程水文學考古題詳解

第一題20 分

第二題20 分

核心觀念

解題方法

步驟一：計算樣本平均間隔時間 $\bar{y}$

步驟二：估計指數分布之參數 $\lambda$

第三題60 分

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