111 高普考高考三級 水利工程 水資源工程學 考古題詳解

核心觀念

本題涵蓋農田水利工程之「田間灌溉需水量估算」與地下水水文學之「拘限含水層井流理論（Thiem 公式）」兩大核心主題：

1. 田間灌溉需水量（Field Irrigation Requirement, FIR）：

• 作物需水量（Crop Evapotranspiration, $ET_c$）由參考作物需水量（$ET_0$）與作物係數（$K_c$）求得： $ET_c = K_c \times ET_0$
• 在無滲漏量（深層滲漏 $DP = 0$）之精進灌溉條件下，田間灌溉需水深度（$d_{req}$）為作物需水量扣除有效雨量（Effective Rainfall, $P_e$）： $d_{req} = ET_c - P_e$
• 總灌溉需水量為需水深度與灌溉面積的乘積，並需精準進行水力單位換算（$\mathrm{mm/day} \times \mathrm{ha} \to \mathrm{L/s}$）。

2. 拘限含水層之穩態井流公式（Theim's Equation）：

• 假定含水層為等向性、均質、厚度為 $b$ 之拘限含水層，且抽水井為完全貫穿井，水流在達西定律（Darcy's Law）下呈等溫、對稱之徑向穩態流。
• 距離抽水井半徑 $r_1$ 與 $r_2$ 處之觀測井水頭洩降分別為 $s_1$ 與 $s_2$，其關係式為： $s_1 - s_2 = \frac{Q}{2\pi K b}\ln\left(\frac{r_2}{r_1}\right)$ 其中 $K$ 為含水層之滲透係數（Hydraulic Conductivity），$Q$ 為穩定抽水量。
• 影響半徑（Radius of Influence, $R$）：定義為抽水擾動之邊界距離，在該半徑處水頭洩降趨近於零（$s = 0$）。

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解題方法

(一) 計算田間灌溉需水量

1. 計算作物需水深度（$ET_c$）： $ET_c = K_c \times ET_0 = 1.1 \times 8.0\ \mathrm{mm/day} = 8.8\ \mathrm{mm/day}$

2. 計算淨灌溉需水深度（$d_{req}$）： 依題意未產生滲漏量（$DP = 0$），有效雨量 $P_e = 2.0\ \mathrm{mm/day}$： $d_{req} = ET_c - P_e = 8.8 - 2.0 = 6.8\ \mathrm{mm/day} = 0.0068\ \mathrm{m/day}$

3. 計算灌區每日總灌溉體積（$Q_{day}$）： 灌溉面積 $A = 50\ \mathrm{ha} = 50 \times 10{,}000\ \mathrm{m^2} = 500{,}000\ \mathrm{m^2}$： $Q_{day} = A \times d_{req} = 500{,}000\ \mathrm{m^2} \times 0.0068\ \mathrm{m/day} = 3{,}400\ \mathrm{m^3/day}$

4. 單位換算為公升／秒（$\mathrm{L/s}$）：

• $1\ \mathrm{m^3} = 1{,}000\ \mathrm{L}$
• $1\ \mathrm{day} = 86{,}400\ \mathrm{s}$ $Q = \frac{3{,}400\ \mathrm{m^3} \times 1{,}000\ \mathrm{L/m^3}}{86{,}400\ \mathrm{s}} \approx 39.3519\ \mathrm{L/s} \approx 39.35\ \mathrm{L/s}$

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(二) 拘限含水層之水井分析

已知抽水量即為田間需水量： $Q = 3{,}400\ \mathrm{m^3/day}$ 含水層厚度 $b = 30\ \mathrm{m}$。 觀測井數據：

• $r_1 = 5\ \mathrm{m}$，$s_1 = 6.7\ \mathrm{m}$
• $r_2 = 150\ \mathrm{m}$，$s_2 = 1.0\ \mathrm{m}$

核心觀念

本題評量水資源工程與水文學中「水文風險（Hydrological Risk）」與「重現期（Return Period）」的基本機率關係。

1. 重現期（$T$）與年超越機率（$P$）： 重現期為 $T$ 年之洪水事件，代表該規模之洪水在任何單一年份發生的機率（年超越機率）為： $P = \frac{1}{T}$ 該規模之洪水在任一年份「不發生」之機率則為： $q = 1 - P = 1 - \frac{1}{T}$

2. 水文風險（$R$）： 在工程規劃或耐用年限 $n$ 年內，假設每年之最大洪水彼此獨立（白努力試驗，Bernoulli Trials），則該規模洪水在 $n$ 年內「至少發生一次」的機率即定義為水文風險 $R$。由互補事件定理可知： $R = 1 - q^n = 1 - (1 - P)^n = 1 - \left(1 - \frac{1}{T}\right)^n$ 若已知風險 $R$ 與重現期 $T$，求年數 $n$： $n = \frac{\ln(1 - R)}{\ln(1 - P)} = \frac{\ln(1 - R)}{\ln\left(1 - \frac{1}{T}\right)}$ 若已知工程壽命 $n$ 與風險 $R$，求重現期 $T$： $1 - \frac{1}{T} = (1 - R)^{\frac{1}{n}} \implies T = \frac{1}{1 - (1 - R)^{\frac{1}{n}}}$

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解題方法

(一) 重現期 $T = 100$ 年之洪水，在若干年內發生之機率為 $20\%$

1. 參數設定：

• 重現期 $T = 100$ 年 $\implies P = \frac{1}{100} = 0.01$
• 累積發生機率（水文風險）$R = 20\% = 0.20$

2. 公式推導與計算： 依水文風險公式： $R = 1 - \left(1 - \frac{1}{T}\right)^n$ $0.20 = 1 - (1 - 0.01)^n \implies 0.80 = (0.99)^n$ 兩邊取自然對數： $\ln(0.80) = n \cdot \ln(0.99)$ $n = \frac{\ln(0.80)}{\ln(0.99)} = \frac{-0.223144}{-0.010050} \approx 22.20 \text{ 年}$

若考量完整年份，至第 $22$ 年底累積發生機率為 $1 - (0.99)^{22} \approx 19.84\%$（未達 $20\%$）；至第 $23$ 年底累積發生機率為 $1 - (0.99)^{23} \approx 20.64\%$（超過 $20\%$），故計算值為 $22.20$ 年（約 $22$ 至 $23$ 年）。

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(二) 重現期 $T = 100$ 年之洪水，在未來 $10$ 年內發生之機率（%）

1. 參數設定：

• 重現期 $T = 100$ 年 $\implies P = 0.01$
• 年數 $n = 10$ 年

2. 公式推導與計算： 依水文風險公式： $R = 1 - \left(1 - \frac{1}{100}\right)^{10} = 1 - (0.99)^{10}$ 計算數值： $(0.99)^{10} \approx 0.904382$ $R = 1 - 0.904382 = 0.095618 \approx 9.56\%$

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核心觀念

本題考查反動式水輪機（Reaction Turbine）之水力學原理、能量方程式（白努利方程式）應用及發電系統效率傳遞鏈。核心公式與觀念如下：

1. 水輪機可利用水頭（淨水頭，Effective/Available Head $H$）： 水流通過水輪機進口（固定導葉前，斷面 1）至轉輪出口（斷面 2）所釋放之總能量水頭差： $H = H_1 - H_2 = \left( z_1 + \frac{P_1}{\gamma} + \frac{V_1^2}{2g} \right) - \left( z_2 + \frac{P_2}{\gamma} + \frac{V_2^2}{2g} \right)$ 式中，$z$ 為位置水頭（以尾水面為基準面）、$\frac{P}{\gamma}$ 為壓力水頭、$\frac{V^2}{2g}$ 為速度水頭，$\gamma$ 為水之單位重（取 $\gamma = 9.8\ \mathrm{kN/m^3} = 9800\ \mathrm{N/m^3}$ 或 $9.81\ \mathrm{kN/m^3}$）。

2. 導葉流道入流面積與流量（Discharge $Q$）： 反動式水輪機導葉沿圓周佈置，進口斷面為圓柱環狀過流面積： $A_1 = \pi D_1 B_1$ 式中，$D_1$ 為分流環直徑，$B_1$ 為導葉高度。通過流量為 $Q = A_1 V_1$。

3. 效率傳遞與功率轉換鏈：

• 水力效率（Hydraulic Efficiency, $\eta_h$）：反映水流克服流道摩擦與衝擊的能量損失，能量損失水頭為 $h_L = (1 - \eta_h)H$。
• 理論水力功率（Theoretical Water Power, $P_{th}$）：水流輸入水輪機之總能量率： $P_{th} = \gamma Q H\quad (\mathrm{kW})$ 動輪吸收之理論功率（輪葉功率 $P_R$）則為 $P_R = \eta_h P_{th} = \gamma Q (H - h_L)$。
• 機械效率（Mechanical Efficiency, $\eta_m$）：反映軸承、軸封等機械摩擦損失，水輪機轉軸輸出功率為： $P_{out} = \eta_m P_R = \eta_h \eta_m P_{th}$
• 發電機效率（Generator Efficiency, $\eta_g$）：發電機送出之電功率為： $P_e = \eta_g P_{out} = \eta_h \eta_m \eta_g P_{th}$

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解題方法

基本數據與單位換算（以尾水面為基準面 $z = 0$）

• 水之單位重取 $\gamma = 9.8\ \mathrm{kN/m^3} = 9800\ \mathrm{N/m^3}$（重力加速度 $g = 9.8\ \mathrm{m/s^2}$）。
• 進口（斷面 1，固定葉板前中心）：
• 位置高度：$z_1 = 6.0\ \mathrm{m}$
• 壓力：$P_1 = 150\ \mathrm{N/cm^2} = 150 \times 10^4\ \mathrm{N/m^2} = 1.5 \times 10^6\ \mathrm{Pa}$
• 流速：$V_1 = 10\ \mathrm{m/s}$
• 直徑 $D_1 = 6\ \mathrm{m}$，導葉高 $B_1 = 1.5\ \mathrm{m}$
• 出口（斷面 2，離開轉輪葉片處）：
• 位置高度：$z_2 = 4.0\ \mathrm{m}$
• 壓力：$P_2 = -10\ \mathrm{N/cm^2} = -10 \times 10^4\ \mathrm{N/m^2} = -1.0 \times 10^5\ \mathrm{Pa}$（真空負壓）
• 流速：$V_2 = 2.0\ \mathrm{m/s}$

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(一) 計算該水流系統可利用之水頭 $H$

分別計算進口與出口之總水頭：

1. 進口總水頭 $H_1$： $\frac{P_1}{\gamma} = \frac{1,500,000}{9,800} \approx 153.061\ \mathrm{m}$ $\frac{V_1^2}{2g} = \frac{10^2}{2 \times 9.8} = \frac{100}{19.6} \approx 5.102\ \mathrm{m}$ $H_1 = z_1 + \frac{P_1}{\gamma} + \frac{V_1^2}{2g} = 6.0 + 153.061 + 5.102 = 164.163\ \mathrm{m}$

2. 出口總水頭 $H_2$： $\frac{P_2}{\gamma} = \frac{-100,000}{9,800} \approx -10.204\ \mathrm{m}$ $\frac{V_2^2}{2g} = \frac{2^2}{2 \times 9.8} = \frac{4}{19.6} \approx 0.204\ \mathrm{m}$ $H_2 = z_2 + \frac{P_2}{\gamma} + \frac{V_2^2}{2g} = 4.0 + (-10.204) + 0.204 = -6.000\ \mathrm{m}$

3. 可利用水頭 $H$： $H = H_1 - H_2 = 164.163 - (-6.000) = 170.163\ \mathrm{m} \approx 170.16\ \mathrm{m}$

核心觀念

本題評量水資源工程學中「排水工程」之跨領域整合能力。排水系統之規劃設計取決於土地利用型態、受保護對象價值、受淹忍受度（淹水容許度）及破壞後果嚴重性。

核心法規與學理基礎包含：

1. 法規與規範依據（以命題當年民國 111 年規範為準）：

• 農田排水：《農田水利工程規劃設計規範》、《農地重劃工程規劃設計規範》。
• 都市排水：《市區道路及附屬工程設計標準》、《下水道工程設施標準》、水利法之「逕流分擔與出流管制」專章。
• 公路排水：《公路排水設計規範》。

2. 水文與水理計算理論：

• 降雨逕流估算：合理化公式（Rational Formula）、SCS-CN 逕流曲線法、單位歷線法（Unit Hydrograph）。
• 農田容許滯澇平衡模式（水稻田水深平衡推估）。
• 地下排水理論：Hooghoudt 穩態地下排水公式。

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解題方法

本題為申論評述題，作答結構須採「水平對比」與「垂直深入」相結合之方式：

1. 三大排水系統之「規劃設計理念」：從「防護目標與破壞容忍度」、「保護標準（再現期距）」、「工程工程佈設特點（地表與地下）」三個維度切入論述，凸顯各自之本質差異。
2. 「排水量計算方法」：分別具體列出各系統適用之水文公式、參數定義、集流時間特性及農田特有之滯澇扣除法，避免單一公式帶過。

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解題技巧

1. 切忌「一招合理化公式打天下」：合理化公式雖是都市與公路排水小集水區的主流，但若在農田排水未提及「農作物耐淹水深與排澇延時」、「地下水位控制（暗管排水）」，將難以獲得高分。
2. 緊扣「安全風險」與「經濟效益」平衡：

• 都市：生命財產價值高 $\rightarrow$ 容忍度極低、再現期長、追求不積水，強調綜合治水（逕流分擔、低衝擊開發 LID）。
• 公路：行車動力學安全 $\rightarrow$ 絕對避免「水漂現象（Hydroplaning）」與路基掏空、邊坡失穩。
• 農田：經濟作物生產 $\rightarrow$ 容許短暫漫淹、重力排水為主、控制土壤鹽鹼與地下水位。

3. 單位常數標註明確：合理化公式使用公制單位時，務必寫明常數 $\frac{1}{360}$ 之單位轉換定義（$Q$ 為 $\text{m}^3/\text{s}$、$I$ 為 $\text{mm/hr}$、$A$ 為 $\text{ha}$）。

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【答案】

一、農田排水、都市排水及公路排水之規劃設計理念比較

比較項目	農田排水	都市排水	公路排水
主要防護目標	排除作物根系多餘水分與地表積水，防止土壤鹽鹼化與漬害，確保農作物適常生長。	保護高密度人口之生命財產安全，維持都市機能運作與地下空間安全。	排除路面積水以防車輛水漂失控，保護路基、路肩及邊坡免受沖蝕與淘刷。
淹水容許度	高（水稻允許淹水 1～3 天不滅頂；旱作耐淹約 0.5～1 天）。	極低（商業區與主要道路原則上不容許積水淹浸）。	極低至中（路面行車帶絕對不容許積水，路旁草溝容許短暫滿管）。
設計再現期 ($T$)	較低（常採 5～10 年一遇暴雨）。	較高（雨水下水道採 5～10 年；抽水站與防洪排水採 25～100 年）。	分級設計（路面排水 2～5 年；路側邊溝 5～10 年；跨路箱涵與橋涵 25～50 年以上）。
工程配置理念	採明渠、土渠與重力自流排水為主；低窪區配合滯洪池或抽排；配合暗管控制地下水位。	雨水下水道（暗管/箱涵）、截流溝、抽水站；結合低衝擊開發（LID）與逕流分擔。	橫向路拱（橫坡）、縱向邊溝、截水溝、落水井、急流槽、跌水工及地下盲段。

(一) 農田排水規劃設計理念

1. 耐淹與排澇平衡：農田（特別是水稻田）具備優良之天然滯蓄能力。規劃著重於「在作物遭受生理損害之臨界時間（耐淹延時）內，將田間過剩水深排除」，並非追求瞬間排乾，藉此降低排水工程規模與造價。
2. 表土與肥力保持：排水渠道流速應介於臨界不淤流速與容許不沖刷流速之間（常採草質渠道或低流速設計），避免土壤沖蝕流失。
3. 雙重排水系統（地表與地下）：除地表漫地流排除外，針對地下水位過高或鹽鹼化農地，須規劃地下暗渠（Tile Drainage），將地下水位壓降至作物根群分布深度以下（通常為地表面下 $0.6 \sim 1.2\text{ m}$）。

(二) 都市排水規劃設計理念

1. 高不透水率與逕流集中應對：都市化導致地表透水面積銳減，逕流係數高達 $0.7 \sim 0.9$，集流時間大幅縮短、洪峰急劇升高。工程以地下密閉式雨水下水道管網為主體，重力排除為主、機械抽排為輔。
2. 全面韌性與出流管制：依水利法規範落實「逕流分擔與出流管制」，要求土地開發基地自體滯洪；推動海綿城市（LID / 水體自淨），透過透水鋪面、雨水花園抑制洪峰。
3. 雙重排水系統概念（Major/Minor System）：

• 次要系統（Minor System）：雨水下水道、側溝，承納設計再現期（如 5 年）以降之初期暴雨。
• 主要系統（Major System）：地表道路、滯洪池、溢流路徑，用以疏導超標暴雨，避免造成致命災害。

(三) 公路排水規劃設計理念

1. 動態行車安全第一：路面水膜厚度超過特定極限（約 $2.5 \text{ mm}$）且車速高時，易引發輪胎「水漂現象（Hydroplaning）」。設計利用路面橫坡（約 $1.5\% \sim 3\%$）與超高坡度，使降雨迅速橫向流脫至路肩及邊溝。
2. 保護路基穩定與防沖：水分滲入路基將急劇降低土壤承載力（CBR 值），須設盲溝、滲水管予以阻截與排除；邊坡上方設截水溝，防止沖蝕引發落石坍方。

核心觀念

本題結合了「工程水文學」之機率與統計分析，以及「水資源工程學」之供水可靠度與水文風險分析，主要涵蓋三大核心觀念：

1. 常態分布與標準化（Standard Normal Distribution）： 連續型隨機變數 $X$（每日需水量）服從常態分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其標準化變數定義為： $Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0, 1)$ 需水量超過供水能力 $S$ 之超越機率（即缺水機率）為 $P(X > S) = 1 - F(Z)$，其中 $F(Z)$ 為標準常態分布之累積分布函數（CDF）。

2. 全機率定理（Law of Total Probability）： 當供水能力 $S$ 為離散型隨機變數時，每日缺水事件的邊際機率應以全機率定理加權平均計算： $P(\text{缺水}) = \sum_{i} P(X > S_i) \cdot P(S = S_i)$

3. 水文風險度與供水可靠度（Hydrologic Risk & Reliability）： 在各日需水量與供水量互為獨立之假設下，連續 $n$ 日之評估期間內，「至少發生一次缺水」之機率即為工程風險度（Risk, $R$）： $R = 1 - (1 - p)^n$ 其中 $p$ 為單日缺水機率，$(1 - p)$ 為單日無缺水機率（可靠度 Reliability）。

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解題方法與詳細計算

(一) 任何 $1$ 日水供給不足之機率（%）

1. 事件定義： 設每日需水量為隨機變數 $X \sim N(20{,}000, 8{,}000^2)$（單位：$\mathrm{ton}$）。 每日供水量 $S$ 之機率質量函數（PMF）為：

• $P(S = 30{,}000) = 0.7$
• $P(S = 35{,}000) = 0.3$

2. 計算各供水條件下之缺水條件機率：

• 情境一：供水量 $S_1 = 30{,}000\ \mathrm{ton}$ $Z_1 = \frac{30{,}000 - 20{,}000}{8{,}000} = \frac{10{,}000}{8{,}000} = 1.25$ 查標準常態累積機率表得 $F(1.25) = 0.8944$。 $P(X > 30{,}000) = 1 - F(1.25) = 1 - 0.8944 = 0.1056$

• 情境二：供水量 $S_2 = 35{,}000\ \mathrm{ton}$ $Z_2 = \frac{35{,}000 - 20{,}000}{8{,}000} = \frac{15{,}000}{8{,}000} = 1.875$ 查標準常態累積機率表得 $F(1.875) = 0.9696$。 $P(X > 35{,}000) = 1 - F(1.875) = 1 - 0.9696 = 0.0304$

3. 應用全機率定理求任一日缺水機率 $p_1$： $p_1 = P(X > S) = P(X > 30{,}000) \cdot P(S = 30{,}000) + P(X > 35{,}000) \cdot P(S = 35{,}000)$ $p_1 = (0.1056 \times 0.7) + (0.0304 \times 0.3) = 0.07392 + 0.00912 = 0.08304$ 轉為百分比為： $p_1 = 8.304\%$

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(二) $3$ 日期間中，水供給不足之機率（%）

1. 模型設定： 「$3$ 日期間中水供給不足」在水資源工程上定義為：在連續 $3$ 天中，至少有 $1$ 天發生水供給不足（即系統面臨之風險度 $R_3$）。